拋物系統(tǒng)的最優(yōu)初值控制問題

趙 堅，高 夯

（1.國家開放大學(xué)教育學(xué)部，北京100039；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林長春130024）

拋物系統(tǒng)的最優(yōu)初值控制問題

趙 堅1，高 夯2

（1.國家開放大學(xué)教育學(xué)部，北京100039；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林長春130024）

討論了拋物型方程支配系統(tǒng)初值的最優(yōu)控制問題，得到了新形式最優(yōu)控制的必要條件，其結(jié)果豐富了分布參數(shù)系統(tǒng)的控制理論.

拋物系統(tǒng)；最優(yōu)控制；必要條件

1 問題的提出

本文討論如下的問題：

其中，Q＝Ω×（0，T），Ω?Rn是一個具有光滑邊界的有界區(qū)域，

是控制函數(shù)，U是一個有界閉集.在一些工程問題中，只有初始狀態(tài)是人們可以控制的.例如，非智能的彈道控制（人們只能控制初始的發(fā)射速度與發(fā)射角度），電子對抗中的初始信號等.在前人的工作中，人們只討論了分布控制的情形，即

的情形［1－5］，初值u（x）是給定的函數(shù)，而在本文中初值是控制變量.

我們假設(shè)：

由文獻［6］知，系統(tǒng)（1.1）存在唯一解，故對于u∈L∞（Ω，U）可定義

其中f0與φ滿足如下的條件：

（H2）f0：Q×R→R，且?y∈R，f0（·，y）可積，?（x，t）∈Q，f0（x，t，·）∈C1（R）.

（H3）φ：Ω×R→R，且?y∈R，φ（·，y）可積，?x∈Ω，φ（x，·）∈C1（R）.

若存在ˉu∈L∞（Ω，U），使得

則稱ˉu是最優(yōu)初值，稱ˉy（x，t）＝y(tǒng)（x，t，ˉu）是最優(yōu)狀態(tài)，稱（ˉy，ˉu）是最優(yōu)對.

定理 設(shè)條件（H0）—（H3）被滿足，且（ˉy，ˉu）是最優(yōu)對，則有如下的最大值原理成立：

的解.

2 定理的證明

在本文問題的討論中，主要使用的工具是針狀變分與Liapounoff定理.首先給出如下的引理：

引理1（Liapounoff定理） 設(shè)y∈L′（Ω，Rn），λ∈（0，1）是一個常數(shù)，則存在可測集E∈Ω，使得m（E）＝λm（Ω），且

該引理的證明見文獻［2］.

其次分如下的步驟來完成本文定理的證明：

第一步，對系統(tǒng)（1.1）做變分.為此，先對控制變量做擾動.

?u∈L∞（Ω，U），?ε＞0，選取Ωε?Ω，measΩε＝εmeasΩ.

令

記yε（x，t）＝y(tǒng)（x，t；uε），有如下的引理：

引理2 存在常數(shù)k，使得‖yε－y‖W12，1（Q）≤kε.

證明 因yε與y 滿足初值為uε與u的系統(tǒng)（1.1），故有

其中ζ＝ˉy＋θ（yε－ˉy）.由文獻［6］即可知該引理成立.

引理3 在條件（H0）－（H3）下，有

證明 由系統(tǒng)（2.1）與（2.2）可得

由系統(tǒng)（2.2）可知，存在常數(shù)k，使得｜z（x，t）｜≤k，且

顯然有

而對于（2.4）式右端的第二項，有

故?δ＞0，存在φ0∈L2（Ω），使得

由引理1可知，對于函數(shù)［u（x）－ˉu（x）］φ0（x），存在Ωε?Ω，m（Ωε）＝εm（Ω），使得

即

由δ的任意性，故有

我們引入方程

稱方程（2.5）是方程（2.2）的對偶方程，方程（2.5）在W1，12（Q）中存在唯一解.

第二步，對泛函（1.2）做變分.顯然有

上式兩端同除ε，并取極限，得

?x0∈Ω做球B（x0，δ）?Ω，且取

則上式成為

將上式同除measB（xo，δ），且令δ→0，根據(jù)ψ（x，0）ˉu（x）的Lebesgue點稠密，進而有

綜上所述，定理得證.

［1］ BARBU V.Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems［M］.New York：Academic Press，1933：258-305.

［2］ LI X，YONG J.Optimal control theory for infinite dimensional systems［M］.Birkhauser Boston：Cambrige MA，1995：168-179.

［3］ WANG G，WANG L.Maximum principle of optimal control of non-well posed differential equations［J］.Nonlinear Anal，2003，52：41-67.

［4］ GAO H.Optimality condition for a class of semilinear parabolic equations［J］.Acta Math Sinica，1999，42（4）：705-714.

［5］ LIN P，WANG G.Some properties for blow-up parabolic equation［J］.J Math Pure Appl，2014，101：223-255.

［6］ EVANS L.Parabolic differential equations［M］.Rhode Island：American Mathematical Society，1998：502-518.

Optimal initial value control problem for parabolic equation systems

ZHAO Jian1，GAO Hang2
（1.School of Education，Open University of China，Beijing 100039，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

In this paper，We discuss the optimal initial value control problem for parabolic differential equation systems.We obtain the necessary conditions for optimal initial value control by a new maximum principle.The results given in this paper may enrich the control theory for infinite dimension control systems.

parabolic equation system；optimal control；necessary conditions

O 232 ［學(xué)科代碼］ 120·30

A

（責任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0001-04

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.001

2015-03-26

國家自然科學(xué)基金資助項目（11171060）；國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（973計劃）項目（2011CB8080002）.

趙堅（1958—），女，教授，主要從事控制數(shù)學(xué)理論研究；通訊作者：高夯（1956—），男，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事控制數(shù)學(xué)理論研究.