無(wú)窮大量與無(wú)窮小量在教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

張愛(ài)麗

【摘 要】本文指出了無(wú)窮大量和無(wú)窮小量在教學(xué)中應(yīng)注意的一些問(wèn)題，并給出了無(wú)窮大量的一些性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮大量的定義，以及用它們來(lái)討論級(jí)數(shù)斂散性的優(yōu)越性。

【關(guān)鍵詞】無(wú)窮大量 ? ?無(wú)窮小量 ? ?斂散性

一、前言

我們?cè)谘芯孔兞康淖兓^(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到兩類變量：一種是在某種變化過(guò)程中無(wú)限趨近于零，這種變量我們稱為無(wú)窮小量;另外一種是在某種變化過(guò)程中無(wú)限趨近于正負(fù)無(wú)窮，稱為無(wú)窮大量。無(wú)窮大量和無(wú)窮小量是高等數(shù)學(xué)中的重要概念。在教學(xué)中研究無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的結(jié)論和性質(zhì)對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容有很大幫助。無(wú)窮大與無(wú)窮小在一元微積分，特別是在極限的理論中有著非常重要的地位。微分在變化為零的過(guò)程中是無(wú)窮小，導(dǎo)數(shù)是無(wú)窮小量之比的極限，定積分實(shí)質(zhì)是無(wú)窮小量的積累。函數(shù)的連續(xù)性、極限的四則運(yùn)算法則、無(wú)窮小量的階等均是無(wú)窮小量給出的等等，許多概念都建立在無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的基礎(chǔ)上。

二、無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的說(shuō)明和性質(zhì)的補(bǔ)充

1.無(wú)窮大和無(wú)窮小是變量，但不是單調(diào)地越變?cè)酱螅蛘咴阶冊(cè)叫?/p>

無(wú)窮大與無(wú)窮小是變量，它們表示的是量的變化趨勢(shì)。因此不能簡(jiǎn)單地把它們看成很大的數(shù)與很小的數(shù)。除了0以外其他再小的數(shù)也不是無(wú)窮小量。一個(gè)無(wú)窮大量在變化過(guò)程中開(kāi)始時(shí)也可能取很小的數(shù)值。無(wú)窮大與無(wú)窮小同一般變量的極限一樣，本質(zhì)上主要表現(xiàn)在變化的終極狀態(tài)，而不在變化過(guò)程中的任何有限的階段。需要說(shuō)明的是，無(wú)窮大不是越變?cè)酱螅瑹o(wú)窮小同樣也不是越變?cè)叫?。在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生說(shuō)明這兩種說(shuō)法只用于表現(xiàn)單調(diào)變化的情況，而無(wú)窮大與無(wú)窮小的變化過(guò)程有可能不是單調(diào)的。

2.高數(shù)課本中對(duì)無(wú)窮小量的性質(zhì)講得比較充分，無(wú)窮大量相對(duì)較少，下面就無(wú)窮大量的運(yùn)用做一些補(bǔ)充

2.1 無(wú)窮大量階的比較

定義：設(shè)u，v是在同一個(gè)自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，則u比v的極限也是這個(gè)變化過(guò)程中的極限。

（1）如果u比v極限為0，u是比v低階的無(wú)窮大;

（2）如果u比v極限為無(wú)窮，u是比v高階的無(wú)窮大;

（3）如果u比v極限為常數(shù)（不為0），u與v是同階無(wú)窮大;

（4）如果u比v極限為1，u與v是等價(jià)無(wú)窮大;

（5）如果u比v的k次方的極限為常數(shù)（不為0），k大于0，u是關(guān)于v的k階無(wú)窮大。

2.2無(wú)窮大量的性質(zhì)

性質(zhì)1：無(wú)窮大量與有界變量的和仍為無(wú)窮大量。

推論1：無(wú)窮大量與常量的和仍為無(wú)窮大量。

推論2：無(wú)窮大量與有限個(gè)無(wú)窮小量的和仍為無(wú)窮大量。

性質(zhì)2：無(wú)窮大量與不為0的常數(shù)相乘仍為無(wú)窮大量。

注意1：無(wú)窮大量與有界變量的積不一定是無(wú)窮大量。

性質(zhì)3：有限個(gè)無(wú)窮大量的積仍是無(wú)窮大量。

注意2：有限個(gè)無(wú)窮大量的和不一定是無(wú)窮大量。

性質(zhì)4：無(wú)窮大量一定是無(wú)界量，但無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量。

從圖像上來(lái)看，無(wú)界量與無(wú)窮大量都不能被平行于X軸的兩條直線夾住，但無(wú)窮大量有一個(gè)明顯的變化趨勢(shì)，即函數(shù)值整體上向無(wú)窮大靠近，而無(wú)界量則沒(méi)有這種變化趨勢(shì)。

性質(zhì)5：一個(gè)無(wú)窮大量與它的低階無(wú)窮大量的和或差與該無(wú)窮大量是等價(jià)的。已知u，v都是在同一自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，且u比v的極限為0，則u+v（u-v）等價(jià)v。性質(zhì)6：一個(gè)無(wú)窮大量和一個(gè)有界變量的和或差與該無(wú)窮大量是等價(jià)的。已知u，v是在某自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，u是個(gè)有界變量，則u+v（u-v）等價(jià)v。

推論3：一個(gè)無(wú)窮大量和常數(shù)的和或差與該無(wú)窮大量是等價(jià)的。即，已知u，v是在某種自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，a為常數(shù)，u+a（u-v）等價(jià)v。

求兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮大量來(lái)代替。因此，如果用來(lái)代替的無(wú)窮大量選得適當(dāng)?shù)脑?，可以使?jì)算簡(jiǎn)化。

3.討論級(jí)數(shù)的斂散性

基本思路：利用無(wú)窮大量、無(wú)窮小量的等價(jià)替換，使一般項(xiàng)得到簡(jiǎn)化，快速找到與該技術(shù)斂散性可能相同的級(jí)數(shù)，然后再用合適的方法（大多采用比較審斂法的極限形式）進(jìn)行驗(yàn)證即可。

通常簡(jiǎn)化過(guò)程中一般項(xiàng)的常數(shù)倍可舍去，一般項(xiàng)中分子或分母的無(wú)窮大因子可用等價(jià)無(wú)窮大替換，再結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小的運(yùn)用，可將一般項(xiàng)簡(jiǎn)化的幅度加大，化成熟知的級(jí)數(shù)，即得正解。這種處理手段的妙處在于能快速得到正確的答案或解題思路，在考研等各種考試中，特別在做填空、選擇題時(shí)，將發(fā)揮重要的作用。同時(shí)應(yīng)注意，在簡(jiǎn)化過(guò)程中作為解題策略，有時(shí)只能當(dāng)成一種試探，要盡量保證級(jí)數(shù)收斂性的穩(wěn)定性，但是，也不必過(guò)分追求嚴(yán)謹(jǐn)性，在真正解答時(shí)隨時(shí)可以加以修正。在討論極限、級(jí)數(shù)問(wèn)題時(shí)，與其他方法相結(jié)合，巧妙地運(yùn)用無(wú)窮大量的性質(zhì)及其等價(jià)替換能起到事半功倍的效果，有的問(wèn)題可以迅速簡(jiǎn)化甚至直接得到答案。

三、結(jié)束語(yǔ)

總之，無(wú)窮大量和無(wú)窮小量在整個(gè)高等數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位，我們?cè)谑谡n時(shí)要把一些細(xì)節(jié)說(shuō)清楚，讓學(xué)生對(duì)它們的內(nèi)涵有深切的認(rèn)識(shí)，真正學(xué)會(huì)用它們來(lái)解決問(wèn)題，認(rèn)知高等數(shù)學(xué)中的概念。

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