如何探尋遞推關(guān)系

江蘇南通市南通建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)校 楊 忠 (郵編：226000)

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如何探尋遞推關(guān)系

江蘇南通市南通建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)校 楊 忠 (郵編：226000)

概率、排列和數(shù)列都是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，由于三者之間存在內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，在近幾年的高考、自主招生等各類考試中經(jīng)常出現(xiàn)三者交匯題.此類題目以某個(gè)實(shí)際問(wèn)題為背景，以概率或組合問(wèn)題的形式呈現(xiàn)，需要學(xué)生首先找到某項(xiàng)與前幾項(xiàng)之間的遞歸關(guān)系，再由求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和手段求解.在實(shí)際教學(xué)中，筆者注意到解決此類問(wèn)題時(shí)，由遞推數(shù)列求解通項(xiàng)數(shù)列屬于程序性知識(shí)和方法，對(duì)學(xué)生而言不是難點(diǎn).學(xué)生困難之處在于怎樣從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)分析建立數(shù)學(xué)模型，即確定問(wèn)題中存在的遞推關(guān)系，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)薄弱點(diǎn).筆者就這個(gè)問(wèn)題，談?wù)勊伎己托牡?

首先以著名的結(jié)草成環(huán)問(wèn)題為例來(lái)說(shuō)明.

例1 現(xiàn)有n(n∈N*)根草，共有2n個(gè)草頭，現(xiàn)將2n個(gè)草頭平均分成n組，每?jī)蓚€(gè)草頭打結(jié)，求打結(jié)后所有草能構(gòu)成一個(gè)圓環(huán)的打結(jié)方法數(shù).

解析 遞推關(guān)系pn=f(pn-1,pn-2,…,pn-k)本質(zhì)是由pn之前若干項(xiàng)表示出來(lái)，所以分析問(wèn)題時(shí)首先應(yīng)明確目標(biāo)pn為哪個(gè)量，pn-1,pn-2,…,pn-k又相應(yīng)是什么量.

這個(gè)問(wèn)題中，將n根草打結(jié)后所有草能構(gòu)成一個(gè)圓環(huán)的打結(jié)方法數(shù)記為pn，那么將n-1，n-2，…，1根草打結(jié)后所有草能構(gòu)成一個(gè)圓環(huán)的打結(jié)方法數(shù)依次記為pn-1,pn-2,…,p1.

如何求pn，可以先假設(shè)pn-1,pn-2,…,p1是已知或已經(jīng)求得，若有需要這n-1個(gè)量都可以用來(lái)表示pn，然后考慮如何實(shí)現(xiàn)pn對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向pn-1,pn-2,…,p1對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移.

本題中，即考慮如何將pn對(duì)應(yīng)的n根草狀態(tài)向n-1根草狀態(tài)轉(zhuǎn)移，將草頭編號(hào)為1、2、3、……、2n-1、2n.不失一般性，先考慮1號(hào)的打結(jié)，1號(hào)和2號(hào)頭打結(jié)不合題意，1號(hào)和3、…、2n-1、2n共有2n-2個(gè)草頭可以打結(jié)，所以有2n-2個(gè)打法.然后考慮剩余草頭2n-2個(gè)，此時(shí)可以看成n-1根草打結(jié)后所有草能構(gòu)成一個(gè)圓環(huán)情形，其方法數(shù)為pn-1，這樣由分步原理知遞推關(guān)系為pn=(2n-2)pn-1，易得p1=1.

1 直接轉(zhuǎn)移法

將n情形下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移為n-1情形下的相同狀態(tài)，如例1.現(xiàn)再舉一例.

圖1

解析 記M1

2 排除轉(zhuǎn)移法

將n情形下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移為排除n-1情形下的相應(yīng)狀態(tài).

圖2

用這個(gè)結(jié)論解2003年高考江蘇卷：某城市在中心廣場(chǎng)建一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分如圖3，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花且相鄰部分不能同色，由不同的栽種方法有____種.

圖3

只需將圖變形為圓環(huán)形，1區(qū)有4種栽法.不同的栽法數(shù)為

N=4a5=120.

例4(2012全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 8) 某情報(bào)站有A、B、C、D四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種．設(shè)第一周使用A種密碼，那么第7周也使用A種密碼的概率是______(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).

解析 本題與A、B、C、D四人之間傳球問(wèn)題具有相同的數(shù)學(xué)模型.

3 分類轉(zhuǎn)移法

將n情形下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移為n-1情形下的若干不同狀態(tài)，分類討論.

例5A、B兩人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)時(shí)，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)時(shí)，由對(duì)方接著擲.第一次由A開(kāi)始擲，求第n次由A擲的概率.

解析 設(shè)第n次由A擲的概率為pn，第n-1次由A擲的概率為pn-1.

第n次由A擲轉(zhuǎn)化為第n-1次由A擲和由B擲兩種情形，

有時(shí)，需將n情形下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移為n-1、n-2、n-3、…若干階段情形下的若干不同狀態(tài)，分類討論，如下題：

例6(2011年華約自主招生試題) 有一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以pn表示未出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.

(1)求p1、p2、p3和p4；

(3)略.

圖4

解析 這里研究(2),pn表示拋擲n次連續(xù)3次來(lái)出現(xiàn)正面的概率，則pn-1表示拋擲n-1次連續(xù)3次來(lái)出現(xiàn)正面的概率，pn-2表示拋擲n-2次連續(xù)3次出現(xiàn)正面的概率，……依次類推，考察n，n-1，n-2，三個(gè)階段的狀態(tài)如圖4，n次未出現(xiàn)連續(xù)3次正面不可能轉(zhuǎn)化為①；

2015-03-30)