一類(lèi)雙調(diào)和方程環(huán)繞解的存在性

蔡明建

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

一類(lèi)雙調(diào)和方程環(huán)繞解的存在性

蔡明建

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

在Steklov邊值條件下，討論了一類(lèi)雙調(diào)和方程, 當(dāng)非線性項(xiàng)滿足特定條件時(shí)，利用環(huán)繞定理，證明了該方程非平凡解的存在性.

雙調(diào)和方程；環(huán)繞定理；非平凡解；Steklov特征值

1 主要問(wèn)題及結(jié)果

本文考慮一類(lèi)雙調(diào)和方程：

(1)

雙調(diào)和方程的研究興趣主要來(lái)源于兩個(gè)方面.其一，在彈性力學(xué)中，該方程可以反映薄板的應(yīng)力學(xué)分析,例如所謂的Kirchoff-Love模型[1]：

(2)

受上述文章的啟發(fā),本文擬考慮問(wèn)題(1)滿足下列條件時(shí)非平凡解的存在性.我們假設(shè)g滿足如下條件:

(iii) 當(dāng)|u|→0時(shí)，g(x,u)=o(u)，在Ω上一致成立.

本文的主要結(jié)果為定理1.

2 預(yù)備知識(shí)

與方程組(1)所對(duì)應(yīng)的能量泛函可以寫(xiě)為：

(3)

當(dāng)u∈E滿足：

設(shè)E為一實(shí)的希爾伯特空間，泛函I∈C1(E,R).我們說(shuō){un}為I的P.S.序列:如果當(dāng)n→∞時(shí),有I(un)→c.泛函I在指標(biāo)c∈R處滿足P.S.條件是指,上述{un}存在一個(gè)收斂的子序列.若I(u)=c,I′(u)=0時(shí)，稱u為I在E上的臨界點(diǎn)，c為I的臨界值.

設(shè)E為一Banach空間,S是E中的閉子集，Q是E中的子流形，記其邊界為?Q.若:

(1)S∩?Q=?，

(2) 任選h∈C0(E,E)，當(dāng)h|?Q=id時(shí),總有h(Q)∩S≠?,則稱S與?Q環(huán)繞.

考慮當(dāng)g(x,u)=0時(shí)，方程(1)的Steklov特征值問(wèn)題，即此時(shí)若方程(1)有非零解，則稱d為方程(1)的特征值，對(duì)應(yīng)的解稱為其特征函數(shù).設(shè)：

為了證明定理1，我們將用到文[16]中提出的環(huán)繞定理即引理1.

引理1 設(shè)E為一Banach空間,I∈C1(E,R)且I滿足P.S.條件.設(shè)S是E中的閉子集，Q是E中的子流形，記其邊界為?Q,若：

(1)S與?Q環(huán)繞.

令Γ={h∈C0(E,E);h|?Q=id},

3 定理1的證明

引理2 假設(shè)條件(i)～(iii)，(K)成立，則有I滿足P.S.條件.

證明 (1)任取{un}?E滿足I(un)→c并且I′(un)→0,那么{un}有界.

事實(shí)上

因此c(1+‖u‖)≥K(θ,d)‖u‖2-c1，可知{un}有界.

這里當(dāng)n→∞，(I′(u)-I′(un),un-u)→0.

由(i),(iii)及H?lder不等式可知：

S={u∈V1;‖u‖=ρ}，

0≤s≤R1,u2∈V2,‖u2‖≤R2}，

(1) S與?Q環(huán)繞.

證明 結(jié)論(1)見(jiàn)文[16].下證結(jié)論(2).事實(shí)上，當(dāng)u∈V2時(shí)，

再由Sobolev嵌入定理可知:

定理1的證明 定理1可直接由引理1～3得到.

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Existence of Linking Solutions for A Class of Biharmonic Equations

CaiMingjian

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

Under the Steklov boundary condition, this paper uses Linking Theorem to prove the existence of the nontrivial solutions to the biharmonic problems with some special nonlinearities.

biharmonic equations; Linking Theorem; nontrivial solutions；Steklov eigenvalues

2015-05-06

蔡明建(1981-)，男，講師，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail: cmj9904@mail.scuec.edu.cn

中南民族大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(CZQ12014)

O175.25

A

1672-4321(2015)03-0126-03