基于能力立意的高考命題研究
——數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的視角

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

☉安徽省合肥市教育局教研室許曉天

基于能力立意的高考命題研究
——數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的視角

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

☉安徽省合肥市教育局教研室許曉天

一、試題能力立意的內(nèi)涵

試題的命制過(guò)程，包括立意、情境、設(shè)問(wèn)三個(gè)方面，立意體現(xiàn)試題的主觀考查目的（目標(biāo)），情境是支持與實(shí)現(xiàn)主觀立意的材料和介質(zhì)（即立意的載體），設(shè)問(wèn)是試題的呈現(xiàn)形式.立意是數(shù)學(xué)高考命題者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)教育價(jià)值的理解，高校各不同專業(yè)的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的不同層次的要求等，在命題者的觀念中的反映；情境是體現(xiàn)立意需要考查的知識(shí)、方法、思想所選擇出來(lái)的載體；設(shè)問(wèn)是需要學(xué)生通過(guò)行動(dòng)解決的問(wèn)題.

以能力立意命題，首先要確定數(shù)學(xué)試題的能力考查目標(biāo).根據(jù)能力考查的要求，選擇適宜的數(shù)學(xué)內(nèi)容，根據(jù)能力要求和知識(shí)內(nèi)容選定試題表述（呈現(xiàn)）形式，立意是宗旨.情境與設(shè)問(wèn)必須要體現(xiàn)能力立意的宗旨，服務(wù)于能力考查的立意.以能力立意的命題，首先在命題理念上要體現(xiàn)從學(xué)習(xí)能力測(cè)試來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生.

數(shù)學(xué)高考命題的能力立意，要在試卷框架結(jié)構(gòu)上突出全面的能力因素、多元化的能力層次結(jié)構(gòu)和合理的難度分布.在命題構(gòu)思上要堅(jiān)持用數(shù)學(xué)基本方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，強(qiáng)化能力點(diǎn)的設(shè)計(jì)，淡化煩瑣的運(yùn)算和冗長(zhǎng)的邏輯推理.在試卷設(shè)計(jì)上要突出創(chuàng)新題型，開(kāi)發(fā)、拓展已有題型的功能，發(fā)揮各種題型的組合功能.本文就高考復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的視角，探究在新課程背景下，高考命題能力立意的現(xiàn)實(shí)情況與實(shí)現(xiàn)手段.

二、試題能力立意的特點(diǎn)

由于數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施、新理念的引入，教學(xué)對(duì)象——學(xué)生的基本素質(zhì)發(fā)生了變化，主要數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)發(fā)生了變化，人們對(duì)新課標(biāo)的理解也在實(shí)踐與理論的探索中不斷地加深.在數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標(biāo)中，利用數(shù)學(xué)資源實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的要求在提高，數(shù)學(xué)高考命題也呈現(xiàn)出新氣象，具體體現(xiàn)在如下幾種特點(diǎn).

1.數(shù)式處理能力

雖然近幾年高考命題都力求壓縮計(jì)算的長(zhǎng)度，但是作為數(shù)學(xué)知識(shí)總是繞不開(kāi)計(jì)算的.運(yùn)算能力的展開(kāi)基于以下幾個(gè)方面：算理、算法、數(shù)式處理.算理是指在把握問(wèn)題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，從格局上合理布置運(yùn)算的各個(gè)環(huán)節(jié)，使運(yùn)算承上啟下、有條不紊和結(jié)構(gòu)緊湊，便于運(yùn)算過(guò)程的自然展開(kāi)；算法是一個(gè)將需要引入的運(yùn)算法則、定理、公式組織成一個(gè)緊湊的系統(tǒng)，形成運(yùn)算的一套程序；數(shù)式處理是指相關(guān)數(shù)的混合運(yùn)算、式的變形等實(shí)際操作過(guò)程.

算理、算法與數(shù)式處理組成了運(yùn)算結(jié)構(gòu)的等級(jí)層次性，我們將整個(gè)運(yùn)算過(guò)程比喻成動(dòng)工建造一座大廈，其圖紙的設(shè)計(jì)制作猶如算理，采購(gòu)尋找材料有如算法，砌墻架梁有如數(shù)式處理.因此，算理對(duì)算法與數(shù)式處理具有指導(dǎo)作用，算法是算理對(duì)具體的數(shù)式處理發(fā)揮指導(dǎo)作用的中介與橋梁，具體的數(shù)式處理則是算理與算法的體現(xiàn).

運(yùn)算能力體現(xiàn)在高考命題中具有相對(duì)隱蔽性，在命題者的立意中，往往體現(xiàn)得非常明確，但是在命題設(shè)計(jì)的情境、命題的設(shè)問(wèn)中，都不會(huì)明確地提出來(lái).因此，這種能力的實(shí)現(xiàn)，需要考生自己具有相應(yīng)的素質(zhì)，也是數(shù)學(xué)新課程教學(xué)與高考復(fù)習(xí)時(shí)，教師要注意的問(wèn)題.請(qǐng)看下面的例子.

例1（2012年高考新課標(biāo)卷理科壓軸題）已知函數(shù)f（x）滿足

（Ⅰ）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；

分析：對(duì)于問(wèn)題（Ⅰ），依據(jù)題設(shè)，能夠得到f（x）=ex-

研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)然需要借助導(dǎo)數(shù)來(lái)處理. f′（x）=ex+x-1.當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0.于是函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)；在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù).

對(duì)于問(wèn)題（Ⅱ），把③代入②，化簡(jiǎn)，得不等式ex-（a+ 1）x-b≥0④.我們想由不等式④構(gòu)造出（a+1）b的表達(dá)式，可以將④寫成ex≥（a+1）x+b⑤，具有兩種途徑：將不等式⑤的左右兩邊平方，或者審視⑤的右邊，利用基本不等式，都可以達(dá)到目的，可惜，雖然能夠構(gòu)造出（a+ 1）b的表達(dá)式，但是后面的思路受阻，這種想法得不到執(zhí)行.此時(shí)，我們又產(chǎn)生了一種想法，可否直接構(gòu)造（a+1）b的一種表達(dá)式？由不等式④，知b≤ex-（a+1）x⑥，考慮將不等式⑥兩邊都乘以a+1，這需要進(jìn)行區(qū)別對(duì)待.

（1）當(dāng)a+1＞0時(shí)，則（a+1）b≤（a+1）ex-（a+1）2x.設(shè)g（x）=（a+1）ex-（a+1）2x.令g′（x）=（a+1）ex-（a+1）2=0，由于a+1＞0，則ex-（a+1）=0?x=ln（a+1）.當(dāng)x∈（-∞，ln（a+1））時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（ln（a+1），+∞）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增.

故函數(shù)g（x）有最小值g（ln（a+1））=（a+1）2-（a+1）2ln（a+ 1）.所以不等式④等價(jià)于（a+1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+ 1）⑦.于是只要獲得不等式⑦的右邊的最大值就行了.設(shè)h（t）=t2-t2lnt（t＞0）.令h′（t）=2t-2tlnt-t=t-2tlnt=t（1-2lnt） =0，得t=0（舍去）或）時(shí)，函數(shù)h（t）單調(diào)

（2）當(dāng)a+1≤0時(shí)，請(qǐng)讀者自己驗(yàn)證，此時(shí)都不能保證不等式⑥恒成立.

本例的問(wèn)題（Ⅰ）難度不大，只要列出相關(guān)的方程就可以解決了.對(duì)于問(wèn)題（Ⅱ），有許多手段可構(gòu)造出（a+1）b的表達(dá)式，但是從不等式⑤中間接產(chǎn)生的不等式都難以達(dá)到目的，我們只得直接從不等式⑥中構(gòu)造出（a+1）b的表達(dá)式，此時(shí)，對(duì)a+1的正負(fù)判斷也就水到渠成了.于是，構(gòu)造所需要的目標(biāo)式，使問(wèn)題得以解決.

事實(shí)上，我們?cè)诼?tīng)課時(shí)，老師并沒(méi)有給出從不等式④，到不等式⑤，再到不等式⑥的一系列構(gòu)造過(guò)程，而是直接針對(duì)不等式④設(shè)g（x）=ex-（a+1）x，求導(dǎo)數(shù)，再對(duì)a+1分正數(shù)與非正數(shù)加以討論.為什么要構(gòu)造函數(shù)g（x）與求導(dǎo)？為什么要對(duì)a+1分這些情況進(jìn)行討論？對(duì)學(xué)生而言，這些活動(dòng)環(huán)節(jié)的取得都似乎是教師在變魔術(shù)，學(xué)生的心理是難以理解和承受的，學(xué)生可能要懷疑自己的智力是否低下，否則，為什么不能產(chǎn)生像老師講題時(shí)的那種奇思妙想呢？這些都是算理上要解決的問(wèn)題.

2.邏輯思維能力

數(shù)學(xué)玩的是邏輯、關(guān)系與模式.從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)是邏輯的代名詞.盡管對(duì)邏輯思維具有各種不同的認(rèn)識(shí)，但是，邏輯過(guò)程要求褪盡鉛華，洗去塵滓，純而又純，簡(jiǎn)練到一塵不染［1］.邏輯是表達(dá)思想、說(shuō)服他人最為有力的手段.但是從數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的視角上看，必須將這種邏輯的表達(dá)過(guò)程轉(zhuǎn)化為滿足學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的心理活動(dòng)過(guò)程，這是教師需要努力的關(guān)鍵之處.

例2（2012年高考湖北理科第22題）（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=rx-xr+（1-r）（x＞0），其中r為有理數(shù)，且0＜r＜1，求f（x）的最小值；

（Ⅱ）使用（Ⅰ）的結(jié)果證明如下命題：

設(shè)a1≥0，a2≥0，b1、b2為正有理數(shù)，若b1+b2=1，則≤a1b1+a2b2①；

（Ⅲ）請(qǐng)將（Ⅱ）的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的結(jié)論.

注：當(dāng)α為正有數(shù)時(shí)，其求導(dǎo)公式為（xα）′=αxα-1.

分析：對(duì)于問(wèn)題（Ⅰ），直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的最小值就行了.f′（x）=r-rxr-1=r（1-xr-1）.令f′（x）=0，知x=1.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù).故函數(shù)f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0.

對(duì)于問(wèn)題（Ⅱ），由（Ⅰ）的結(jié)論知f（x）≥f（1）=0，即rx-xr+（1-r）≥0，即xr≤rx+（1-r）②.如何將a1≥0，a2≥0，b1、b2為正有理數(shù)，b1+b2=1等條件應(yīng)用到不等式②中去？注意到不等式②，知只要證明不等式中的相關(guān)事實(shí)：r+（1-r）=1，對(duì)應(yīng)于b1+b2=1，可設(shè)b1=r，則b2=1-r.現(xiàn)在主要問(wèn)題是如何給x賦值.我們不能直接構(gòu)造出不等式①的左端，它可以寫③，不等式①的右端為a1b1+④.關(guān)聯(lián)③、④、⑤成立就行了.取此時(shí)滿足a1≥0，a2≥0，b1、b2為正有理數(shù)，代入不等式①，知不等式⑤成立，化簡(jiǎn)，知≤a1b1+a（21-b1），即≤a1b1+a2b2①.

本題中將不等式①構(gòu)造成適合不等式②的形式，不是直接的，關(guān)鍵在于我們將不等式①轉(zhuǎn)換成可以適合不等式②的一種形式，這種解法就是：利用b1+b2=1這個(gè)等式減少變?cè)膫€(gè)數(shù).

對(duì)于問(wèn)題（Ⅲ），（Ⅱ）中的命題推廣的形式為：設(shè)a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1、b2、…、bn為正有理數(shù)，若b1+b2+…bn=1，則a1b1+a2b2+…+anbn⑥.現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明如下.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=1，此時(shí)a1≤a1成立，即不等式⑥成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式⑥成立，即若a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，b1、b2、…、bk為正有理數(shù)，b1+b2+…+bk=1，則…·≤a1b1+a2b2+…+akbk.當(dāng)n=k+1時(shí)，若a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，ak+1≥0，b1、b2、…、bk、bk+1為正有理數(shù)，b1+b2+…+bk+bk+1= 1，則0＜bk+1＜1，1-bk+1＞0⑦，從而⑧.基于⑦、⑧，我們就是如此引導(dǎo)學(xué)生從，由歸納假設(shè)，知（1-bk+1）+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式⑥成立.

由（1）、（2）知：對(duì)一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立.

說(shuō)明：?jiǎn)栴}（Ⅱ）的解決中，不等式⑤的獲得只是要構(gòu)造已經(jīng)取得的不等式②，這一點(diǎn)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較好理解的.關(guān)鍵問(wèn)題在于問(wèn)題（Ⅲ）中的不等式⑧的取得，就給人以神來(lái)之筆的感覺(jué)，教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就應(yīng)該是仔細(xì)研究不等式⑧在學(xué)生心理上是如何發(fā)生的.事實(shí)上，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生向老師追問(wèn)不等式⑧是怎樣想到的，這是教師在解題教學(xué)設(shè)計(jì)中必須要仔細(xì)考慮的，否則，在學(xué)生的思想中就會(huì)產(chǎn)生如波利亞所說(shuō)的“從帽子里變出兔子”的感覺(jué).

教學(xué)設(shè)計(jì)的修改：本例問(wèn)題（Ⅲ）中的不等式⑧，構(gòu)成了教師解決這道題的教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).處理它的方法之一，就是審視問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)歸納法的“遞推步”中，如何處理題，我們想運(yùn)用（Ⅱ）的結(jié)論不等式①這一知識(shí)框架來(lái)套用它，結(jié)合歸納條件，將式⑨寫成式⑩括號(hào)內(nèi)的看成一個(gè)因式，即不等式①中的a就是不等式①中的ab22.由于b1+b2=1，因此，我們首賦予一個(gè)指數(shù)1-bk+1，從而構(gòu)成bk+1+（1-bk+1） =1，于是根據(jù)冪的乘方法則，知心理上構(gòu)造出了等式⑧，如此，就將⑩轉(zhuǎn)化成了等式⑧的右端，它就適應(yīng)了知識(shí)框架不等式①.

我們通過(guò)對(duì)式⑩的結(jié)構(gòu)分析，靈活地使用了框架不等式①，即將式⑩化歸成不等式①，就必然要構(gòu)造出運(yùn)用不等式①的重要條件b1+b2=1.在此觀念的指導(dǎo)下行動(dòng)，進(jìn)行了一系列的構(gòu)造，完成了從解題過(guò)程中數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性的發(fā)生，到學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)心理過(guò)程的發(fā)生.

3.空間想象能力

培養(yǎng)學(xué)生的空間形象能力是立體幾何的真正價(jià)值之所在.在高考命題時(shí)，力爭(zhēng)鼓勵(lì)學(xué)生從具體、直觀的立體幾何圖形中，由自己依據(jù)問(wèn)題的目標(biāo)，操作作圖；依據(jù)圖形的主要特點(diǎn)，經(jīng)由觀察、辨別、選擇合適的材料，構(gòu)建決定問(wèn)題結(jié)構(gòu)的輪廓；經(jīng)過(guò)類比、比較、試探等手段，使得聯(lián)想與想象的材料（線、面、體）進(jìn)入問(wèn)題的情境，將圖形已經(jīng)具有的特點(diǎn)構(gòu)成穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，這種穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)是對(duì)圖形的深層次的把握.

例3（2009年高考安徽卷理科第19題）如圖1，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC=2，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

圖1

（Ⅰ）求二面角B-AF-D的大??；

（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.

在命題時(shí)，沒(méi)有畫出四棱錐E-ABCD的用意，不只是害怕學(xué)生在解決問(wèn)題（Ⅰ）時(shí)，圖形中所出現(xiàn)的錯(cuò)綜復(fù)雜的線條對(duì)學(xué)生造成干擾，更重要的是體現(xiàn)我們上述所論述的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，引導(dǎo)教師在課程實(shí)施中如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo).學(xué)生在尋找這道題的思路時(shí)，操作圖形時(shí)，便繞不過(guò)從圖2到圖3，再到圖4這一整套過(guò)程.

圖2

圖3

圖4

考生比較容易畫出圖2，在圖2中確定四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分不是一件容易的事兒，他們必須首先確定圖形的遮掩，分別用實(shí)線與虛線加以區(qū)別；然后判斷圖形中線與線之間可能產(chǎn)生的交點(diǎn)，此時(shí)，一定會(huì)有學(xué)生產(chǎn)生圖3形式的錯(cuò)誤，誤認(rèn)為P、Q、S、R皆是所得到的線與線之間的交點(diǎn)，考生必須要從這種混亂的觀念中突破出來(lái)，否則，就不可能得到正確的問(wèn)題解答思路.

此時(shí)，直觀感知就不能給我們以更多的幫助了，解題者必須要經(jīng)由自己的想象能力與聯(lián)想能力的介入，才能去偽存真，排除掉魚(yú)目混珠的假交點(diǎn).事實(shí)上，由于底邊四邊形是菱形，我們知道，面ADE與面ABE、面CDF與面BAF都是關(guān)于面AEFC鏡面對(duì)稱，稍作想象，我們就可以直觀地看出，面CDE與面CDF的相交線是CD，于是點(diǎn)S不是直線CE與直線DF的交點(diǎn)，同理可知點(diǎn)P不是直線DE與直線AF的交點(diǎn)，點(diǎn)Q不是直線BE與直線AF的交點(diǎn)；只有點(diǎn)R是直線AF與直線CE的交點(diǎn).

我們命題的意旨就是促成考生經(jīng)過(guò)如此的一系列探究，方能作出判斷與選擇，在所作的四棱錐E-ABCD中，最終確定了只有直線AF與直線CE相較于點(diǎn)R，于是，便能夠迅速地知道面CDE與面ADF相交于直線RD，面BCE與面ABF相交于直線RB，如此，四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐R-ABCD，余下的只是求其體積就行了.

從設(shè)想與預(yù)計(jì)考生的解答思路中，我們發(fā)現(xiàn)，決定問(wèn)題最終結(jié)論的計(jì)算只是一個(gè)簡(jiǎn)單的平面圖形圖5，這就化歸到了數(shù)學(xué)基本知識(shí)的要求.然而解決問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程中探究活動(dòng)的展開(kāi)，基本圖形圖5的提取，由我們的分析知道，深刻地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新課程所設(shè)定的數(shù)學(xué)教育一系列的課程目標(biāo).命制這道高考數(shù)學(xué)題的創(chuàng)新之處正在于在所給定的題圖中不作出四棱錐E-ABCD，考生必須經(jīng)過(guò)操作、猜想、想象、比較、辨別、選擇等智力投入，形成千回百轉(zhuǎn)的思想活動(dòng)，才能獲得解決問(wèn)題的思路.如此實(shí)現(xiàn)了新課程理念：實(shí)踐與應(yīng)用，并且難度也控制得非常成功，誘導(dǎo)考生充分發(fā)揮現(xiàn)實(shí)問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題相互交替的作用，有效地考查學(xué)生的空間想象能力.

4.創(chuàng)新能力

在有意無(wú)意中，高考數(shù)學(xué)命題被當(dāng)成了實(shí)施數(shù)學(xué)課程的“指揮棒”，這是人人都不否認(rèn)的，它反過(guò)來(lái)作用于數(shù)學(xué)課程目標(biāo)與數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標(biāo).因此，出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)真卷上的試題，就不僅僅只具有選拔功能的一面，更為重要的是它從反方向上制約著數(shù)學(xué)課程實(shí)施中數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成及其實(shí)現(xiàn)程度.因此，考查創(chuàng)新能力的命題也就因之而出了.

例4（2012年高考江西理科第21題）若函數(shù)h（x）滿足：（1）h（0）=1，h（1）=0；（2）對(duì)任意a∈［0，1］，有h（h（a））=a；（3）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，則稱函數(shù)h（x）為補(bǔ)函數(shù).已知函數(shù)

圖5

（Ⅰ）判斷函數(shù)h（x）是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論.

（Ⅱ）若存在m∈［0，1］，使h（m）=m，稱m是函數(shù)h（x）的中介元.記時(shí)h（x）的中介元為xn，且Sn=若對(duì)任意的n∈N*，都有，求λ的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)λ=0，x∈［0，1］時(shí)，函數(shù)y=h（x）的圖像總在直線y=1-x的上方，求p的取值范圍.

分析：對(duì)于問(wèn)題（Ⅰ），只要依照補(bǔ)函數(shù)的定義一項(xiàng)一項(xiàng)地驗(yàn)證就行了.由補(bǔ)函數(shù)的定義，知（λ＞-1，p＞0）是補(bǔ)函數(shù).

對(duì)于問(wèn)題（Ⅲ），當(dāng)λ=0時(shí)，由問(wèn)題（Ⅱ）的解答，知函數(shù)h（x）的中介元為.（?。┤?＜p≤1，知所以對(duì)中介元xp而言，而y=1-，則函數(shù)y=h（x）的圖像不總在直線y=1-x的上方.（ⅱ）當(dāng)p＞1時(shí)，依據(jù)題意只須在x∈（0，1）時(shí)恒成立，化簡(jiǎn)成xp+（1-x）p＜1在x∈（0，1）時(shí)恒成立.設(shè)k（x）=xp+（1-x）p，x∈（0，1），則k′（x）=p［xp-1-（1-x）p-1］.由 k′（x）=0，知時(shí)，k′（x）＜0；當(dāng)x∈時(shí)，k′（x）＞0.又因?yàn)閗（0）=k（1）=1，所以在x∈（0，1）時(shí)，k（x）＜1.

綜合（?。ⅲáⅲ?，知p的取值范圍為（1，+∞）.

本例通過(guò)定義“補(bǔ)函數(shù)”與“中介元”，以此為基礎(chǔ)，形成了兩個(gè)方面的創(chuàng)新：其一，命題的創(chuàng)新，這些雖然是在命題者的要求下所進(jìn)行的研究活動(dòng)，而不是學(xué)生自發(fā)地進(jìn)行研究的過(guò)程中自己產(chǎn)生的相關(guān)的觀念與思想，但是，也能使得考生真正感受像數(shù)學(xué)家一樣地理解數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題而開(kāi)拓材料、方法等一整套的過(guò)程；其二，解題的創(chuàng)新，例如，由“中介元”的定義，生成了一個(gè)等比數(shù)列，“中介元”又是解決問(wèn)題（Ⅲ）的必備條件，解題的創(chuàng)新在這一系列的過(guò)程中展示出來(lái)了.

三、試題能力立意的啟示

在高考命題從知識(shí)立意向能力立意轉(zhuǎn)變時(shí)，有部分教師認(rèn)為：學(xué)生最薄弱的環(huán)節(jié)是閱讀理解能力比較差，影響了審題，乃至邏輯推理、運(yùn)算等能力的發(fā)揮.其實(shí)不然，能力的考查中滲透著抽象、概括、數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)、數(shù)學(xué)交流等方面的能力，交織著對(duì)社會(huì)生活的體驗(yàn)程度，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀的體悟，所有這些方面的實(shí)踐，現(xiàn)在都得到相應(yīng)的強(qiáng)調(diào)（如同學(xué)生的運(yùn)算能力差，是否都可以歸結(jié)為粗心大意的原因呢？），問(wèn)題也暴露了，但是在理論上還沒(méi)有找到真正的原因.［2］

我們知道，客觀上可以如此說(shuō)：高考是教學(xué)的指揮棒.希望在轉(zhuǎn)變教育觀念、更新評(píng)價(jià)理念和調(diào)整課程內(nèi)容的變革中，使中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有所突破，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)更上一個(gè)臺(tái)階.高考命題的能力立意正在走向深入，我們將竭盡全力，去實(shí)踐能力立意的命題使命.我們相信高考命題全面落實(shí)能力立意之時(shí)，必將是研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新教學(xué)產(chǎn)生良性互動(dòng)作用、一代新人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)全面提高之日.

1.張昆.滲透目標(biāo)觀念駕馭數(shù)學(xué)高考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（6）.

2.陳嘉駒，查建國(guó).高考命題體現(xiàn)能力立意的策略［J］，數(shù)學(xué)通報(bào)，2003（8）.Y