PCK視角下的數(shù)學說課
——由“勾股定理”說課談起

王傳利

（肇慶學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東肇慶526061）

數(shù)學教育

PCK視角下的數(shù)學說課
——由“勾股定理”說課談起

王傳利

（肇慶學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東肇慶526061）

PCK和說課二者之間有著天然的契合性，PCK能從理論上指導說課這一實踐活動，說課能促進教師PCK的生成。由一則典型課例出發(fā)，闡述了PCK視角下的說課和普通意義下說課的區(qū)別，并對如何在PCK視角下進行說課進行了具體闡述：說課應抓住各教學點各個突破，著力于點，點面結合；形成說課圈，集體研課。PCK視角下的說課實際上是一種研究性說課，加強教師的閱讀能力乃是提高說課質量的有效途徑。

PCK；說課；勾股定理；教學點；說課圈

勾股定理蘊含著豐富的數(shù)學史和數(shù)學思想方法，故一直受到一線教師和教育教學專家的青睞，并將長時間成為教學改革研究的熱點。筆者于2012年5月指導2009級職前教師參加學校舉行的首屆師范生說課大賽“勾股定理”說課獲得一等獎，同年9月份帶領職前教師參加了廣州市H區(qū)Y中學L教師執(zhí)教的《勾股定理》的磨課，接下來是Y中學數(shù)學教研組（以下提到Y中學數(shù)學教研組也不加區(qū)分地稱為Y中學）關于勾股定理的說課，這使筆者和職前教師受到了很大的觸動。同樣都是說課，為什么反差那么大呢？顯然，Y中學進行的說課已和普通意義下的說課不同（見表1），這個不同在什么地方呢？回來后一方面繼續(xù)進行職前教師的教學技能訓練；另一方面，繼續(xù)參加Y中學的教研活動，邊實踐邊反思，隨后的第二屆、第三屆職前教師說課比賽數(shù)學學院繼續(xù)保持第一名的好成績，筆者對說課的認識由原來的模糊也漸漸變得明朗起來。

表1 職前教師和Y中學“勾股定理”說課案例簡介

職前教師和Y中學說課內容都選自人教版義務教育課程標準實驗教科書八年級下冊18．1勾股定理，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，二者的說課活動還是有諸多不同。首先，說課的流程和內容不同。職前教師的說課是普通意義下的說課，屬于基本操作，遵循時下盛行的說課模式，具有規(guī)定的套路。Y中學的說課打破傳統(tǒng)的說課模式，更加注重說課的本質和質量，主要從課程標準、教師、學生三個方面闡述學生學什么、怎么學，教師教什么、怎么教，針對每一個教學點基于學生的學說課。其次，說課的形式不同。普通意義下的說課是說者說課、聽者評說單向活動，時間上受到限制，大約10～15min；而Y中學的說課時間上沒有嚴格限制，是教研組集體說課，形式上比較靈活，可以由一位教師說課，其他教師進行提問，也可以是說課者邊說邊向其他教師提問，大家就某一特定問題積極展開討論。再次，說課的效果不同。前者，教師說課可以獲得比賽的名次，是為說課而說課，僅僅獲得學科內容知識，教師專業(yè)發(fā)展流于形式；后者，教研組全體教師通過說課—磨課—說課，不僅習得學科內容知識，還獲得學科教學知識（Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK），真正發(fā)揮了說課的作用。

可以看出，職前教師的說課是普通意義下的說課，即說課是讓教師以語言為主要表述工具，在備課的基礎上，面對同行、專家，系統(tǒng)而概括地解說自己對具體課程的理解，闡述自己的教學觀點，表述自己具體執(zhí)教某課題的教學設想、方法、策略以及組織教學的理論依據(jù)等，然后由大家進行評說。［1］而Y中學的說課明顯是一種帶有“研究性”的說課，即將說課理解為教師通過“說”的方式，對教學問題和教學環(huán)節(jié)等進行研究，并在與同行交流的前提下達到提升教學水平的過程［2］，是PCK視角下的說課。仔細分析兩種說課的形式、流程、內容、效果，不難發(fā)現(xiàn)，造成二者效果顯著差異的重要原因在于兩個方面：一是說課的目的不同；二是兩者建構說課的方式有差異。

一、為何說課

發(fā)起于中國河南新鄉(xiāng)的本土化活動——說課，最初目的就是想通過說課這一教研活動，幫助教師搞清楚優(yōu)秀教師處理某一特定教學內容的思維方式與策略依據(jù)，希望專家型教師帶動一般教師的專業(yè)發(fā)展。但是說課發(fā)展到現(xiàn)在，流行的方式就是說課比賽，希望在短短的15min內說者闡明自己的設計理念和意圖，聽者聽清并學會內化為自己的PCK，則是一件十分困難的事情。普通意義下的說課流于形式，為說課而說課，失去了說課應起的作用，變成了花拳繡腿，使廣大教師參與說課的熱情喪失，大部分學校的說課活動流產就不是一件奇怪的事情了。設想一下，沒有強有力的PCK做支撐的教師說課，我們能期望職前教師和廣大一線教師從這種說課中得到什么結果呢？教師作為教育者，首先要考慮的問題可能就是：怎樣能夠幫助教師帶著掌握PCK的目的說課。［3］

PCK是有別于學科知識、一般教學知識的一種認知體系，它的核心內容是就特定內容向特定學生有效呈現(xiàn)和闡釋的知識；從其構成來看，至少包括特定的學科性質、課程安排、學生前概念和錯誤概念的知識等。［4］PCK為教師專業(yè)發(fā)展提供了新的視角，教師專業(yè)化的核心問題就是發(fā)展他們的PCK。［5］因此，要想調動一線教師說課的積極性，使說課發(fā)揮應有的作用，就應厘清說課的目的，說課應真正起到幫助所有教師的PCK得到不同程度的提高，有利于教師的專業(yè)發(fā)展，把說課納入PCK的視野，借助PCK說課就是一件十分有意義的事情。PCK下的說課能促進教師的專業(yè)發(fā)展，可以促進教師對教材的研究、豐富教師的學科知識；促進教師對學生的研究、提高教師的職業(yè)技能；促進教師對理論知識的學習、加速教師的角色轉化；促進教師的自我反思、實現(xiàn)教師的自我完善；促進教師之間的相互協(xié)作，使教師群體共同發(fā)展、共同提高。［6］這是普通意義下的說課不可能做到的。

二、如何建構說課

PCK的定位在于“學科知識”與“一般教育知識”的融合，而其核心內涵在于將學科知識轉化為學生可學的形式［7］，其核心要素就是從學生立場出發(fā)實現(xiàn)知識轉化。［8］基于PCK，說課就是說者基于學生立場向聽者闡述如何把學科知識轉化為學生可學的形式，是對自己關于特定教學內容的學科知識、教學知識、關于學習的知識如何融化成PCK的一種解釋，是對自己教學信念、理念的進一步深化明確，以達到說者自清、聽者自明、相互交流的研究范式?；赑CK，說者主要說清楚四點：學科某一特定教學內容在學科結構中的位置；學生在學習這一主題之前的理解和學習該主題的困難；有效重組學生對該主題的理解以減少其形成錯誤理解的教學策略；采取有效方法（例如模擬、說明、解釋、舉例和示范）呈現(xiàn)該主題。［9］現(xiàn)以《勾股定理》一節(jié)為例，談談教師如何在PCK視角下進行說課。

1．集體研課，每位教師都真正參與說課

PCK下的說課不再局限于普通意義下說課的固定流程，教師說課時既說教師教什么、怎么教，又說學生學什么、怎么學；既說對勾股定理一節(jié)課的認識，又說從何種渠道獲得有關教與學的信息；既有教師說課，又有教師問答。說者可以回答聽者提出的問題，也可以向聽者進行提問。說者既可以向聽者解釋自己對某個問題的看法、思路，也可以提出自己的疑問，尋求聽者的幫助，抑或拋出某個問題，大家集體討論。此時的說課強調每位教師參與的積極性和自愿性，突出集體研課的重要性。

通常，每次說課都由教研組長定下本次說課的主題，大家圍繞該主題積極研討，可以就某個問題在紙上寫出要點，積極查閱相關資料，包括閱讀教學論等書籍；說課時，互相提問、追問，發(fā)表自己的看法，勇于暴露自己的不足，學習他人的“想”法，真正做到了交流學習的目的。此時的說課每位教師既是說者又是聽者，既提出問題又回答問題，把不懂的問題當場提出來，大家一起協(xié)商、相互學習、互取所需。由于是真正地幫助每位教師解決自己教學實踐中遇到的困惑，每位教師全部是自愿參加、積極研討的。這樣，每位教師獲得初步的PCK。帶著這樣的PCK進行同課異構或者磨課，把存在的問題及時反饋給教研組，進行研討，修正教學方案，再次進行磨課，這樣，教師的PCK已經(jīng)成熟。

例如，L教師說A：圍繞數(shù)學史和數(shù)學思想方法制定基于學生學習的教學目標，G教師問如何獲取勾股定理的數(shù)學史和數(shù)學思想方法？L教師回答并獲得G教師的認可后，拋出問題B：如何確定勾股定理的上下位知識？P教師進行了回答，H教師問P教師是如何確定這些上下位知識的？P教師耐心回答了H教師的提問，L教師進行了補充，H教師恍然大悟。經(jīng)過這樣的說課，教師習得了勾股定理上下位知識的獲取途徑，解決了自己的教學困惑（見圖1）。

圖1 Y中學集體研課示例

普通意義下的說課是一種“個人秀”，大多數(shù)情況下只是說者單打獨斗，限于時間，說者匆匆忙忙，聽者只聽得一點皮毛，即使是評委，也僅僅通過說課稿和說者的表演進行打分，較少關注教師真正需要的PCK，造成說者不清、聽者不明的局面，失去了說課應起的作用。

2．抓住各教學點進行說課

PCK下的說課主要抓住教師感到困惑的教學點進行說課。勾股定理的教學點（如圖2）有很多個，這個點可以是教師教什么（學生學什么）、教學目標、學生學習勾股定理的前概念以及可能學習時的試誤、教學策略和表征（如何板書、掛圖、利用幾何畫板）、問題情境的引入和問題串的設計，也可以是數(shù)學史和數(shù)學思想方法的挖掘和使用，既有學生學的困惑，也有教師教的困惑。我們可以把上述教學點分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，……來表示，在每個教學點下又有多個子教學點，子教學點下又有多個子教學點，我們可以用A1，A2，A11，A12，……來表示。例如，關于數(shù)學史這個教學點，有數(shù)學史的收集、數(shù)學史的利用兩個子教學點，在數(shù)學史的利用這個子教學點下又包含問題情境的引入、勾股定理發(fā)現(xiàn)后的說明、勾股定理的證明等幾個子教學點，在勾股定理發(fā)現(xiàn)這個子教學點下又有如何引導學生發(fā)現(xiàn)三邊之間的數(shù)量關系，如何引導學生從眾多的數(shù)量關系中得出普遍規(guī)律“a2＋b2＝c2”等幾個子教學點。每一個子教學點的提出都說明Y中學仔細研討教學的每一個細節(jié)，反映了每一位教師的積極思考和教學反思。

圖2 勾股定理的教學點

針對每一個教學點，每位教師發(fā)表不同的意見，說出自己的教學設計意圖和效果反饋，可以由專家型教師提出來大家一起討論，也可以由新手教師說出自己的理解、提出自己的教學困惑，由專家型教師幫助梳理。在這種說課模式下，專家和新手站在同一個交流平臺，相互學習、溝通、交流，專家型教師的教學智慧等隱性知識外顯，如何思考教學勾股定理的每一個點的內心思維得以在全體教師面前真實地再現(xiàn)，新手教師的教學困惑逐步得到解決。

說課活動應看做是一個整體系統(tǒng)，教師“說課”應從設計、展現(xiàn)、論理、效應四個層序運作說清楚自己的教學設計及其理論依據(jù)。［10］因此，每個教學點一一解決后，再來說面。這個面就是要把前面的每一個教學點串起來，綜合考慮教學某一特定教學內容的策略以及如何進行教學表征（采取何種教學手段），同時還要考慮教學時間的分配，畢竟一節(jié)課只有45min。Y中學針對每位教師提出的教學點的設計，集體研討后形成幾個預案，通過實際教學檢驗原預案，最后定出合理的教案。這里有一個前提，那就是要考慮每個班學生的實際情況，不能一刀切，Y中學在這方面處理得很好。

顯然，普通意義下的說課在有限的15min內是不可能對每一個教學點細細展開的，僅能說到面這個層次，而能夠真正解決教師備課、上課出現(xiàn)的教學困惑的恰恰是每一個教學點，這正是PCK下的說課能夠做到的。有學者指出，從心理學的視角來看，說課實際上借助外部語言，把教師自己對課程理解的“課”表述出來，教師對課程的理解有十分復雜的心理，說課心理過程以理解為前提、以語言為中介，需要歷經(jīng)兩次轉換：首先在“教師視域”與“課程視域”融合的基礎上生成“課程理解”，然后將教師的“課程理解”外化為教師的“課程話語”。［11］教師對每一個教學點的思考都有著復雜的心理過程，新手教師和一般教師渴望“窺視”優(yōu)秀教師的內心思維，PCK下的說課對每一個教學點的說課實際上展現(xiàn)了每一位教師的內心思維，每位教師在說課的過程中都經(jīng)歷了隱性知識（說者的）→隱性知識（聽者的）、隱性知識（說者的）→顯性知識（說者的）、顯性知識（說者的）→顯性知識（聽者的）、顯性知識（說者的）→隱性知識（聽者的）的知識轉化［9］，PCK已然生成。

3．形成說課圈，邀請知識淵博的他人指導說課

說課重在對每一個教學點制定依據(jù)和教學策略的設計意圖，需要教師加強理論方面的學習，課程論、教學論、方法論專著和有關的教學研究論文需要教師閱讀才能內化為自己的理論知識，這就需要知識淵博的他人給予一定的指導，這樣的他人有淵博的關于教學內容的知識、教學的知識以及學生學習理解過程的知識，同時，還有大量說課實踐工作經(jīng)驗。他們的參與將會有效避免普通意義下說課活動中的“花架子”現(xiàn)象。［3］筆者和教育教學專家就是這樣的他人。勾股定理中蘊含的數(shù)學史十分豐富，如何在教學中滲透數(shù)學史著實困擾著Y中學數(shù)學教研組全體教師。筆者在參與他們的研討中，向他們建議讀一讀汪曉勤老師的相關論文，了解一下HPM教學法、歷史相似性原理和發(fā)生教學法，并向他們講解張奠宙先生編著的《數(shù)學教育概論》（第二版）數(shù)學史與數(shù)學教育一節(jié)，使他們認識到數(shù)學史融入數(shù)學教學的必要性和選擇性。［12］Y中學深受啟發(fā)，在說課中很好地抓住這個教學點進行研討，最終定下該點的教學策略：課堂開始引入外空交流，探索環(huán)節(jié)引入畢達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)（百牛定理），證明環(huán)節(jié)介紹趙爽的勾股圓方圖、歐幾里得證明和總統(tǒng)證明，課外拓廣要求學生收集勾股定理的證明，準備上一節(jié)匯報課。

在知識淵博的他人的參與下，Y中學和H區(qū)其他中學一起組成“說課圈”。H區(qū)數(shù)學教研活動多數(shù)在Y中學開展，在Y中學的積極組織下，其他中學的數(shù)學教師定期參加片區(qū)的教研活動，Y中學這種PCK下的說課就成了有效的教研形式。其他中學對Y中學針對每一個教學點的說課產生濃厚的興趣，強烈要求參與他們的說課研討并在本單位教師之間積極展開。Y中學的成功會起到一個很好的示范作用，必將帶動H區(qū)全體數(shù)學教師專業(yè)的共同發(fā)展。要建立這樣一個所謂“說課圈”，最為關鍵的問題可能就是有效的合作學習團體的建構，即要確保教師與知識淵博的他人一起工作。［3］除了教師教育者外，Y中學的L教師顯然也是這樣的他人，她畢業(yè)于肇慶學院已近10年（曾獲肇慶學院第二屆師范生教學技能大賽一等獎），有兩年的山區(qū)支教經(jīng)驗，Y中學建校之初成功應聘，現(xiàn)已成為Y中學的教學骨干，她積極響應踐行郭思樂教授的生本教育，率先實踐H區(qū)倡導的磨課活動，筆者帶領職前教師參加的磨課實際上已是她執(zhí)教的第三次磨課。在她的帶領下，數(shù)學教研組全體教師都積極參與同課異構、磨課，相互學習，每一位教師都在教學反思中成長。正如這樣的他人總結：“勾股定理教什么，就是要教學生對該定理的發(fā)現(xiàn)和證明，這個發(fā)現(xiàn)和證明不是教師教給學生的，而是學生自主得出的，由發(fā)現(xiàn)該定理就能自然地得出證明的方法，這才是高超的教學藝術，應該是一氣呵成、水到渠成的事情。因此，如何尋求突破“a2＋b2＝c2”就是本節(jié)課的教學重點和難點……”

普通意義下的說課這樣的他人只有在參加校、市、省的說課比賽時才會介入，這樣的說課效果可想而知，這是與PCK下的說課無法比擬的。

總之，PCK下的說課與普通意義下的說課有著本質的區(qū)別，是帶著幫助教師獲得某一特定教學內容的PCK的目的來進行說課的，說課時著力于每一個教學點，是真正促進教師專業(yè)發(fā)展的說課。說課著眼于教師PCK的生成，關鍵在于教師要掌握閱讀教科書、相關的理論著作和論文的方法，能夠從中提煉出自己需要的教與學的知識。通過說課，如何吸收和內化為自己的PCK，需要教師在教學中反思，在反思中實踐，真正促成自己專業(yè)素養(yǎng)的提升，盡快成長為一名專家型教師。

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［責任編輯：黃曉娜］

G420

A

1002－1477（2015）07－0064－05

10．16165／j．cnki．22－1096／g4．2015．07．015

2015－02－02

廣東省教育科學研究項目（2013JK179）；肇慶市哲學社會科學“十二五”規(guī)劃2014年度項目（14zc－06）。

王傳利（1975－），男，山東鄒城人，講師。