淺談集合中的數(shù)學(xué)思想

張建立

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué);集合;數(shù)學(xué)思想

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 C

【文章編號(hào)】 1004—0463（2015）11—0121—01

集合是近代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，若是運(yùn)用集合思想，可以使問題解決得更簡(jiǎn)單明了。而且這種數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中是很有價(jià)值的，它的很多思想和展現(xiàn)的方式對(duì)于幫助學(xué)生理解題意和解答問題都有很大作用.下面，筆者就談?wù)劶现械臄?shù)學(xué)思想.

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程的思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，建立函數(shù)關(guān)系或方程，然后用函數(shù)或方程的方法去解決問題.函數(shù)與方程的思想也是高中數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想，就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，把變量之間的關(guān)系用方程的關(guān)系反映出來(lái)，然后通過解方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行討論的方法，使問題得到解決.

例1 ?已知集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|y=-x+1，0≤x≤2}，若A∩B≠空集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：由方程y=x2+mx+2和y=-x+1，聯(lián)立解消去y得到 x2+（m+1）x+1=0，

此方程在[0，2]上的解不是空集，

必須？駐≥0， f （0）與f （2）異號(hào)（或?yàn)?），即 1×[2（m+1）+5]≤0 ，求得m≤-■.

對(duì)稱軸在[0，2]內(nèi)，且f （0）≥0，f （2）≥0，即（m+1）2-4≥0，0≤-■≤2，2m+7≥0，m≤-1 或 m≥3，-5≤m≤-1，m≥-■，∴-■≤m≤-1.

對(duì)以上兩種情況取并集，得到m≤-1.

所以m∈（-∞，-1]

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀、具體的圖形結(jié)合起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化，化抽象為直觀，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.集合中常用到數(shù)軸法和韋恩圖法.

例2 ?設(shè)集合A={x||x-a|<2}，B={x|2x-■+2<1}，若A包含于B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：根據(jù)B={x|2x-■+2<1}，

求出x： ?-2

A={x||x-a|<2}，求出x得a-2

A包含于B，a-2≥-2 且a+2≤3

得 0 ≤a≤1.

評(píng)注：應(yīng)用數(shù)軸解答有關(guān)集合問題時(shí)，應(yīng)先畫出數(shù)軸，然后依據(jù)題目的條件將集合準(zhǔn)確地在數(shù)軸上表示出來(lái)，再借助數(shù)軸的直觀性，從而使抽象的集合問題的解答簡(jiǎn)潔、巧妙、形象、直觀.

三、分類討論思想

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種基本的解題策略，其實(shí)質(zhì)是邏輯劃分.通過分類討論、各個(gè)擊破的解題手段，使問題變得條理清晰、層次分明、易于解決.在運(yùn)用分類討論的思想來(lái)解決問題時(shí)，必須要統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)，保證分類時(shí)不重、不漏，并力求最簡(jiǎn).

例3 ?設(shè)集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={y|y=ax2-2x+4a，x∈R}，若A？哿B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由y=x2-2x+4=（x-1）2+3≥3，得A={y|y≥3}.

在集合B中，y=ax2-2x+4a，x∈R

1.當(dāng)a=0時(shí)，y=-2x，則B=R，滿足A？哿B.

2.當(dāng)a≠0時(shí)，y=a（x-■）2+4a-■.

（1）若a<0，則B={y|y≤4a-■，a<0}，這與A？哿B矛盾.

（2）若a>0，則B={y|y≥4a-■，a>0}、為使A？哿B，只要4a-■≤3即可，從而可得0

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|0≤a≤1}.

評(píng)注：分類討論是解決集合問題的常用方法，但在分類時(shí)，必須要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，簡(jiǎn)明扼要，做到不重不漏.

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想，就是緊扣求解目標(biāo).處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過某種變換或化歸，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，從而使原問題得到解決.

例4 ?已知集合A={（x，y）|■=a+1}B={（x，y）|（a2-1）x+（a-1）y=15}，當(dāng)a取何實(shí)數(shù)時(shí)，A∩B=？準(zhǔn).

分析：將A∩B=？準(zhǔn)用符號(hào)表示的集合問題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的解析幾何問題，利用直線平行無(wú)交點(diǎn)來(lái)解決集合的交集為空集問題，從而求得a的范圍.

解：A∩B=？準(zhǔn)，當(dāng)直線y=（a+1）（x-2）+3， 與直線y=-x+平行時(shí)，

A∩B=？準(zhǔn)，則（a+1）=-（a+1）， 即a=-1.

因?yàn)椋?，3）？埸A，

所以當(dāng)（2，3）∈B時(shí)， A∩B=？準(zhǔn)，

則3=- 2（a+1） +，

解得a=或-4. ? 所以a=-1，-4，

評(píng)注：數(shù)學(xué)語(yǔ)言通常包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言等，在處理集合問題時(shí)，我們經(jīng)常需要將這幾種語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但在相互轉(zhuǎn)化的過程中要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.

編輯：謝穎麗