談區(qū)域問題的解題策略

河北省邢臺市第二十六中學(xué) 郝曉輝

為了培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力，高中課本當中引入了簡單線性規(guī)劃內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容主要是教給學(xué)生如何用圖解法求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，這也是本節(jié)重點難點所在。而用線性規(guī)劃知識解決一些實際應(yīng)用問題也較為方便快捷，因此線性規(guī)劃問題在高考復(fù)習(xí)中就顯得尤為重要，下面就舉例說明一下線性規(guī)劃及其實際應(yīng)用。

一、平面區(qū)域的引入

二元一次不等式Ax+By+c＞0表示直線Ax+By+c=0的某側(cè)部分，且不包括邊界直線。而Ax+By+c≥0所表示的平面區(qū)域包括邊界直線。

如x?y+ 2 ≥ 0表 示 直 線x?y+ 2 = 0及其下部，如圖1，它是一個開放區(qū)域。

方程x2+y2=1表示以原點為圓心，半徑為1的單位圓，而不等式x2+y2≤1就表示以原點為圓心，半徑為1的單位圓及其內(nèi)部。如圖2，它是一個封閉區(qū)域。再如，方程y2= 2 p x( p ＞0)表示以坐標原點為頂點，焦點為E0），開口向右的拋物線。而不等式y(tǒng)2≤ 2 p x( p ＞0)則表示以坐標原點為頂點，為焦點，開口向右的拋物線及其內(nèi)部。如圖3，它也是一個開放區(qū)域。

總之一個區(qū)域總可以用一個圖形把它準確地表示出來。

二、線性規(guī)劃問題的解決

1.求區(qū)域面積

例1：求不等式表示的平面區(qū)域的面積

解：可化為

平面區(qū)域ABCD是邊長為的正方形，因此所求平面區(qū)域的面積為8。

2.最值問題

所圍成的區(qū)域內(nèi)的不同兩點，則

的取值范圍是（ ）

A.(0 , 2]

B ( 0,

C ( 0,

解：作出可行域 如圖5

頂點

A (1 , 2)B (1,1)C(5,1)

的取值范圍是故選C

3.相關(guān)區(qū)域型問題的解決

例3：已知a, b ∈ R+，且方 程x2+ 2 a x + b =0與 方 程x2+ 2 b x + a =0都有實根，則

a+b 最小值為 。

分析：由已知，要想寫出關(guān)于a+b 的代數(shù)式顯然辦不到，由已知可得到關(guān)于a,b的不等式關(guān)系，(2 a )2?4b ≥0且(2 b ( )2

a?, b

4 ) a ≥0,即

a2≥b 且b2≥a ，若把 看作一個動點坐標，考慮到a, b ∈ R+，則上述兩式所表示的是兩個區(qū)域，分別如圖6與圖7，而它們的公共部分如圖8所示。

令z=a+b ，則b=?a+z

作直線l0： b=?a 并平移至l1過點A (1,1)，此時，zmin=1+ 1 = 2即a+b 的最小值為2。

由以上例題可見，線性規(guī)劃問題的解決是用圖解法，而與之相關(guān)的區(qū)域型問題的解決也是借助于圖像解題，是典型的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。區(qū)域型問題的解決體現(xiàn)了數(shù)形之間的相互滲透，融合，這種解法把抽象思維和形象思維結(jié)合在一起，化解問題難度，使解題更靈活準確，科學(xué)化。此類題型的解決可培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生創(chuàng)造性運用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的能力。