地震強度遞增沙堆模型響應機制的研究

郭海強+姚令侃+郭沉穩(wěn)+黃藝丹

摘要：針對汶川地震Ⅹ度和Ⅺ度烈度區(qū)崩塌滑坡面積與累計頻率統(tǒng)計關系呈現不同分布規(guī)律的現象，開展了地震峰值加速度從0.075～0.450g的6組振動臺沙堆模型實驗.實驗重現了隨振動強度增加，落沙量與累計頻率從冪律分布-對數正態(tài)分布-正態(tài)分布依次轉變的現象.數學分析表明，變異系數的減小，是這3種概型依次轉變的原因.根據實驗觀察，隨擾動遞增沙堆表面顆粒行為呈現不同響應模式：微振動時顆?；顒有韵У母怕逝c活動性分叉的概率在總體上平衡，當顆粒間近鄰的相互作用導致連鎖反應時才能發(fā)生大規(guī)模落沙事件，具有最大的不確定性.強振動時大部分顆粒就能獨立啟動，大規(guī)模落沙成為必然事件.據此提出，落沙規(guī)模由自組織控制的顆粒鏈式反應過程，向外力控制的顆粒獨立下落過程的轉化是導致變異系數減小的物理機制.根據以上認識，隨地震烈度增加，汶川地震觸發(fā)的崩塌滑坡規(guī)模與累計頻率依次服從冪律分布-對數正態(tài)分布的現象，可能是具有普適性意義的規(guī)律.

關鍵詞：地震;滑坡;自組織臨界性;沙堆模型實驗;變異系數

中圖分類號：TU435;P694 文獻標識碼：A

StudyontheResponseMechanism

ofSandpileModelTestswithIncreasedSeismicLoading

GUOHaiqiang1，YAOLingkan1，2，3，GUOChenwen1，HUANGYidan1

（1.SchoolofCivilEngineering，SouthwestJiaotongUniv，Chengdu，Sichuan610031，China;2.MOEKeyLab

ofHighSpeedRailwayEngineering，Chengdu，Sichuan610031，China;3.RoadandRailwayEngineering

ResearchInst，SichuanKeyLabofAseismicEngineeringandTechnol，Chengdu，Sichuan610031，China）

Abstract：Accordingtothephenomenonofstatisticalrelationshipsshowingdifferentdistributions，betweentheareaandcumulativefrequencyoflandslidesinⅩ，ⅪseismicintensityofMs8.0Wenchuanearthquake，6sandpilemodeltestsunderseismicwereconductedwiththeincreaseofseismicpeakgroundaccelerationrangingfrom0.075gto0.450g.Thephenomenonofstatisticalrelationshipswasreproducedbythetestsbetweentheamountandcumulativefrequencyofsandchangingfrompowerlawdistributiontolognormaldistribution，thentonormaldistribution，withincreaseofseismicloading.Bymathematicalanalysis，thedecreaseofthecoefficientofvariationisthecauseofprobabilitydistributionshiftbetweenpowerlaw，lognormaldistributionandnormaldistribution.Observedthroughexperiments，theperformanceofgrainsonthesurfaceofsandpilewillshowdifferentmodelswiththeincreaseofseismicloading.Underweakvibration，theprobabilitythattheactivitywilldieisoverallbalancedwiththeprobabilitythattheactivitywillbranch.Alargescalecollapseoccurswhenthereisachaininteractionbetweenneighboringgrains.Ithasthegreatestuncertainty.Understrongvibration，mostgrainsstartindependently.Alargescalecollapsebecomesacertainevent.Therefore，thescaleofcollapseistransformedfromthechainreactionofunstablegrainstriggeredbyselforganizedeffecttotheindependentfallingofunstablegrainstriggeredbyvibratingforceeffect，whichisthephysicalmechanismofthereducingofCv.Accordingtotheaboverealization，thephenomenonoftherelationbetweenareaandcumulativefrequencychangingfrompowerlawdistributiontolognormaldistributionwiththeincreaseofseismicintensityofMs8.0Wenchuanearthquakemaybeuniversal.

Keywords：earthquake;landslide;selforganizedcriticality（SOC）;sandpilemodeltest;coefficientofvariation

自組織臨界狀態(tài)（SelforganizedCriticality，SOC）理論由Bak[1]首先提出，用以解釋復雜系統(tǒng)的行為特性.Held等[2]第一次通過物理實驗證明了沙堆具有自組織臨界性.通過該實驗發(fā)現當沙堆達到臨界角附近時，落下的一粒沙，可能固定在沙堆上、也可能引起小范圍沙?；瑒?、還可能導致更大規(guī)模的“雪崩”，最終收集到的落沙量從零到數百粒不等，其落沙規(guī)模與頻率服從冪律分布，至此沙堆模型就成為了研究SOC的范例，它反映了一種在自組織作用下的斜坡物質能量耗散普適性過程[3-5].運用SOC理論來研究地震誘發(fā)崩塌、滑坡的整體分布問題具有明顯優(yōu)勢，既能從宏觀把握它們的總體特征又能擺脫對單個崩塌、滑坡獨特形成機理的限制性，進而得到具有普適性的規(guī)律.

Fuyii[6]在日本統(tǒng)計了650個由大雨造成的滑坡面積數據，并發(fā)現滑坡面積的量級頻率之間存在冪律分布的現象，隨后幾十年中，相繼有學者發(fā)現有關于降雨及地震造成的滑坡量級頻率之間存在冪律分布關系[7-8]，但都關注于對冪指數b值大小的研究，缺乏對冪律分布機理進行解釋.Yao等[9]針對四川地區(qū)滑坡、巖堆規(guī)模呈冪律分布的現象，提出了SOC形成機制的初步解釋;但以上工作均未開展過物理模型實驗.2008年5.12汶川大地震后，展開了運用SOC研究地震誘發(fā)崩塌滑坡整體分布的專題研究，如在汶川震后的搶險階段，就開始對G213線都江堰至映秀段沿線由地震觸發(fā)的崩塌體進行詳查及測量，并發(fā)現位于Ⅸ度地震區(qū)的61個崩滑工點（數十方～數萬方），崩滑方量與崩滑工點數目之間存在著冪律關系[10].同時，利用離心模型開展了地震作用下的沙堆模型實驗，發(fā)現斜坡堆積體（按照重力相似準則高度達20.4m）在按照擬靜力原理模擬的地震力擾動下（以沙堆模型底板傾斜1.5°模擬中震、模型底板傾斜3°模擬大震），斜坡崩塌的動力學特性可以用冪律描述.據此首次提出斜坡系統(tǒng)在中、小地震下的崩塌規(guī)模呈現SOC效應，大震時服從正態(tài)分布等假設[11].但是受條件限制，在Ⅹ，Ⅺ度地震區(qū)，實測得到的統(tǒng)計樣本數偏少，無法對高于Ⅸ度地震烈度區(qū)的統(tǒng)計結果得出準確的結論[10].同時，離心模型實驗模擬的地震力與真實地震物理過程相距較大，所謂“中小震”的限制條件也過于籠統(tǒng)，因此若沒有可被直接觀察的地震觸發(fā)崩滑現象作為研究條件，該假設面臨如何檢驗以及崩塌滑坡服從SOC的判據如何量化等問題[11].

本文針對以上問題，做了進一步的研究.如依據衛(wèi)星遙感影像，對位于汶川地震Ⅹ度區(qū)、Ⅺ度區(qū)崩坡體的面積進行了人工解譯，獲取了大量的統(tǒng)計樣本，發(fā)現在Ⅹ度區(qū)，地震觸發(fā)的崩滑面積與累計頻率的關系仍為冪律關系，但關系減弱;Ⅺ度區(qū)，地震觸發(fā)的崩滑面積與累計頻率之間的關系服從對數正態(tài)分布.由此可知，隨地震烈度增加，地震觸發(fā)崩滑規(guī)模的整體分布規(guī)律會發(fā)生變化.若超越這些從統(tǒng)計層面獲得的表觀認知，能否從理論上證明隨地震強度增加，斜坡系統(tǒng)的動力學特性轉變具有普適性的意義？能否找到導致其動力特性轉變的原因？如上問題急需得到理論上的解釋.本文的目的即是在SOC的概念框架下，希望通過振動臺沙堆模型實驗，重現沙堆模型隨地震擾動加強的動力學演變過程，并尋找斜坡系統(tǒng)動力學特性轉變的原因.

1振動臺沙堆模型實驗

沙堆模型是具有SOC性質的系統(tǒng)，在臨界狀態(tài)下即使是受到一系列微小的、均勻的擾動，其反應隨時間的變化也很大，但每次擾動下表征反應規(guī)模的物理量可用冪律描述，故冪律可以作為SOC的證據，而與擾動方式無關，這就是沙堆模型實驗的原理[5，11].

1.1實驗設計

振動臺沙堆模型實驗依托于高速鐵路線路工程教育部重點實驗室單向電液伺服驅動式地震模擬振動臺開展，其主要技術指標如表1所示.

由于地震觸發(fā)造成的崩塌滑坡是規(guī)模差異巨大的災害現象，小到數方就造成公路斷道災害的崩塌落石，大到上億方的巨型滑坡（大光包滑坡估算體積約7.5億m3），并且沒有特征尺度，所以在沙堆模型設計時并不強調對原型工點尺度的相似關系.本實驗主要研究地震強度變化對沙堆模型動力學的影響，每次實驗沙堆物理參數相同，這有利于進行對比分析，因此實驗沙堆密度取1.658×103kg/m3、含水率為0.5%，并要求實驗全程保持不變.沙堆填料選用G213線都江堰至映秀段某一典型地震觸發(fā)崩塌工點粒徑≤50mm的天然干燥沙石，其級配比例如圖1所示.在模型箱內加沙前，為消除鋼制剛性模型實驗箱側壁的摩擦約束，在模型箱的兩側壁各粘貼一層透明薄膜來減小側壁摩擦，且便于觀察模型表觀變形情況.在模型箱內加沙時，依靠沙石自身重力下滑形成自然坡面，當沙堆坡腳觸及臺面端邊緣，直至加沙量與落沙量基本持平時，則沙堆達到天然臨界休止角，此時為臨界狀態(tài)，如圖2所示.該天然單面坡沙堆總質量為6.8t，長258cm，寬150cm，高195cm.

實驗輸入的是汶川地震臥龍臺站記錄的修正波，根據原波的峰值加速度與設計的目標峰值加速度的比值，對臥龍臺站記錄的修正波幅值進行壓縮，得到每組實驗的地震波，共設計了地震峰值加速度（PGA）從0.075～0.450g的6組實驗.以稱質量的方法稱取每次地震波擾動后滑出臺面的沙粒質量，用近景攝影測量技術獲取沙堆體積的變化量及坡體表面動力學特征.

1.2實驗數據統(tǒng)計特征

振動臺沙堆模型實驗的假設檢驗結果如表2所示.沙堆隨PGA增加呈現3種概率分布：1）當PGA=0.075～0.125g時，樣本經檢驗服從冪律分布.2）當PGA=0.15～0.25g時，樣本經檢驗服從對數正態(tài)分布.3）當PGA=0.35～0.45g時，樣本經檢驗服從正態(tài)分布.

振動臺沙堆模型實驗數據的數理統(tǒng)計分析如表3所示.實驗統(tǒng)計結果顯示，落沙量隨PGA的增加，樣本均值E（X）依次增加，變異系數Cν依次減小.

2地震波擾動下沙堆崩塌規(guī)模與頻率關系

的統(tǒng)計特性

由振動臺沙堆模型實驗數據統(tǒng)計特征結果發(fā)現，隨地震波強度增加，統(tǒng)計崩塌規(guī)模與頻率呈現3種概率分布，為進一步研究這3種概率分布轉化的原因，需要了解3種概率分布的性質以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.

1）冪律分布性質.若非負的隨機變量X服從冪律分布，則其概率密度f（x）可以表示為：

f（x）=cx-α.（1）

式中：常數c>0;冪次α>0.對冪率分布概率公式（1）取對數后，lnf（x）和ln（x）之間呈直線關系，這一線性關系是判斷給定的實例中隨機變量是否滿足冪律分布的依據.

冪律分布的共性是絕大多數事件發(fā)生的規(guī)模很小，而只有少數事件發(fā)生的規(guī)模相當大.在統(tǒng)計物理學領域中把冪律分布現象稱為無標度現象，表明對于所觀察的事件而言沒有一個特征尺度，不同規(guī)模的事件均可以出現，并且小事件與大事件發(fā)生遵從同一誘發(fā)機制[12].

2）對數正態(tài)分布性質.如果隨機變量X的函數Y=lnX服從正態(tài)分布N（μ′，σ′2），則稱X服從參數為μ′和σ′2的對數正態(tài)分布，簡記X∽ln（μ′，σ′2）.由正態(tài)分布的概率密度可推導出對數正態(tài)分布的概率密度f′（x）.

f′（x）=1x2πσ′2e-（ln（x）-μ′）22σ′2.（2）

由式（2）可知，對數正態(tài)分布的概率密度中包含μ′，σ′2個參數，其中μ′值變化只會影響概率密度曲線的均值及峰值，σ′值的變化會導致概率密度曲線趨勢發(fā)生轉變[13].為此，將μ′值設定為某一定值，觀察隨σ′值的變化，概率密度曲線的演變趨勢（圖3和圖4）.

易見，在μ′值為定值時，對數正態(tài)分布的概率密度曲線隨著σ′值增加逐漸接近冪律分布曲線（如圖3中σ′=10時）.當σ′=10時，對數正態(tài)分布的概率密度曲線取對數后已經近似成為一條直線（圖4）;反之，隨σ′值減小，對數正態(tài)分布概率密度曲線的偏度越來越小，從左偏曲線逐漸過渡到接近對稱的鐘形曲線（如圖3中σ′=0.25時），取對數后的二次拋物線，開口也逐漸減小（如圖4中σ′=0.25時）.

3）正態(tài)分布性質.若隨機變量X具有的概率密度函數為：

f（x）=12πσ2e-（x-μ）22σ2.（3）

則稱X服從一個參數為μ，σ的正態(tài)分布，記為X∽N（μ，σ2）.正態(tài)分布的概率密度函數曲線呈鐘形曲線形勢.

正態(tài)分布具有普適性，中心極限定理說明，相互獨立的隨機變量X1，X2，…的部分和Yn=∑nk=1Xk的極限分布近似服從正態(tài)分布[14].

綜上，冪律分布、對數正態(tài)分布、正態(tài)分布這3種概率分布之間存在著聯(lián)系，其趨勢變化與σ′值有關.當σ′值從大到小變化時，會導致概率密度從冪律分布-對數正態(tài)分布-正態(tài)分布的趨勢轉變[13，15].

更進一步，對影響σ′值的因素進行分析.根據矩估計法原理[13，16]，推導出σ′值的計算公式（4），并將其表示成圖5所示，由圖5可見，σ′值是關于變量Cν的單調遞增函數.因此，概率密度從冪律分布-對數正態(tài)分布-正態(tài)分布的趨勢轉變也可以用變異系數Cν的變化所反映，并且變異系數Cν是表征不同均值實驗數據離散程度的指標[17]，具有明確的概念，可為以下具體現象的討論提供更為直觀的參數.

σ′=ln1+1n∑ni=1（Xi-E（X））2/（E（X））2=

ln1+D（X）/（E（X））2=ln（1+C2ν）.（4）

式中：σ′值為對數正態(tài)分布的參數;E（X）為樣本均值;D（X）為樣本方差;Xi為樣本值.

3地震波強度遞增沙堆模型統(tǒng)計特性轉變的機理

1）通過近景攝影測量技術對沙堆模型坡體失穩(wěn)過程進行監(jiān)測，發(fā)現其行為隨擾動遞增呈現3種不同現象.

Ⅰ）沙堆表面顆粒在第1，2組實驗（PGA=0.075～0.125g）的加速度峰值點出現點源啟動事件（表4）.所謂點源啟動是指一處或幾處分散在坡面的孤立顆粒失穩(wěn)啟動（圖6（a））.點源啟動后的顆粒在運動中可能會出現3種現象：①無沙粒滑出邊界，整個坡面上的大部分顆粒處于靜止狀態(tài)，雖有少數顆粒發(fā)生滾動但未滾落出邊界.②小規(guī)模沙粒滑出邊界.處在坡面上部的顆粒啟動時容易被下部的大顆粒阻擋，滑出邊界的幾率小;位于下部的顆粒滑出邊界的幾率大，但行程短，缺乏帶動效應，即使發(fā)生連鎖反應規(guī)模也有限.③大規(guī)模雪崩.坡面上少數顆粒先啟動，并帶動其他顆粒，迅速擴大規(guī)模，使一定范圍內的顆粒發(fā)生失穩(wěn)，最終演變成一次大規(guī)模的雪崩.其他時段，無顆粒啟動現象.

Ⅱ）沙堆表面顆粒在第3，4組實驗中（PGA=0.15～0.25g）的加速度峰值點同時發(fā)生點源啟動和局部面源啟動事件（表4）.所謂局部面源啟動是指集聚在一塊區(qū)域內的顆粒瞬間啟動（圖6（b））.受擾動強度的影響，局部面源啟動的顆粒在啟動時獲得了較大的初速度，使得其滾落出沙堆的幾率增加，如在第3，4組實驗中的落沙量已經沒有出現落沙量為0的情況.其他時段，也有少量點源啟動的事件發(fā)生.

Ⅲ）沙堆在第5，6組實驗中（PGA=0.35～0.45g）的首個加速度峰值時段內發(fā)生面源啟動事件（表4）.即相對局部面源啟動而言，規(guī)模擴大到整個坡面，使得大規(guī)模雪崩幾乎成為必然事件，每次實驗中由面源啟動方式產生的落沙量占該次實驗總落沙量的大部分;其他時段，點源啟動的事件也屢有發(fā)生，但一般其落沙量僅占總量的小部分.

2）如上3種不同現象反映了3種不同類型的物理機制，并且通過分析3種物理機制的變化得知，顆粒失穩(wěn)由相互作用占主導地位向振動驅動下各自獨立下落的轉化是造成落沙量的離散性（Cν）減小的原因.

a）自組織狀態(tài)模式（PGA=0.075～0.125g）：在點源啟動的情況下，沙堆表面顆粒失穩(wěn)以相互作用為主.加速度峰值點產生點源啟動現象，點源啟動后的顆粒會對相鄰顆粒產生擾動并通過近鄰的相互作用發(fā)生連鎖反應.相互作用主要體現為以下3種方式：①滾動的顆粒撞擊下部顆粒;②啟動的顆粒減小了上方顆粒的支撐力;③啟動的顆粒對兩側顆粒產生側向摩擦.但鄰近顆粒在受到由連鎖反應傳遞的擾動時不至于總是超過其自穩(wěn)能力，會面臨擾動停止（即活動性消失）或者擾動繼續(xù)傳播（即活動性分叉）的選擇.因此這種連鎖反應造成落沙量之間的差距極大，呈現出很大的離散性（Cν）與不確定性.例如以PGA為0.125g為例，最小落沙量為0，最大落沙量為1.252kg，最大落沙量與最小落沙量比值趨于無窮大.

b）振動力控制模式（PGA=0.35～0.45g）：在面源啟動的情況下，沙堆表面顆粒失穩(wěn)以各自獨立下落為主.發(fā)生面源啟動的顆粒是由振動力直接觸發(fā)而啟動的，其啟動方式相互獨立，無需依賴鄰近顆粒的帶動就具有一定的初速度，多數能滑落出沙堆，大規(guī)模雪崩幾乎成為必然事件，成為總落沙量的主體，故離散程度（Cν）小.例如以PGA=0.45g為例，最小落沙量為8.995kg，最大落沙量為29.666kg，最大落沙量與最小落沙量比值約為3.3.面源啟動顆粒失穩(wěn)的機理以顆粒獨立啟動為主，由中心極限定理的定義可知，這就是其總體效應（落沙量）服從正態(tài)分布的原理.

c）過渡模式（PGA=0.15～0.25g）：同時發(fā)生點源啟動和局部面源啟動表明沙堆表面顆粒受到自組織狀態(tài)模式和振動力控制模式的相互影響.隨擾動遞增，顆粒失穩(wěn)由相互作用占主導地位向振動驅動下各自獨立下落逐漸轉化，故落沙量的離散性（Cν）逐漸減小.例如以PGA=0.15g為例，最小落沙量為0.485kg，最大落沙量為6.730kg，最大落沙量與最小落沙量比值約為13.9.

綜上，在微擾動情況下，顆粒失穩(wěn)以相互作用為主，崩塌滑坡的動力學特性受制于系統(tǒng)的SOC作用，系統(tǒng)的不確定性、離散程度最大;當擾動強度進一步增加時，斜坡系統(tǒng)受振動力影響增強，系統(tǒng)的不確定性、離散程度進一步減小，崩滑規(guī)模與發(fā)生頻率的冪律式逐漸弱化，發(fā)展為具有對數正態(tài)分布的曲線特征;當擾動強度繼續(xù)增加，使得顆粒失穩(wěn)以各自獨立下落為主時，崩塌滑坡的表觀響應趨于完全被振動力所控制，系統(tǒng)的不確定性、離散程度最小，發(fā)展為具有正態(tài)分布的曲線特征.

4對汶川地震觸發(fā)崩塌滑坡分布規(guī)律的解釋

利用2008年6月4日的一套ALOS衛(wèi)星圖像（精度達10m）資料，對汶川地震Ⅹ，Ⅺ度區(qū)的崩塌滑坡的面積進行人工解譯.受資料精度要求統(tǒng)一的限制，選取了北川、安縣、茂縣和綿竹境內（坐標范圍為103°57′36″E～104°36′36″E，31°30′N～31°58′48″N，面積約672km2）及都江堰、彭州境內（坐標范圍為103°37′12″E～103°45′36″E，31°12′36″N～31°21′36″N，面積約445平方公里）的兩片區(qū)域.通過統(tǒng)計分析得到了汶川地震Ⅹ度，Ⅺ度地震烈度區(qū)崩滑面積與累計頻率的統(tǒng)計關系，如表5所示.在Ⅹ度區(qū)，判譯出了崩塌滑坡2812處，崩塌滑坡面積與累計頻率呈現冪律分布，其變異系數Cν為5.1;在Ⅺ度區(qū)，判譯出了崩塌滑坡3159處，崩塌滑坡面積與累計頻率呈現對數正態(tài)分布，其變異系數Cν為1.8.

沙堆模型與實震誘發(fā)崩塌滑坡等原型問題具有一定的相似性，基于上節(jié)對沙堆模型統(tǒng)計特性的分析，揭示了地震強度遞增，會造成沙堆模型變異系數Cν的減小，并使落沙量與累計頻率的概率分布發(fā)生轉變的規(guī)律.該結論在汶川實震資料的整體分布規(guī)律的分析中也同樣適用.因此，根據物理普適性原理，汶川地震實震資料的規(guī)律可能是具普適性意義的現象.

注：N為滑坡數量，A為滑坡面積.

5結論

1）在自組織臨界理論下，開展了振動臺沙堆模型實驗，發(fā)現隨地震擾動強度增加，落沙量與累計頻率會遵循從冪律分布-對數正態(tài)分布-正態(tài)分布3種概型的依次轉變，其轉變機理與變異系數Cν有關，Cν從大到小變化時，會導致概率密度從冪律分布-對數正態(tài)分布-正態(tài)分布的趨勢轉變.振動臺實驗數據與汶川實震數據共同驗證了在地震烈度單一因素遞增情況下，變異系數Cν逐漸減小，地震觸發(fā)的崩塌滑坡分布規(guī)律遵循從冪律分布-對數正態(tài)分布.該認識具有一定的普適性，可以為高烈度地震山區(qū)地震觸發(fā)崩塌滑坡災勢預測提供具有物理理論依據的概型，從而為開展地震觸發(fā)山地災害危險性區(qū)劃、地震次生災害風險評估等工作提供科學依據.

2）在對SOC系統(tǒng)的研究中，擾動因素是一直被忽視的.國內外各類有關SOC系統(tǒng)的研究多是在微擾動的情況下完成的[2，5，19-20]，而對其在變擾動情況下的性質如何變化卻鮮有研究，但在實際的自然界中，有關變擾動的自然現象卻是十分常見的，如災變事件的擾動強度變化范圍可能會達到幾個數量級.據此，首次開展了不同擾動強度下（不同峰值加速度）的振動臺沙堆模型實驗，并得知顆粒失穩(wěn)由相互作用占主導地位向振動驅動下各自獨立下落的轉化是導致Cν減小的物理機制，這種物理機制的變化是造成沙堆模型統(tǒng)計特性轉變的原因.該研究拓展了SOC傳統(tǒng)的災變理論的研究領域.

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