帶有不同Hardy位勢和多重Sobolev臨界指數(shù)方程組的基態(tài)解

康東升, 喻 晶, 上官曉天

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

帶有不同Hardy位勢和多重Sobolev臨界指數(shù)方程組的基態(tài)解

康東升, 喻 晶, 上官曉天

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

利用變分方法和分析技巧，研究了帶有多重臨界指標(biāo)和不同Hardy位勢項(xiàng)的橢圓方程組，證明了方程組基態(tài)解的存在性以及瑞利商極小值的可達(dá)性.

橢圓方程組；極小值；臨界指數(shù)；基態(tài)解；變分方法

1 主要問題及主要結(jié)果

本文考慮如下橢圓方程組：

(1)

本文主要在積空間D×D中研究問題(1)，并且定義其相應(yīng)的能量泛函為：

μ2|v|2*+ν|u|α|v|β)dx.

那么I∈C1(D×D,R)，其對(duì)偶積定義如下：

其中u,ν,φ,φ∈D,若(u,v)≠(0,0)，I′(u,v),(φ,φ)=0，?(φ,φ)∈D×D,則(u,v)∈D×D被稱為方程組(1)的解，其中I′(u,v)為能量泛函I在點(diǎn)(u,v)處的Fréchet導(dǎo)數(shù).

根據(jù)著名的Hardy不等式[1]：

(2)

那么在空間D上等價(jià)的范數(shù)表示為：

我們可以定義D1,2(RN){0}上的最佳常數(shù)：

(3)

并且是方程：

的解.那么(3)式的解滿足:

同時(shí)在假設(shè)(H1)～(H3)下，通過Hardy不等式、Yong不等式和Sobolev不等式定義D1,2(RN){0}2上的最佳常數(shù)：

(4)

A=A(λ1,λ2,ν,μ1,μ2):=

(5)

特別地，當(dāng)ν,λ1,λ2為非負(fù)常數(shù)時(shí)，我們將A寫作B：

B=B(λ1,λ2,ν,μ1,μ2):=

(6)

那么在全文中，我們假設(shè)：

(H1) N≥3,N是整數(shù)，μ1>0,μ2>0,ν>0,α,β>1,α+β=2*.

在本文中，在假設(shè)(H1)下，定義如下函數(shù)：

(7)

其中τmin>0為f(t)在區(qū)間(0,+∞)中的最小值點(diǎn).

在最近幾年，許多學(xué)者研究半線性橢圓方程，并且得到了許多研究成果[2-5].特別地，帶有Hardy位勢和Sobolev臨界項(xiàng)的橢圓方程得到了更多學(xué)者的關(guān)注[6-12].本文將研究方程組(1)的基態(tài)解的存在性以及瑞利商的極小值的可達(dá)性.

定義1 假設(shè)一個(gè)方程組所有的解組成的集合為E，如果集合E滿足下面的條件：

則稱(u,v)∈D×D是該方程組的基態(tài)解，即極小能量解．對(duì)于本文，在所有可能存在的解中，我們研究方程組(1)的基態(tài)解．因?yàn)槭沟梅匠探M相應(yīng)Rayleigh商取得極小值的解就是原方程組的基態(tài)解.

定理1 假設(shè)(H1)～(H3)成立，并且N>4,α<2,β<2.

(ii) 如果μ1→∞，μ2≤1，則方程組(1)有正基態(tài)解.

(iii) 如果μ1≥1,μ2→0，則方程組(1)有正基態(tài)解.

(iv) 存在ν*>0，使得對(duì)于所有的ν∈(0,ν*)，方程組(1)有正基態(tài)解.

下面我們首先證明(1)基態(tài)解的存在性；然后證明定理1．為了簡潔起見，我們將省略掉積分號(hào)里的“dx”.

2 相關(guān)引理

在空間D*=D×D上我們定義能量泛函J(u,v)：

(8)

證明 證明方法與文獻(xiàn)[11]中的引理1.1

類似.

證明 (i)當(dāng)N>4,α<2,β<2時(shí)，

t≥0.

當(dāng)t→0+，則f′(t)<0并且當(dāng)t→+∞，f′(t)>0，那么存在tmin≥0使得：

fmin=f(tmin)

(ii) 為了證明引理2，引用文獻(xiàn)[9]中定理1的方法，假設(shè)w∈D1,2(RN){0}, 那么我們選擇(u,v)=(w,tminw)代入到(5)式中可以得到：

A(λi,λi,ν,μ1,μ2).

(9)

在(9)式中取w∈D1,2(RN){0}的下界，可以得到：

(10)

另一方面，取序列{(u,v)}?D×D為A(λi,λi,ν,μ1,μ2)的最小子列并且定義z=sv,

(11)

(12)

由Minkowski不等式得：

所以我們可以得到：

(13)

通過(10)和(13)式可以推得：

引理3 在假設(shè)(H1)～(H3)下，當(dāng)N>4時(shí)，α<2,β<2.

(14)

(15)

A(λ1,λ2,ν,μ1,μ2)≤

(16)

那么當(dāng)N>4,α<2,β<2,μ1>0,μ2>0,ν>0,α+β=2*時(shí)，根據(jù)引理2我們將t=tmin帶入到(16)式中：

A(λ1,λ2,ν,μ1,μ2)

(17)

(ii) 如果μ1→∞,μ2≤1，那么(17)式成立.

(iii) 如果μ1≥1,μ2→0，那么(17)式成立.

3 基態(tài)解的存在

J′(un,vn),(φ,φ)=o(‖(φ,φ)‖D×D).

通過引理3可以得到：

(18)

再將(u,0)代入到(5)式中我們有：

(19)

則通過(18)和(19)式可以得到：

(20)

這就表明A(λ1,λ2,ν,μ1,μ2)僅僅只與λ1,μ1有關(guān)，與λ2,μ2無關(guān)，則從(20)式和引理2可以得到：

(21)

(22)

[1] Hardy G, Littlewood J, Polya G. Inequalities [M].Cambridge: Cambridge University Press, 1988: 239-243.

[2] Terracini S. On positive entire solutions to a class of equations with a singular coefficient and critical exponent [J]. Adv Differential Equations, 1996,1 (2): 241-264.

[3] Cao D, Yan S. Infinitely many solutions for an elliptic problem involving critical Sobolev growth and Hardy potential [J]. Calc Var Partial Differential Equations,2010, 38: 471-501.

[4] Felli V, Terracini S. Elliptic equations with multi-singular inverse-square potentials and critical nonlinearity [J].Comm Partial Differential Equations, 2006, 31 (2): 469-495.

[5] Jannelli E. The role played by space dimension in elliptic critical problems[J]. J Differential Equations,1999, 156 (2): 407-426.

[6] Abdellaoui B, Felli V, Peral I. Some remarks on systems of elliptic equations doubly critical in the wholeRN[J]. Calc Var Partial Differential Equations, 2009,34 (1): 97-137.

[7] Chen Z, Zou W. A remark on doubly critical elliptic systems [J]. Calc Var Partial Differential Equations,2014, 50 (3): 939-965.

[8] Chen Z, Zou W. Existence and symmetry of positive ground states for a doubly critical Schroinger system [J]. Trans Amer Math Soc, 2015, 367: 3599-3646.

[9] Huang Y, Kang D. On the singular elliptic systems involving multiple critical Sobolev exponents[J]. Nonlinear Anal, 2011,74(2):400-412.

[10] Kang D. Elliptic systems involving critical nonlinearities and different Hardy-type terms [J]. J Math Anal Appl,2014, 420 (2): 930-941.

[11] Kang D. Systems of elliptic equations involving multiple critical nonlinearities and different Hardy-type terms inRN[J]. J Math Anal Appl, 2014,420 (2): 917-929.

[12] Kang D. Systems of quasilinear elliptic equations involving multiple homogeneous nonlinearities [J]. Appl Matt Lett, 2014,37 (11): 1-6.

[13] Kang D, Yu J . Systems of critical elliptic equations involving Hardy-type terms and large ranges of parameters [J]. Appl Math Lett, 2015, 46: 77-82.

[14] Vazquez J. A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations[J]. Appl Math Optim,1984,12 (1): 191-202.

Ground State Solutions of Elliptic Equations Involving Different Hardy-Type Terms and Multiple Critical Sobolev Exponents

KangDongsheng,YuJing,ShangguanXiaotian

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

We study systems of equations involving critical nonlinearities and different Hardy-type terms.By variational methods,the existence of minimizers to Raleigh quotiens and ground state solutions to the systems is proved.

elliptic equation; minimizer; critical exponent; ground state solutions; variational method

2015-07-22

康東升(1967-)，男，教授，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail：dongshengkang@scuec.edu.cn

國家民委科研基金資助項(xiàng)目(12ZNZ004)；中南民族大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2015sycxjj127)

O175

A

1672-4321(2015)03-0100-05