例談小學(xué)數(shù)學(xué)估測教學(xué)

陳晶

“估測作為算術(shù)估計的主要組成部分之一，被視為個體數(shù)量能力早期獲得的重要渠道，構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)知的一個重要領(lǐng)域。目前它已成為國際基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革中十分重視的內(nèi)容。許多國家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中都不同程度地規(guī)定了估測的教學(xué)要求。”[1]我國正式將估測納入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》之中，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對估測的內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整。但在實際教學(xué)過程中，常常出現(xiàn)對估測的誤解和片面解讀：有些教師常常誤以為估測就是隨意猜測，還有的教師只是把估測教學(xué)僅僅執(zhí)行為猜測和測量驗證等，對估測的誤讀和片面理解使得估測教學(xué)的效益大打折扣。如何理解估測教學(xué)的意義，培養(yǎng)學(xué)生的估測能力呢？筆者以《長方形和正方形的面積》為例談?wù)劰罍y的教學(xué)實踐與思考。

一、 理解意義，把握價值

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》在（1～3年級）學(xué)段目標(biāo)里提出“獲得初步的測量（包括估測）、識圖、作圖等技能”，在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)指出“能估計一些物體的長度，并進(jìn)行測量”，“結(jié)合實例認(rèn)識面積的含義，能用自選單位估計和測量圖形的面積”，“探索并掌握長方形、正方形的面積公式，能估計給定的長方形、正方形的面積”。在（4-6年級）學(xué)段目標(biāo)里提出“發(fā)展測量（包括估測）、識圖、作圖等技能”，在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)里指出“能用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積”。在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的學(xué)段目標(biāo)里未直接提及相關(guān)的估測要求，在（1-3年級）內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)里面指出：“能估測一些物體的長度，并進(jìn)行測量”，以及“探索并掌握長方形、正方形的面積公式，會估計給定簡單圖形的面積”。在（4-6年級）內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)里面提出了與《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》相同的要求。從上述變化可以看出，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》適當(dāng)降低了估測的要求，不再把估測作為一項技能。從對面積估測的教學(xué)內(nèi)容來看，這里的估測不僅僅有不借助于工具的物理測量，也包括借助簡單的工具（方格紙）測量不規(guī)則圖形的面積。所以，估測教學(xué)不僅僅包括讓學(xué)生學(xué)會不借助工具進(jìn)行測量，也包括學(xué)會借助于工具獲得相關(guān)圖形面積的近似值。

二、 豐富表象，積累經(jīng)驗

估測也是一種測量，這里的測量工具是單位表象、生活中的參照物，在教學(xué)過程中，既要豐富學(xué)生對于單位表象的認(rèn)識，熟悉生活中常見的物體表面的面積，也要加深學(xué)生對于面積測量意義的理解，積累面積測量的經(jīng)驗。

1.多維度認(rèn)識面積單位

常用的估測策略之一是“單位迭代”，即“估計者在估計時，使用某個標(biāo)準(zhǔn)單位（如厘米），反復(fù)將標(biāo)準(zhǔn)單位與估計物相對照，記住上次標(biāo)準(zhǔn)單位結(jié)束的位置，開始下一次對照，計算單位的數(shù)目，從而得出估計結(jié)果”[2]。能夠使用“單位迭代”策略的基本前提之一就是形成比較穩(wěn)定的單位表象，教學(xué)過程中，需要通過不同層次的活動讓學(xué)生豐富對面積單位的體驗。如在認(rèn)識平方厘米的過程中，可以安排一系列的活動：做一做，自己嘗試做1平方厘米的小正方形；看一看，讓學(xué)生看看1平方厘米正方形的大小；想一想，閉著眼睛想一想1平方厘米的大??；找一找，從生活中找到接近1平方厘米的物體的面等。學(xué)生對于面積單位的體驗越豐富，形成的表象就越穩(wěn)定，在估測的過程中，主動運用“單位迭代”策略估測物體表面面積的能力就越強。

2.豐富物體表面面積的認(rèn)識

選擇合適的參照物來估測物體表面的面積也是常用的估測方法之一，所以，除了讓學(xué)生形成基本面積單位比較穩(wěn)定的表象外，還要形成對于生活中常見物體表面面積的理解與記憶。在教學(xué)過程中，一方面利用面積單位對實際的物體進(jìn)行測量，在測量中形成對生活中相應(yīng)物體表面面積的認(rèn)識，另一方面在完成“在（ ）里填合適的單位”時（如圖1），不僅讓學(xué)生填合適的單位，還要找到具體的面或者與之面積相近的面，讓學(xué)生理解其實際面積。還可以讓學(xué)生根據(jù)具體描述的面積，找一找生活中與之相近的物體的表面。通過這樣的活動，豐富學(xué)生對于生活中常見物體表面面積的認(rèn)識，為后面學(xué)會找到合適的參照物進(jìn)行估測打下基礎(chǔ)。

3.拓展度量方法

學(xué)生在剛開始認(rèn)識面積單位時，對于實際物體表面的面積都是運用面積單位進(jìn)行量化，在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中，還要讓學(xué)生運用實際生活中已知物體的面去度量未知物體的面。在教學(xué)過程中可以設(shè)計類似的問題情境：明明媽媽的手機面的面積大約是40平方厘米，你能夠想辦法量出練習(xí)本封面的面積嗎？通過解決這種問題拓展面積度量方法。

對于較為規(guī)則的圖形面積的度量，除了讓學(xué)生理解可以運用面積單位進(jìn)行直接測量外，還要基于圖形邊的長度與面積單位之間的關(guān)系，讓學(xué)生學(xué)會間接測量，理解間接測量的方便性。在學(xué)習(xí)長方形和正方形面積的過程中，讓學(xué)生不僅僅知道長方形的面積等于長乘寬，更要理解：長在面積度量過程中表示的是什么？寬在面積度量過程中表示的是什么？把握直接測量與間接測量之間的聯(lián)系。

三、 靈活運用，提升策略

基于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對估測的理解，估測既是一種不用工具的測量，也包括運用測量工具獲得一個近似值。教學(xué)過程中，一方面要結(jié)合具體的問題讓學(xué)生豐富估測方法，另一方面也要讓學(xué)生學(xué)會描述估測的結(jié)果，不斷提高估測能力。

1.工具測量，合理描述測量結(jié)果

估測首先是一種測量，在讓學(xué)生估測的最初階段，要基于面積單位以及圖形面積的本源意義，讓學(xué)生利用合適的工具對于一些物體表面的面積進(jìn)行測量，學(xué)會描述測量結(jié)果的近似值。

（1）自選工具測量，初步把握結(jié)果。在學(xué)生認(rèn)識了面積單位后，可以讓學(xué)生運用面積單位去測量物體表面的面積（如圖2），讓學(xué)生體會到運用1平方米測量的過程中，如果比1平方米多一些可以忽略不計，如果比較接近1平方米則需要看成1平方米。通過這樣的簡單操作，讓學(xué)生初步獲得對于度量結(jié)果處理的經(jīng)驗。

在教學(xué)過程中，還可以讓學(xué)生運用已知物體表面的面積去測量生活中常見物體表面的面積。如知道了文具盒蓋的面積，可以運用文具盒蓋的面去度量桌面，看看桌面大約有幾個文具盒蓋的面積，然后算出結(jié)果。通過這樣的估測過程，豐富學(xué)生對于估測意義的理解，也培養(yǎng)了學(xué)生對于結(jié)果的處理能力。

（2）方格測量，形成不同的描述方法。學(xué)生初步獲得了描述測量結(jié)果的近似值的經(jīng)驗后，還要讓學(xué)生運用面積單位去測量不規(guī)則圖形的面積，獲得運用不同方法描述結(jié)果的經(jīng)驗。在教學(xué)圖3問題的過程中，對于結(jié)果的處理，可以根據(jù)前面的估測經(jīng)驗，把所有的接近整格的都看成整格的，確定最后的結(jié)果；也可以進(jìn)一步觀察圖形所占的格子，有些不足整格的比半格多一些，有些不足整格的比半格小一些，可以把所有的不足整格都看成半格來估計它的面積；還可以找到所有的整格，確定圖形面積的下限，再找到所有不足整格的數(shù)量，算出整格數(shù)量和不足整格數(shù)量的總和，確定圖形面積的上限，運用上下限確定圖形面積的范圍。通過不規(guī)則圖形面積的估測，進(jìn)一步豐富學(xué)生對于結(jié)果的處理方法，讓學(xué)生在實際的估測過程中能夠根據(jù)不同的要求選擇不同的估測方法。

2.直覺猜測與測量驗證相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的“量感”

學(xué)生對于不用工具的估測，首先是一種直覺猜測，在學(xué)生進(jìn)行直覺猜測后，還需要通過面積單位進(jìn)行測量，讓學(xué)生調(diào)整原有頭腦里的認(rèn)識，通過這樣不斷反復(fù)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的“量感”。如讓學(xué)生猜一猜平時課桌面的面積，學(xué)生在猜測的過程中，基于對面積單位及數(shù)的感覺的認(rèn)識，形成了對于桌面面積單位數(shù)量的初步認(rèn)識，最后通過測量結(jié)果與猜測結(jié)果的比較，讓學(xué)生調(diào)整頭腦里原有的猜測結(jié)果，在頭腦里形成對于桌面面積的新認(rèn)識。

3.有效“單位迭代”，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念

“單位迭代”是學(xué)生常用的估測策略，學(xué)生在估測學(xué)習(xí)的初始階段，要通過富有啟發(fā)性的情境，讓學(xué)生主動嘗試進(jìn)行“單位迭代”。如教學(xué)圖4問題的過程中，受圖形形狀的啟發(fā)，學(xué)生會想到在腦子里擺一擺面積單位進(jìn)行“單位迭代”，最后估測出每個圖形的面積。學(xué)生在單位迭代的過程中，一方面主動提取了原有的面積單位，另一方面把原有的面積單位在頭腦里根據(jù)度量的經(jīng)驗進(jìn)行主動拼擺。通過這樣的“單位迭代”估測過程，有效培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

4.利用參照物估測，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

在一個圖形中面積單位的數(shù)量較多時，“單位迭代”策略就不太容易估測出圖形的面積，需要調(diào)整估測的思路，找一個合適的參照物來估測。在教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生描述一個較小物體表面的面積，然后估測一個與其相關(guān)的面積，在這樣的情境中學(xué)生主動運用選擇參照物的方法，提升估測水平。如知道了教室門面的面積后，再讓學(xué)生去想一想墻面的面積大約是多少，有了對門面面積的了解，學(xué)生在估測過程中自然會選擇門面這個參照物去估測墻面的面積，可以將墻面按門面的大小進(jìn)行劃分，也可以在大腦里想象出在墻面上移動門面，通過這種找參照物估測的方法，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

5.利用公式估測，加深對公式意義的理解

學(xué)生學(xué)習(xí)了長方形、正方形的面積計算方法后，對于一些長方形和正方形面積的計算可以讓學(xué)生依據(jù)公式，估測出長方形的長和寬，然后算出圖形的面積，降低學(xué)生估測的難度。在教學(xué)圖5問題的過程中，學(xué)生交流并回憶其中的估測方法，通過不同方法之間的比較，理解估測出長方形的長和寬，最終用公式算出面積是較為簡單的策略。

對于實際生活中一些常見物品如桌面、籃球場等面積的估測，可以進(jìn)一步借助于“身體上的尺”估測出長和寬，最后再算出其中的面積，豐富估測的方法。

6.復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡單圖形，加強圖形之間的聯(lián)系

生活中的圖形不一定都是標(biāo)準(zhǔn)的長方形或正方形，這些圖形的估測相對比較復(fù)雜，對于這樣的圖形，可以引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析圖形的形狀，將其中的一些圖形看成已經(jīng)學(xué)過的長方形或正方形進(jìn)行估測，也可以將一些圖形進(jìn)行合理的分解與重組，最終拼成長方形或正方形。例如，椅子表面是梯形的，學(xué)生還未曾學(xué)過梯形的面積，可以將椅子的面看成一個近似的長方形，然后估測其面積。一些更復(fù)雜的圖形（如圖6），可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡單的切割與拼組，最終轉(zhuǎn)化成一個長方形來估測其面積。通過圖形的轉(zhuǎn)化，加強圖形面之間的轉(zhuǎn)化能力，提升估測的水平。

估測是一種測量，這種測量由于受工具的限制，我們只能獲得一個近似數(shù)，需要我們選擇合適方法去描述結(jié)果。估測更是一種解決問題的策略，這種策略體現(xiàn)在對于不同的圖形，我們要能夠根據(jù)圖形的特征靈活選擇合適的策略進(jìn)行估測，在后續(xù)學(xué)習(xí)過程中，還需要根據(jù)已有的經(jīng)驗進(jìn)一步提升估測的水平。這樣的估測教學(xué)，才能促進(jìn)學(xué)生的經(jīng)驗不斷積累、思維水平不斷提升，達(dá)到估測教學(xué)的目的。

參考文獻(xiàn)

[1][2] 司繼偉，孟麗麗，徐繼紅.測量估計研究：回顧與展望[J].心理科學(xué)，2007（6）.

【責(zé)任編輯：陳國慶】