T3 晶格中無質(zhì)量Dirac粒子的磁電約束和波導(dǎo)

程衍富，焦奎嵩

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 武漢 430074)

T3晶格中無質(zhì)量Dirac粒子的磁電約束和波導(dǎo)

程衍富，焦奎嵩

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 武漢 430074)

從理論上研究了T3晶格中的載流子在非均勻磁場和電場構(gòu)成的磁電勢阱中的約束.利用磁電組合勢阱中電勢可調(diào)的特點(diǎn)，靠增加電勢阱深度從而增加粒子的束縛態(tài)數(shù)，或者增加勢阱區(qū)域的寬度來改變束縛態(tài)數(shù).利用磁電勢阱構(gòu)成電子波導(dǎo)或者量子線，計(jì)算了波導(dǎo)的本征模和概率流密度，指出了T3晶格的磁電波導(dǎo)可成為有希望的納米電子器件.

T3晶格；磁電約束；束縛態(tài)；波導(dǎo)

石墨烯的發(fā)現(xiàn)極大地引起了人們對二維材料的研究興趣[1,2]，因?yàn)樵趩卧雍竦氖又休d流子能量服從線性色散關(guān)系，它的行為像無質(zhì)量Dirac費(fèi)米子.在這個系統(tǒng)中可觀察到許多不尋常的現(xiàn)象，例如手性載流子[3]，反常Landau能級[4]， 反常量子霍爾效應(yīng)[5]和勢壘中的Klein隧穿[6]等.除了石墨烯外，還有不少二維材料的載流子也滿足相對論無質(zhì)量Dirac方程.例如dice晶格，也稱為T3晶格.實(shí)驗(yàn)表明這種晶格能在 SrTiO3/SrIrO3/SrTiO3三層異質(zhì)結(jié)構(gòu)中實(shí)現(xiàn)[7].另外利用光學(xué)手段也能產(chǎn)生dice晶格，即T3光學(xué)晶格中的冷原子的行為也可看成準(zhǔn)相對論無質(zhì)量Dirac費(fèi)米子[8]. 不過在T3晶格中載流子的贗自旋S=1， 而不像石墨烯晶格中的贗自旋S=1/2. 由于T3晶格中載流子具有無質(zhì)量Dirac費(fèi)米子行為，因此和石墨烯一樣也具有許多奇異性質(zhì).

石墨烯中載流子的約束和波導(dǎo)已經(jīng)被廣泛研究，但在具有相同性質(zhì)的T3晶格中載流子的約束以及由此構(gòu)成的波導(dǎo)的研究還沒有出現(xiàn)，為此，本文研究T3晶格中無質(zhì)量載流子的磁電約束和波導(dǎo).

1 磁電勢壘對載流子的約束

在石墨烯中磁場能約束Dirac費(fèi)米子，不過產(chǎn)生磁勢壘需要沉積磁性材料在樣品上，因此其參數(shù)很難隨時改變，但磁電組合勢壘則改變了這種狀況[18].在T3晶格中由于平坦能帶的存在[19]，準(zhǔn)粒子通過磁勢壘展現(xiàn)與石墨烯中不同的行為[20]，準(zhǔn)粒子通過磁矢勢的傳輸也具有與石墨烯不一樣的特征[21].磁電組合也能改善準(zhǔn)粒子傳輸,對構(gòu)成以T3晶格為基礎(chǔ)的納米器件起重要作用.

考慮在 (x, y)平面上的T3晶格薄片上面放置緊挨著的絕緣層及長磁條帶，磁化方向與晶格平面平行，并連接電柵極U.長磁條帶產(chǎn)生局部高磁場，其不均勻磁場沿y軸不變而沿x軸為δ函數(shù)：

(1)

Ay(x)=±B0lB[θ(x)-θ(x-L)],

(2)

在長磁條帶上放置電柵極，產(chǎn)生矩形電勢為:

U(x)=±U0θ(x)θ(x-L),

(3)

其中θ(x)是Heaviside階梯函數(shù)，U0是常數(shù)電勢壘的高度.實(shí)驗(yàn)裝置和勢函數(shù)如圖1所示.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖和磁電勢阱Fig.1 Schematic of experimental setup and potential well profile

(4)

(5)

對給定系統(tǒng)，我們知道勢函數(shù)與y無關(guān)，則準(zhǔn)粒子在y方向動量py不變.粒子哈密頓量本征方程的波函數(shù)能寫為如下三分量形式:

Ψ(x,y)=[ΨA(x),ΨH(x),ΨB(x)]Teikyy,

(6)

其中T表示矩陣轉(zhuǎn)置，即列矩陣由T3晶格的三個子格表示的振幅組成.

i?xΨB-i(ky+Ay)ΨB,

(7)

因此勢壘區(qū)域Ay=±1,u=u0=U0lB/?vF，無勢壘區(qū)域Ay=u=0.

當(dāng)粒子通過勢壘界面，且不存在短波散射過程時，則可以忽略兩能谷K和K′ 之間的散射[8]. 嚴(yán)格地講勢壘界面應(yīng)該光滑變化，但當(dāng)粒子的費(fèi)米波長λF=2π?vF/|E| 遠(yuǎn)大于勢壘變化范圍，而勢壘變化范圍也遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)，則在散射問題中可把勢壘光滑變化當(dāng)成階梯勢來處理[22].粒子波函數(shù)在界面兩邊要滿足連續(xù)條件[20]：

ΨH(w)=ΨH(w),

ΨA(w)+ΨB(w)=ΨA(-w)+ΨB(-w).

(8)

這里w是沿x方向的小值.在完成波函數(shù)匹配后，我們最后需要取w趨于零.

從方程(7)可得到ΨH滿足下面的二階微分方程：

(9)

考慮勢壘約束粒子，即在勢壘區(qū)域形成行波，在勢壘外面為衰減波，這相當(dāng)于勢壘變成勢阱.在勢壘區(qū)域取磁矢勢阱Ay=-1，電勢可調(diào)節(jié)為勢壘或者勢阱，即有下列條件：

(10)

這里u0可正可負(fù).如果不等式(10)的第二式不成立，則勢壘區(qū)域出現(xiàn)沿x方向的衰減波，那么在某種條件下可能存在沿勢壘界面y方向的行波，稱為表面波[26]. 由于這種情況下準(zhǔn)粒子的能量很小，因此本文不打算討論.如果只考慮準(zhǔn)粒子能量ε為正值，從不等式(10)知道，當(dāng)u0<-1時，ky可取正負(fù)值；當(dāng)u0>-1時，總有ky>0.我們只討論ky>0 的情況，此時不等式(10)給出不同u0對應(yīng)的ky和ε的取值范圍，正如圖2 陰影所示.在圖2(a)和(b)中分別取u0=-1.5 和-0.5， 電勢本身就構(gòu)成勢阱，再加上磁矢勢阱，因此出現(xiàn)較大范圍的束縛態(tài)區(qū)域.圖2(c)對應(yīng)u0=0，這里只有單獨(dú)的磁矢勢構(gòu)成勢阱，因此也出現(xiàn)束縛態(tài)區(qū)域.圖2(d)對應(yīng)u0=0.5，此時電勢雖然為正值，但由于磁勢阱的存在，因此仍然能出現(xiàn)束縛態(tài).

圖2 束縛態(tài)能量色散與ky的關(guān)系Fig.2 Energy dispersion of the bound states as a function of ky

正如以上分析，要在勢壘區(qū)域出現(xiàn)束縛態(tài)，則勢壘區(qū)域?yàn)樾胁ǘ鴦輭緝蛇厼橹笖?shù)衰減波.因此方程(9)在不同區(qū)域的解為：

(11)

(12)

其中:

(13)

利用波函數(shù)在界面連續(xù)條件(8)，可得到波函數(shù)振幅之間的關(guān)系：

(14)

(15)

方程(15)給出了能量ε與波矢ky的關(guān)系，正如圖2中的實(shí)線所示.這里無量綱參數(shù)磁矢勢Ay=-1,電勢分別取u0=-1.5(圖2a),u0=-0.5 (圖2b),u0= 0(圖2c)和u0= 0.5(圖2d), 而勢阱寬度L=5.0.從圖中可見，在相同的ky下， 電勢阱愈深則出現(xiàn)的束縛數(shù)目愈多,u0為正值時也能出現(xiàn)束縛態(tài), 這是由于磁矢勢的作用.當(dāng)勢阱寬度L增加時, 相同區(qū)域束縛態(tài)數(shù)目也隨之增加.圖3(a)和(b)分別給出L=1.0和L=5.0 時的束縛態(tài), 其中u0=-0.5.圖3(c)和(d)給出對應(yīng)的波函數(shù)本征模qx與ky的關(guān)系，當(dāng)同時給定ky時就可給出束縛態(tài)數(shù).例如在圖3(b)和3(d)中標(biāo)記點(diǎn)分別給出在ky=2.0的條件下能量色散方程(15)的數(shù)值解得到的4個束縛態(tài)或者本征模,其能量ε和qx分別為ε1=0.647,qx1=0.562(實(shí)心圓),ε2=0.985,qx2=1.098(三角形),ε3=1.394,qx3=1.609(正方塊),ε4=1.807,qx4=2.079(空心圓).

圖3 束縛態(tài)能量與ky和波導(dǎo)本征模qx與kyFig.3 Spectrum of confined states vs kyand qxvs kyfor the eigenmodes

利用波函數(shù)歸一化條件可求得歸一化系數(shù)A為:

(16)

當(dāng)nπ

(17)

當(dāng)nπ+π/2

(18)

由于波函數(shù)ΨH(x)和ΨA(x)+ΨB(x)在界面連續(xù)，因此我們也可得到δ取不同值時相應(yīng)的概率密度|ΨH(x)|2和|ΨA(x)+ΨB(x)|2.圖4給出L=5.0，u0=- 0.5，ky=2時的波函數(shù)概率密度分布，它們分別依次對應(yīng)圖3(d)中各標(biāo)記點(diǎn)的波函數(shù).

圖4 束縛態(tài)波函數(shù)概率密度分布Fig.4 probability density of the wave function for the bound states

圖4中|ΨH(x)|2用粗實(shí)線表示，而|ΨA(x)+ΨB(x)|2用細(xì)線表示.圖4(a)和(c)中qxL/2分別為1.405和4.025，因此我們?nèi)ˇ?tan(qxL/2).而圖4(b)和(d)中qxL/2分別為2.745和5.197，因此對應(yīng)δ=-cot(qxL/2).由圖4可知波函數(shù)在勢阱區(qū)域?yàn)轳v波，在勢阱外面為衰減波，并且束縛態(tài)數(shù)等于概率密度的峰值數(shù).圖4中束縛態(tài)能量ε分別為0.647,0.985,1.394和1.807，其波函數(shù)概率密度峰值數(shù)分別為1, 2, 3和4個.

2 磁電勢壘構(gòu)成波導(dǎo)

波導(dǎo)或者量子線，它使載流子在一個方向約束而在另一方向自由傳播.在二維平面上構(gòu)成波導(dǎo)有許多方法，比如化學(xué)方法，機(jī)械方法和電學(xué)方法[22].前兩種方法雖然能約束粒子但都不方便調(diào)控，只有電學(xué)方法容易方便地調(diào)控載流子.對手性Dirac費(fèi)米子，單純的電勢壘(如pnp結(jié))總會出現(xiàn)Klein隧穿[23,24]，單純的磁勢壘能構(gòu)成波導(dǎo)但不利于調(diào)控[25]，因此磁電組合勢壘是構(gòu)成可方便調(diào)控的量子線或者波導(dǎo)的最佳構(gòu)型[22].

圖5 (a)電子波導(dǎo)示意圖；(b)波矢,概率流密度和入射角θFig.5 (a) Schematic of electronic waveguide; (b) wave vector q, probability current density J and incident angle θ

在T3晶格用磁矢勢阱和方便調(diào)節(jié)的電勢壘構(gòu)成波導(dǎo)，即勢阱區(qū)域沿y方向很長而沿x方向很窄而形成量子線.準(zhǔn)粒子在勢壘區(qū)域不斷的全反射而沿y方向傳播，這正如普通光學(xué)纖維中的波導(dǎo)，圖5(a)所示.入射粒子概率流密度J在界面不斷反射形成波導(dǎo)區(qū)域的傳導(dǎo)電流.確定能量ε的準(zhǔn)粒子在波導(dǎo)內(nèi)傳播時，波矢q= (qx,ky)兩分量的關(guān)系和入射粒子密度流J在圖5(b)中.當(dāng)ky確定后，可由圓心在(0,-Ay)半徑為ρ=|ε-u0| 的圓確定波矢q的大小和方向,而入射粒子密度流J的方向決定入射角θ(圖5), 它們滿足如下關(guān)系:

(19)

出現(xiàn)束縛態(tài)滿足條件ky≥ε≥ky+Ay+u0,因此有：

(20)

這里θc為出現(xiàn)反射的臨界角.例如圖3(d)中L=5.0,Ay=-1,u0=-0.5,ky=2時臨界角為θc=23.58°. 圖3(d)中各標(biāo)記點(diǎn)對應(yīng)的入射角分別為θ= 60.67°(實(shí)心圓)，θ= 42.32°(藍(lán)三角)，θ=31.87°(正方塊)和θ= 25.67°(空心圓).

(21)

滿足概率密度|Ψ|2=|ΨA|2+|ΨH|2+|ΨB|2的連續(xù)方程：

(22)

由方程(21)計(jì)算得知在勢阱區(qū)域束縛態(tài)的概率流密度分量Jx=0, 這是因?yàn)閤方向沒有粒子越過界面.當(dāng)δ= tan(qxL/2) 時，其y分量為：

(23)

當(dāng)δ=-cot(qxL/2) 時有：

(24)

其中J0=4vF?.考慮準(zhǔn)粒子能量ε=1，波導(dǎo)寬度L=5.0時的概率流密度在圖6中，圖6(a)中給出的3個本征模分量分別為qx1=0.56，ky1=2.39(粗實(shí)線)，qx2=1.10,ky2=2.02(虛線)和qx3=1.49,ky3=1.19(細(xì)實(shí)線).圖6(b)給出總概率流密度.從圖6知道束縛態(tài)概率流密度完全分布在波導(dǎo)內(nèi)，因此波導(dǎo)可作為傳播準(zhǔn)粒子的一維通道.

圖6 波導(dǎo)中3個本征模的概率流密度Fig.6 The probability current density of the three eigenmodes in the waveguide

3 結(jié)語

T3晶格的低能能帶結(jié)構(gòu)為在Dirac點(diǎn)存在一個平坦能帶和兩個線性能帶，這兩個線性能帶類似于石墨烯的低能結(jié)構(gòu)，但贗自旋數(shù)為1而不是石墨烯的1/2.因此贗自旋矩陣是3×3矩陣,準(zhǔn)粒子波函數(shù)有3個分量.研究了T3晶格中非均勻磁場形成的磁矢勢阱和電勢壘對準(zhǔn)粒子的約束和由此構(gòu)成的電子波導(dǎo).在平行于y方向不變的磁矢勢阱和電勢下，導(dǎo)出了束縛態(tài)波函數(shù)以及束縛態(tài)粒子的能量色散關(guān)系.在勢阱區(qū)域束縛態(tài)和準(zhǔn)粒子的能量與勢阱寬度L和電勢u有關(guān)，增加電勢阱深度可增加束縛態(tài)數(shù)，增加勢阱寬度也可增加束縛態(tài)數(shù).如此勢阱可構(gòu)成電子波導(dǎo)，給出了波導(dǎo)內(nèi)入射粒子流的全反射臨界角和相應(yīng)的概率流密度.因此和石墨烯一樣,T3晶格也有希望成為二維納米器件的新材料.

[1] Novoselov K S, Geim A K, Morozov S V, et al. Two-dimensinol gas of massless Dirac fermions in graphene [J]. Nature, 2005, 438: 197.

[2] Castro Neto A H, Guinea F, Peres N M R, et al. The electronic properties of graphene[J]. Rev Mod Phys, 2009, 81: 109.

[3] Goerbit M O. Electronic properties of graphene in a strong magnetic field [J]. Rev Mod Phys, 2011, 83: 1193.

[4] Li G H, Andrer E Y. Observation of Landau levels of Dirac fermions in graphite [J]. Nat Phys, 2007, 3:623.

[5] Zhang Y B, Tan Y W, Stormer H L, et al. Experiment observation of the quantum Hall effect and Berry′s phase in graphene [J]. Nature, 2005, 438: 201.

[6] Katsnelson M I, Novoselov K S, Geim A K. Chiral tunneling and the Klein paradox in graphene [J]. Nat Phys, 2006, 2: 620.

[7] Wang F, Ran Y. Nearly flat band with Chern number C=2 on the dice lattice [J]. Phys Rev B, 2011, 84: 241103.

[8] Bercioux D, Urban D F, Grabert H, et al. Massless Dirac-Weyl fermions in aT3optical lattice [J]. Phys Rev A, 2009, 80: 063603.

[9] Peres N M R, Castro Neto A H, Guinea F. Dirac fermion confinement in graphene [J]. Phys Rev B,2006, 73: 241403(R).

[10] Martino A De, Dell′Anna L, Egger R. Magnetic confinement of massless Dirac fermions in graphene [J]. Phys Rev Lett, 2007, 98: 066802.

[11] Myoung N, Ihm G. Tunneling of Dirac fermions through magnetic barriers in graphene [J]. Physica E, 2009, 42: 70.

[12] Bliokh Y P, Freilikher V, Nori F. Tunable electronic transport and unidirectional quantum wires in graphene subjected to electric and magnetic fields [J], Phys Rev B,2010, 81: 075410.

[13] Ghosh S, Sharma M. Electron transport and Goos-H?nchen shift in graphene with electric and magnetic barriers: optical analogy and band structure [J]. J Phys: Condens Matter, 2009, 21: 292204.

[14] You J K, Zhang Lide, Ghosh P K. Electronic transport in nanostructures consisting of magnetic barriers [J]. Phys Rev B, 1995, 52: 17243.

[15] Krakovsky A. Electronic band structure in a periodic magnetic field [J]. Phys Rev B, 1996, 53: 8469.

[16] Bilokh Y P, Freilikher V, Savel′ev S, et al. Transport and localization in periodic and disordered graphene superlattices [J]. Phys Rev B, 2009, 79: 075123.

[17] Agrawal N, Ghosh S, Sharma M. Electron optics with Dirac fermions: electron transport in monolayer and bilayer graphene through magnetic barrier and their superlattices[J]. International Journal of Modern Physics B, 2013, 27: 1341003.

[18] Hartmann R R, Robinson N J, Portnoi M E. Smooth electron waveguides in graphene [J]. Phys Rev B, 2010, 81:245431.

[19] H?usler W. Flat-band conductivity properties at long-range Coulomb interactions [J]. Phys Rev B, 2015, 91: 041102(R).

[20] Urban D F, Bercioux D, Wimmer M , et al. Barrier transmission of Dirac-like pseudospin-one particles [J]. Phys Rev B, 2011, 84: 115136.

[21] Cheng Y F, Jiao K S, Pan L F, et al. Magnetic barrier transmission of Dirac-like particles in aT3lattice [J]. Phys Scr, 2014, 89: 075803.

[22] Rozhkova A V, Giavaras G, Bliokh Y P, et al. Electronic properties mesoscopic graphene structures: Charge confinement and control of spin and charge transport [J]. Phys Rep, 2011, 503: 77-114.

[23] 焦奎嵩，曹振洲，程衍富. 無質(zhì)量手性狄拉克費(fèi)米子的克萊恩隧穿[J].大學(xué)物理，2014，33(20):10-13.

[24] 潘林峰，曹振洲，程衍富.有質(zhì)量手性費(fèi)米子的勢壘隧穿[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,33(3):65-69.

[25] Myoung N, Ihm G, Lee S J. Magnetically induced waveguide in graphene [J]. Phys Rev B, 2011, 83: 113407.

Magnetoelectric Confinement and Waveguide of Massless Dirac Particles in aT3Lattice

ChengYanfu,JiaoKuisong

(College of Electronic and Information Engineering，South-Central University for Nationalities，Wuhan 430074，China)

The confinement of Dirac particles have been investigated theoretically where potential well with electric and inhomogeneous magnetic fields is perpendicularly to theT3lattice plane. It has showed that the bound states number can be tuned by the potential well which dependence on depth and width of the potential well. The electronic waveguide or quantum wire can be formed by magnetic and electric potential well. The eigenmods and probability current densities are calculated in theT3lattice waveguide. We hope that these characteristics can provide potential applications in the nano-material waveguide devices.

T3lattice; magnetorelectric confinement; bound states; waveguide

2015-06-29

程衍富(1956-)，男，教授，研究方向：低維系統(tǒng)量子輸運(yùn)，E-mail:chengyf@mail.scuec.edu.cn

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11204383)

O469.1

A

1672-4321(2015)03-0058-06