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    在模式識(shí)別的過(guò)程中學(xué)會(huì)差異分析

    2015-07-01 20:05:29陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心安振平
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年2期
    關(guān)鍵詞:主元模式識(shí)別解題

    ☉陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平

    在模式識(shí)別的過(guò)程中學(xué)會(huì)差異分析

    ☉陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平

    當(dāng)你面對(duì)一道高考數(shù)學(xué)試題時(shí),你首先需要閱讀理解,感知題目的條件是什么?解題目標(biāo)是什么?聯(lián)系、聯(lián)想溝通問(wèn)題條件和目標(biāo)涉及的數(shù)學(xué)概念、公式、定理和有關(guān)解答技巧.識(shí)別模式,分析差異,進(jìn)而快速寫(xiě)出試題的規(guī)范解答過(guò)程.當(dāng)然,解答完畢再做出一些必要的反思總結(jié),這樣的解題習(xí)慣,有助于形成自己獨(dú)特的解題思維,有利于優(yōu)化自己大腦中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),形成解題模式,積累解題經(jīng)驗(yàn),開(kāi)發(fā)解題智慧.

    一、案例閱讀

    (1)求∠A的度數(shù);

    讀題感知:這是一道涉及三角形的三角函數(shù)求值和不等式證明題.

    模式識(shí)別:“遇新思舊、推陳出新”無(wú)非是將面對(duì)的問(wèn)題和頭腦中已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間建立聯(lián)系,以誘發(fā)積極有用的思維定勢(shì).

    差異分析:看見(jiàn)正切,轉(zhuǎn)化為正余弦;把邊與角的三角函數(shù)關(guān)系統(tǒng)一為角的三角函數(shù),聯(lián)想到了正弦定理,第(1)問(wèn)的目標(biāo)是求∠A的度數(shù),自然要向∠A轉(zhuǎn)化,這就會(huì)聯(lián)系到三角形的內(nèi)角和定理.對(duì)第(2)問(wèn),三角形面積選擇哪個(gè)公式呢?從第(1)問(wèn)的答案知∠A=120°,聯(lián)想出似乎是自然的事情,這里出現(xiàn)了邊長(zhǎng)b,c,從證明目標(biāo)a2≥4√3S里的a2能聯(lián)系到余弦定理嗎?

    因?yàn)閟in(A+B)=sinC,所以sinAcosB-cosAsinB=sinB+ sinAcosB+cosAsinB,有-2cosAsinB=sinB,

    注意到∠A∈(0°,180°),得出∠A=120°.

    由余弦定理和二元均值不等式,得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc≥3bc=4S.

    反思總結(jié):從余弦定理出發(fā),得a2=b2+c2-2bccosA= b2+c2+bc,用三角形面積公式有3bc=4S,把中間對(duì)接b2+c2+bc≥3bc,等價(jià)于b2+c2≥2bc,這樣,二元均值不等式就自然用到了.望著目標(biāo)、緊緊盯住目標(biāo),進(jìn)行有目的地變形、轉(zhuǎn)化,解題思維路線(xiàn)自然就打通了.這就是“我思,故我發(fā)展,我思,故我進(jìn)步”.

    在同樣的條件下,你能證明類(lèi)似的問(wèn)題嗎?

    設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)和面積分別是a,b,c,S,求證:a2+ 2bc≥4S.積累解題經(jīng)驗(yàn),形成思維模塊,模式識(shí)別和轉(zhuǎn)化,展開(kāi)差異分析,一定會(huì)將數(shù)學(xué)學(xué)得容易、簡(jiǎn)單、明白些.

    例2已知圓x2+y2=1上三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),滿(mǎn)足x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,求證:

    讀題感知:當(dāng)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入單位圓方程時(shí),這是一道有5個(gè)條件等式的等式證明題.

    模式識(shí)別:解析幾何味道的題,變更為代數(shù)條件求值問(wèn)題,難在條件多(5個(gè)),找它們之間的關(guān)系、聯(lián)系,代入消元方法是經(jīng)常采用的,改造與重新組合,形成新的等式.

    差異分析:由一次式x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,解出x3= -(x1+x2),y3=-(y1+y2),再代入的y3也換掉、消失.

    由④、⑤得x3=-(x1+x2),y3=-(y1+y2),代入③,有(x1+ x2)2+(y1+y2)2=1,展開(kāi),并結(jié)合①、②得,即

    反思總結(jié):其實(shí),聯(lián)系到單位圓上的點(diǎn)可以設(shè)為(cosθ,sinθ),問(wèn)題的模式就是三角題目了.利用單位圓的參數(shù)方程,原題轉(zhuǎn)化為:若cosα+cosβ+cosγ=0,sinα+sinβ+ sinγ=0,求證

    如果注意到△ABC的外接圓是單位圓,那么外心是坐標(biāo)原點(diǎn),而△ABC的重心坐標(biāo)是(0,0),于是,△ABC的外心與重心重合,便知△ABC是正三角形.這樣三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),可設(shè)為A(cosθ,sinθ),B(cos(θ+120°),sin(θ+120°)),C(cos(θ+ 240°),sin(θ+240°)).這樣就達(dá)到消參的目的.

    包含多個(gè)參數(shù)的問(wèn)題,如何處理參數(shù),變更參數(shù),這是需要多加總結(jié)、反思和琢磨的話(huà)題,諸如:對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論;代入法消去參數(shù)以減少變量的個(gè)數(shù);換元轉(zhuǎn)化,出現(xiàn)新的自己熟悉模式;抓住要害參數(shù),看作“主元”,形成函數(shù)、方程模型.

    例3設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].求證

    讀題感知:本題是一道高考?jí)壕眍},參數(shù)比較多,求導(dǎo)方法必然用到,但難在處理參數(shù)和識(shí)別參數(shù)上.

    模式識(shí)別:函數(shù)不等式證明,往往要構(gòu)造函數(shù)、利用函數(shù)思想和方程的觀點(diǎn)解決之.字母多,突出“主元”,實(shí)現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化.把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的.

    差異分析:由“函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2”,知x1,x2是一元二次方程f′(x)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系,就獲得了x1,x2與字母b,c的等量關(guān)系,這樣,就可以把目標(biāo)里的b,c消去,實(shí)現(xiàn)了減少參數(shù)的目的.獲得把x2看作“主元”,這是關(guān)于x2的一元三次函數(shù),利用其在特定閉區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性進(jìn)行放大和縮小.最終又歸結(jié)為x1的一次函數(shù),大有層層簡(jiǎn)化的感覺(jué).

    規(guī)范解答:因?yàn)閒′(x)=3x2+6bx+3c,所以,由題意知x1,x2是關(guān)于主元x的一元二次方程3x2+6bx+3c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,從而,利用韋達(dá)定理,得x1+x2=-2b,x1x2=c.

    因?yàn)閤1∈[-1,0],x2∈[1,2],所以

    因?yàn)閤1∈[-1,0],-4+6x1和是增函數(shù),所

    若先把f(x2)看做關(guān)于x1的一次函數(shù),在x1∈[-1,0]上顯然是遞增的,所以

    這樣的解答只是變換了“主元”的次序,看來(lái),“主元”能夠突破多字母的困繞,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解思維的明朗化、清晰化.在做完一道題目之后,做些總結(jié)、反思是必要的,但提出新的類(lèi)似的問(wèn)題,更能發(fā)展自己的思維模式,從積極積累模式、自覺(jué)使用模式,到努力突破模式.同樣地,可以研究類(lèi)似問(wèn)題:設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2],試求函數(shù)值f(x1)的取值范圍.

    二、溫馨提示

    怎樣解答高考數(shù)學(xué)題,溫馨提示助你正能量.

    (1)在讀題的過(guò)程中,實(shí)現(xiàn)模式識(shí)別,學(xué)會(huì)差異分析,學(xué)會(huì)模式變更.

    (2)在解題之后做一點(diǎn)反思是很有必要的,想想題目的條件是什么?解題目標(biāo)什么?為什么要這樣做?不這樣做行嗎?解答過(guò)程還能簡(jiǎn)化嗎?不這樣求解還有更好的辦法嗎?

    (3)“建(坐標(biāo)系)、設(shè)(字母、點(diǎn)坐標(biāo))、列(方程、函數(shù)、不等式)、解(找聯(lián)系、關(guān)系)、驗(yàn)”這5字解題模式,值得思之、思之、再思之.

    (4)解題就是實(shí)現(xiàn)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言之間的翻譯和轉(zhuǎn)換.讀一句、思考一句、翻譯一句,寫(xiě)一句,得一點(diǎn)分?jǐn)?shù).

    (5)學(xué)起于思,思源于疑.運(yùn)算是一種推理、推理要有目標(biāo)、要簡(jiǎn)明合理、更要講道理.強(qiáng)化思維分析,提升心算、腦算能力,解題速度很重要,建議你少用點(diǎn)草稿紙吧.

    我們知道,數(shù)學(xué)是一種關(guān)系(數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、隨機(jī)關(guān)系),數(shù)學(xué)解題就是找關(guān)系.在讀題的過(guò)程中,迅速檢索貯存在大腦中的相關(guān)模式,進(jìn)行模式識(shí)別,在消除條件和解題目標(biāo)之間差異的過(guò)程中,學(xué)習(xí)模式流轉(zhuǎn)、變更、替換.把基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、核心公式定理等模塊印記在自己的大腦里,把考題的基本類(lèi)型固化心中,讓“想清楚、說(shuō)明白、寫(xiě)規(guī)范”作為我們高效復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的一種追求,有模式,但不唯模式.請(qǐng)相信,數(shù)學(xué)是美好的、數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)單的、數(shù)學(xué)高考是容易的,數(shù)學(xué)一定會(huì)成就自己的高考,實(shí)現(xiàn)自己的人生轉(zhuǎn)折.FH

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