曲面上測(cè)地線和短程線的性質(zhì)

邢家省，高建全，羅秀華

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191；3.平頂山教育學(xué)院，河南平頂山467000）

曲面上測(cè)地線和短程線的性質(zhì)

邢家省1，2，高建全3，羅秀華3

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191；3.平頂山教育學(xué)院，河南平頂山467000）

從曲面上曲線的測(cè)地曲率向量和測(cè)地曲率的定義出發(fā)，在測(cè)地線定義的基礎(chǔ)上，給出測(cè)地線的三種充分必要條件，并給出應(yīng)用中新的處理方法；發(fā)現(xiàn)了曲面上短程線的必要條件的三個(gè)結(jié)論正好對(duì)應(yīng)于測(cè)地線的三個(gè)等價(jià)條件。

測(cè)地曲率向量；測(cè)地曲率；測(cè)地線；短程線

引言

關(guān)于曲面上的測(cè)地線，文獻(xiàn)［1－5］中給出了一種定義，沒(méi)有給出測(cè)地線的等價(jià)性質(zhì)，這在使用中非常不方便。關(guān)于測(cè)地線有三種充分必要條件，利用測(cè)地線的等價(jià)性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化一些結(jié)論的證明。關(guān)于曲面上短程線的必要條件，現(xiàn)有文獻(xiàn)［1－4］給出了兩種證明過(guò)程，本文給出了一種新的證明過(guò)程，這三種證明過(guò)程的結(jié)果正好對(duì)應(yīng)于測(cè)地線的三種條件。給出了球面上的測(cè)地線必在球面大圓上的證明。

1 測(cè)地曲率向量和測(cè)地曲率的定義

設(shè)C2類(lèi)正則曲面：

記→ri＝→rui；gij＝→ri·→rj，i，j＝1，2，gij＝gji；g11g22－g12g21＝g；→rij＝→ruiuj。設(shè)Γ是曲面Σ上的一條曲線，其參數(shù)方程為：

或

這里s是該曲線的自然參數(shù)。

在任固定曲面Σ上一點(diǎn)P（u1，u2），并設(shè)TP為曲面Σ在P點(diǎn)的切平面。設(shè)→n為曲面Σ在P點(diǎn)的單位法向量，以→α表示曲線Γ上P點(diǎn)處的單位切向量；以→β表示曲線Γ上P點(diǎn)處的主法向量，→γ是副法向量。

定義1［1-6］曲面Σ上曲線Γ在P點(diǎn)的單位切向量的導(dǎo)向量→α′（s）在切平面TP上的投影向量→τP＝→α′（s）－（→α′（s）·→n）→n，稱(chēng)為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率向量。

關(guān)于測(cè)地曲率向量的幾何意義，可見(jiàn)文獻(xiàn)［2，5-6］。

稱(chēng)D→α＝d→α－（d→α·→n）→n為→α（s）沿曲線Γ的絕對(duì)微分［1-6］。顯然→α′（s）－（→α′（s）·→n）→n與→n，→α都垂直。命→ε＝→n×→α，則→α，→ε，→n是彼此正交的單位向量，并且構(gòu)成一右手系。顯然→α′（s）－（→α′（s）·→n）→n平行于→ε。

定義2［1-4］曲面Σ上曲線Γ的切向量的導(dǎo)向量→α′（s）在→ε上的投影向量→τP＝（→α′（s）·→ε）→ε，稱(chēng)為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率向量。→τP＝（→r″（s）·→ε）→ε。

定義3［1-4］將→r″（s）·→ε稱(chēng)為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率，記作kg，kg＝→r″（s）·→ε＝→τP·→ε。

顯然有

2 曲面上曲線的測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式

注意到kg＝（→r′，→r″，→n），將

代入測(cè)地曲率的計(jì)算公式，經(jīng)過(guò)計(jì)算［6］，得

式（1）是測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式，方便于直接使用。

利用曲面論的基本方程式中的記號(hào)［1-8］，可將（1）式化為：

故

利用kg→ε＝→r″（s）－kn→n，而

再由曲面的基本方程

到得

于是

將（3）式兩邊與→ε作內(nèi)積，亦可得出（2）式。

3 曲面上測(cè)地線的定義及測(cè)地線的充分必要條件

定義4［1-5］曲面上的一條曲線，如果它在每一點(diǎn)處的測(cè)地曲率恒等于零，即kg＝0，則稱(chēng)它為曲面上的測(cè)地線。

例1球面上的大圓是測(cè)地線。

設(shè)球的半徑為R，球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)→r＝→r（s）是球面Σ上的大圓，由于，得kg＝0。

或者，由于球面上的大圓是平面曲線，顯然→r′（s）⊥→r（s），→r′（s）⊥→r″（s），所以→r″（s）／／→r（s），又，從而→r″（s）／／→n，故有kg＝（→r′，→r″，→n）＝0。

定理1球面上的測(cè)地線必在球面的大圓上。

設(shè)球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)→r＝→r（s）是球面Σ上的測(cè)地線，在球面上，有→n／／→r（s），因?yàn)椤鷕＝→r（s）是測(cè)地線，所以→r″（s）／／→n，于是→r″（s）／／→r（s）；由于

［→r（s）×→r′（s）］′＝

→r′（s）×→r′（s）＋→r（s）×→r″（s）＝→o

從而→r（s）×→r′（s）＝→C（常向量），顯然→r（s）⊥→C，由此得到→r（s）在過(guò)球心的平面上，故→r（s）在過(guò)球面的一個(gè)大圓上。

定理2設(shè)Γ：→r＝→r（s）是曲面Σ上的曲線，s是曲線的自然參數(shù)；它是測(cè)地線的充分必要條件→r″（s）／／→n。

證明證法1：充分性：設(shè)→r″（s）／／→n，則有kg＝（→r′（s），→r″（s），→n）＝0，所以Γ是曲面上的測(cè)地線。

必要性：設(shè)Γ是曲面上的測(cè)地線，kg＝0，則有（→r′（s），→r″（s），→n）＝kg＝0，所以→r′（s），→r″（s），→n共面，存在不全為零的實(shí)數(shù)a，b，c，使得a→r′（s）＋b→r″（s）＋c→n＝0，將此式與→r′（s）作內(nèi)積，得到a＝0，顯然b≠0（假如b＝0，則有c＝0，從→r′（s），→r″（s），→n線性無(wú)關(guān)，矛盾），于是，即得→r″（s）／／→n。

證法2：利用

若→r″（s）／／→n，顯然有→r″（s）＝（→r″（s）·→n）→n，從而kg→ε＝→r″（s）－（→r″（s）·→n）→n＝→o，故有kg＝0；反之，若kg＝0，則有

于是→r″（s）＝（→r″（s）·→n）→n，即有→r″（s）／／→n。由于→n·→ri＝0，i＝1，2，于是可得如下結(jié)論。

定理3設(shè)Γ：→r＝→r（s）是曲面Σ上的曲線，s是曲線的自然參數(shù)；它是測(cè)地線的充分必要條件是→r″（s）·→ri＝0，i＝1，2。

利用（3）式，即可得到：

定理4［1-5］設(shè)→r＝→r（u1（s），u2（s））＝→r（s）是曲面Σ上的曲線，s是曲線的自然參數(shù)，它是測(cè)地線的充分必要條件是。

定理5［1-5］假定曲面S1和S2沿曲線C相切，若C是S1上的測(cè)地線，則C也必定是S2上的測(cè)地線。

證明證法1：因曲面S1和S2沿曲線C相切，故曲面S1和S2沿曲線C的單位法向量→n1，→n2平行，即→n1＝±→n2，因?yàn)镃是S1上的測(cè)地線，所以→r″（s）／／→n1，于是→r″（s）／／→n2，故C也是S2上的測(cè)地線。

證法2：因曲面S1和S2沿曲線C相切，故曲面S1和S2沿曲線C的單位法向量→n1，→n2平行，即→n1＝±→n2，因C是S1上的測(cè)地線，則d→α－（d→α·→n1）→n1＝0，即得d→α－（d→α·→n2）→n2＝0，所以C也是S2上的測(cè)地線。

4 曲面上短程線必是測(cè)地線的證明方法

給定曲面Σ，設(shè)P，Q是曲面Σ上的兩點(diǎn)，在曲面Σ上連接P，Q兩點(diǎn)的曲線中，弧長(zhǎng)最小的曲線稱(chēng)為曲面Σ上連結(jié)P，Q的短程線［1-5］。因此需要尋找曲面上的曲線是短程線的必要條件。

變分引理：設(shè)f（x）∈C（a，b），若對(duì)任意φ（x）∈C20（a，b），都有∫baf（x）φ（x）d x＝0，則有f（x）＝0，x∈（a，b）。

設(shè)Γ曲面Σ上連結(jié)P，Q的曲線弧段，其參數(shù)方程為u1＝u1（s），u2＝u2（s），s1≤s≤s2，其中ui（s）∈C2［s1，s2］，ui（s1），ui（s2）為定值，s是該曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)。

曲線Γ的向量表示為：

→r＝→r（s）＝→r（u1（s），u2（s）），s1≤s≤s2

定理6若曲線Γ是曲面Σ上的短程線，則有在曲面Σ上沿曲線Γ成立→r″（s）·→ru1＝0，→r″（s）·→ru2

＝0。

證明記W0＝｛w（s）：w（s）∈C20（s1，s2）｝，設(shè)Γε曲面上連結(jié)P，Q的曲線弧段，其方程為：

其中，wi（s）∈W0，i＝1，2。曲線Γε弧長(zhǎng)為：

假若Γ是短程線，則L（→u＋ε→w）在ε＝0處達(dá)到極小值，于是，直接求導(dǎo)，得

由于

所以

從而

利用分部積分，得

于是

由此得到任意wi（s）∈W0，i＝1，2，故得在曲面上沿曲線Γ成立→r″（s）·→ru1

＝0，→r″（s）·→ru2＝0。由此得出→r″（s）∥→n，所以短程曲線Γ的測(cè)地曲率［1-8］：

kg＝（→r′（s），→r″（s），→n）＝0

短程曲線Γ應(yīng)滿(mǎn)足的方程：利用→r″（s）·→ri＝0，i＝1，2。由于

從而得到

即得短程曲線Γ滿(mǎn)足的方程為：由于Γikj＝→ri·→rkj［2-5］，即得表示為向量形式：

由曲面的基本方程中系數(shù)的關(guān)系［1-7］，得到

即

故得

這正是曲面上的測(cè)地線的參數(shù)方程［1-5］。

關(guān)于曲面上短程線的必要條件的另外兩種證明方法，可見(jiàn)文獻(xiàn)［1－4］。

曲面上二次光滑的短程線必是測(cè)地線，反之曲面上的測(cè)地線未必是短程線。曲面上非二次光滑的短程線未必是測(cè)地線。

［1］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社出版，2008.

［2］陳維桓.微分幾何［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2006.

［3］彭家貴，陳卿.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］馬力.簡(jiǎn)明微分幾何［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004.

［5］陳維桓.微分幾何例題詳解和習(xí)題匯編［M］.北京：高等教育出版社出版，2010.

［6］邢家省，張光照.曲面上曲線的測(cè)地曲率向量的注記［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，34（4）：7-10.

［7］邢家省，高建全，羅秀華.曲面論基本方程的矩陣推導(dǎo)方法［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，35（3）：4-10.

［8］邢家省，高建全，羅秀華.高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)公式的幾種形式的推導(dǎo)方法［J］.四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，27（4）：82-89.

Properties of the Geodesic and the Shortest Line on the Curved Surface

XING Jiasheng1，2，GAO Jianquan3，LUO Xiuhua3
（1.School of Mathematics and Systems Science，Beihang University，Beijing 100191，China；2.LMIB of the Ministry of Education，Beijing 100191，China；3.Pingdingshan Institute of Education，Pingdingshan 467000，China）

In From the geodesic curvature vector and geodesic curvature of curve on the surface，three necessary and sufficient conditions are given based on the definition of geodesic，and new treatment methods for some applications are given；then it is turned out that the three conclusions of necessary conditions of the shortest line on the curved surface exactly correspond to the three equivalent conditions of geodesic.

geodesic curvature vector；geodesic curvature；geodesics；the shortest line

O186.11

A

1673-1549（2015）01-0063-05

10．11863／j．suse．2015．01．15

收稿日期：2014-09-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11201020）；北京航空航天大學(xué)校級(jí)重大教改項(xiàng)目（201401）

邢家?。?964-），男，河南泌陽(yáng)人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，（E-mail）xjsh＠buaa.edu.cn