高考數(shù)學(xué)“最值”問題

湖北省宜城一中 嚴 帆

最值作為高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，一直是高考考查的重點，也是高考考查的一個難點，下面就一些最值問題作出分析。

最值問題一般可分為兩種形式，一是函數(shù)的最值；二是多項式的最值。

一、函數(shù)的最值

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，它貫穿于整個高中數(shù)學(xué)知識，而最值又是函數(shù)最重要的問題，因此在高考中經(jīng)?？疾椋疾樾问酱笾掠袃煞N：直接求函數(shù)的最值；恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值。

1．直接求函數(shù)最值

對基本初等函數(shù)或由基本初等函數(shù)復(fù)合而成的簡單函數(shù)的最值。

如：已知的最值。

解：由題可得：

此時此時

∴當最大值為當x=2時，最小值為3。

該題為二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，求其最值，首先注意找出定義域，這也是我們解決函數(shù)問題的基本要求，然后利用換元法將求原函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)求解，其常見的求解方法還有配方法、判斷式法等。

又如求函數(shù)在上的最大值，最小值。

又

函數(shù)f(x) 最大值為最小值為

對于解析式較復(fù)雜的一類連續(xù)函數(shù)的最值的求解可以利用導(dǎo)數(shù)來求解。

2．恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值

對涉及一些求參數(shù)范圍的恒成立問題時通常采用分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。

如函數(shù)，函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，求b的取值范圍。

解：內(nèi)單調(diào)遞增

∴恒成立

恒成立

令 g(x)=-2x2-2x ∴b≥g(x)max

與函數(shù)相關(guān)的一些恒成立問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，常見的單變量恒成立的幾種形式有：

a＞f(x)恒成立；a＜f(x)恒成立

恒成立?

成立?

二、多項式的最值問題

多項式的最值問題通常有兩種基本方法：數(shù)形結(jié)合（線性規(guī)劃）；不等式（基本不等式，柯西不等式）。

1．數(shù)形結(jié)合

對于多項式的最值求法可考查其幾何意義結(jié)合圖像求出其最值。

如：已知經(jīng)，x,y滿足約束條件：

求的取值范圍；2、求z=x2+y2的取值范圍。

解：（1）由題作出可行域，可看作點(x,y)與點(-5,5) 連線的斜率大小，由圖可得

（2）z=x2+y2，可將看作點(x,y)與原點(0,0)的距離。

結(jié)合不等式區(qū)域A到原點距離最小為

最大為

對于此類問題，首先注意將求多項式最值問題轉(zhuǎn)化為幾何意義，再運用數(shù)形結(jié)合的思想求解。

2．應(yīng)用不等式求解多項式的最值

多項式的最值通常也可應(yīng)用幾個重要不等式，柯西不等式來求解。

這種形式在近三年湖北卷中都有出現(xiàn)，幾乎屬于必考內(nèi)容。

如：已知，則的最小值為

解：

即：

對于一些含有約束條件的多項式的最值問題，一般可以采用柯西不等式處理，配湊構(gòu)造兩組數(shù)使之符合柯西不等式的形式，同時要注意符號成立的條件。