傳遞矩陣法分析平面柔順機(jī)構(gòu)的振動特性*

胡俊峰，郝亞洲，徐貴陽

(江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 贛州， 341000)

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傳遞矩陣法分析平面柔順機(jī)構(gòu)的振動特性*

胡俊峰，郝亞洲，徐貴陽

(江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 贛州， 341000)

為了分析柔順機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能和力學(xué)傳遞關(guān)系，提出一種新型的基于傳遞矩陣法的振動力學(xué)模型。柔順機(jī)構(gòu)由若干個柔性鉸鏈與桿件順序聯(lián)接而成，采用傳遞矩陣法描述其力學(xué)狀態(tài)量的傳遞關(guān)系。將柔性鉸鏈視為拉伸和彎曲變形的彈性梁，應(yīng)用材料力學(xué)理論建立反映其自振性能的傳遞矩陣。將桿件視為剛體，采用動量矩定理建立其動力學(xué)模型，得到描述振動剛體的傳遞矩陣。按照柔順機(jī)構(gòu)的聯(lián)接形式，將每個元件的傳遞矩陣進(jìn)行拼裝，得到系統(tǒng)總傳遞矩陣?？倐鬟f方程以柔順機(jī)構(gòu)的邊界點狀態(tài)矢量為未知變量，矩陣中的元素為機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和頻率的函數(shù)。應(yīng)用邊界條件，可得柔順機(jī)構(gòu)的特征方程，通過求解方程可得系統(tǒng)的固有頻率和振型。將外力納入傳遞矩陣，建立反映外力激勵與系統(tǒng)的關(guān)系的擴(kuò)展傳遞矩陣以求解系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。通過2種常用平面柔順機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能分析，結(jié)果表明所建立模型的正確性，能精確描述柔順機(jī)構(gòu)力學(xué)傳遞關(guān)系。

傳遞矩陣法； 力學(xué)模型； 動態(tài)性能； 平面柔順機(jī)構(gòu)

引 言

目前，高精度、高分辨率的精密微操作平臺在近代尖端科學(xué)研究領(lǐng)域占有極其重要的地位。微操作平臺作為微技術(shù)和機(jī)器人技術(shù)交叉結(jié)合的產(chǎn)物，主要用于精確控制微細(xì)操作。它的操作對象和微動部分的運動范圍極小，可以完成其他機(jī)械無法實現(xiàn)的精細(xì)操作，如對細(xì)胞進(jìn)行融合、存儲、切割等細(xì)胞自動作業(yè)。在用于處理微小物體進(jìn)行微細(xì)定位和加工操作時，微操作平臺系統(tǒng)具有很大的優(yōu)點，在微電子加工、裝配與操作等超精密制造與作業(yè)領(lǐng)域，微操作平臺也有廣闊的應(yīng)用前景[1-4]。

柔順機(jī)構(gòu)是一種利用構(gòu)件的彈性變形傳遞或轉(zhuǎn)換運動、力或能量的新型機(jī)構(gòu)[5-7]，具有運動分辨率高和運動精度高等特點，適宜于作為微操作平臺的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。但是，精密微操作平臺易受外界環(huán)境擾動，為了消除外界環(huán)境的擾動，需要建立振動力學(xué)模型并對其動態(tài)性能進(jìn)行分析。目前，建立柔順機(jī)構(gòu)的力學(xué)模型的方法主要為偽剛體法和有限元法。偽剛體法是將柔性鉸鏈作為傳統(tǒng)運動副并采用傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)分析方法分析其力學(xué)性能，該方法適宜于描述柔順機(jī)構(gòu)的靜態(tài)力學(xué)性能，同時該方法視鉸鏈為理想鉸鏈[7-9]，所以其計算精度低。有限元法是將柔順機(jī)構(gòu)柔性鉸鏈和桿件劃分為按一定方式相互聯(lián)結(jié)的單元，具有多個自由度，所以采用有限元法描述柔順機(jī)構(gòu)力學(xué)性能精度高，但計算量大，計算效率低，適宜于描述柔順機(jī)構(gòu)的靜態(tài)和動態(tài)性能，但不便于分析機(jī)構(gòu)參數(shù)與其性能之間的關(guān)系。

由于柔順機(jī)構(gòu)是復(fù)雜多剛-柔體系統(tǒng)，涉及矩陣階次高、計算工作量大、計算出現(xiàn)“病態(tài)”的問題[10]，而傳遞矩陣法具有無需系統(tǒng)的總體動力學(xué)方程、涉及的矩陣階次低、建模靈活、程式化程度高等特點[11-12]。傳遞矩陣法通過拼裝各個元件的傳遞矩陣得到系統(tǒng)的總傳遞矩陣，再利用邊界條件得到系統(tǒng)的特征方程，對其求解得到系統(tǒng)的固有振動特性，所以傳遞矩陣法適宜于建立柔順機(jī)構(gòu)的振動力學(xué)模型。傳遞矩陣法根據(jù)動態(tài)響應(yīng)的解析解導(dǎo)出的傳遞矩陣可精確描述柔順機(jī)構(gòu)的振動特性并得到其動態(tài)響應(yīng)的精確解。與有限元法[13]和偽剛體法相比，傳遞矩陣法所建立的模型具有精確、簡明、計算量小、物理意義清晰等特點。

筆者根據(jù)柔順機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，將柔順機(jī)構(gòu)分為2種元件，一種元件是直梁式柔性鉸鏈，另一種元件為平面振動剛體，分別建立它們的傳遞矩陣，并得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

1 柔順機(jī)構(gòu)振動力學(xué)模型

采用傳遞矩陣法建立柔順機(jī)構(gòu)的振動力學(xué)模型的主要思想是：將機(jī)構(gòu)分解成易于用矩陣形式表達(dá)的簡單力學(xué)特征元件。將每個元件按照它們相互之間的聯(lián)接關(guān)系拼裝得到整個系統(tǒng)的動力學(xué)方程。根據(jù)柔順機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，柔順機(jī)構(gòu)是由柔性鉸鏈與桿件相互聯(lián)接而成，分別建立柔性鉸鏈與桿件的力學(xué)模型。假設(shè)柔順機(jī)構(gòu)是由直梁式柔性鉸鏈和視為剛體的桿件構(gòu)成，下面分別分析2種元件的傳遞矩陣。

1.1 直梁型柔性鉸鏈傳遞矩陣

考慮直梁型柔性鉸鏈尺寸較小，忽略其質(zhì)量，同時在平面柔順機(jī)構(gòu)中，柔性鉸鏈主要是縱向和橫向振動，所以將其作為具有拉伸和彎曲變形的彈性梁。如圖1所示，柔性鉸鏈在縱向(x方向)和橫向(y方向)振動，柔性鉸鏈中任一點的狀態(tài)矢量元素包括該點狀態(tài)變量的位移與內(nèi)力。設(shè)柔性鉸鏈輸入端與輸出端的狀態(tài)矢量分別為

(1)

其中：xh,I,yh,I,θh,I分別為鉸鏈輸入端的位移和轉(zhuǎn)角；xh,O,yh,O,θh,O分別為鉸鏈輸出端的位移和轉(zhuǎn)角；Mh,zI,Fh,xI,Fh,yI分別為鉸鏈在輸入端所受力和力矩；Mh,zO,Fh,xO,Fh,yO分別為鉸鏈在輸出端所受力和力矩。

定義柔性鉸鏈的傳遞矩陣為其兩端截面上的內(nèi)力與位移的關(guān)系

Zh,O=UhZh,I

(2)

由柔性鉸鏈平衡條件可知，力與力矩矢量和為零

(3)

其中：lh為鉸鏈長度。

由材料力學(xué)可知，柔性鉸鏈軸向變形[14]為

Δl=xh,O-xh,I=Fh,xIlh/EA

(4)

在柔性鉸鏈x處的轉(zhuǎn)角和變形為

(5)

其中：M(x)為在x處截面彎矩；C和D為積分常數(shù)，它們可由邊界條件求得。

邊界條件可表示為

(6)

由圖1所示，采用截面法的截面彎矩可表示為

M(x)=Mh,zI+Fh,yIx

(7)

聯(lián)合式(5)～式(7)可得柔性鉸鏈輸出端與輸入端轉(zhuǎn)角與位移的關(guān)系為

(8)

其中：E為彈性模量；A和I分別為柔性鉸鏈的截面面積和慣性矩。

聯(lián)合式(1)～式(4)和式(8)可得直梁型柔性鉸鏈傳遞矩陣

(9)

由式(9)可知，柔性鉸鏈的傳遞矩陣與其長度、截面慣性矩和彈性模量有關(guān)，反映了柔性鉸鏈的自振性能。

圖1 直梁型柔性鉸鏈模型

1.2 平面振動剛體傳遞矩陣

由于構(gòu)成柔順機(jī)構(gòu)的桿件相對于柔性鉸鏈尺寸較大，變形小，可視為平面振動剛體。定義桿件的輸入點與輸出點的狀態(tài)矢量分別為

(10)

表示剛體輸入與輸出關(guān)系的運動微分方程，可得在頻域中的平面振動剛體的傳遞矩陣

Zr,O=UrZr,I

(11)

如圖2所示，一端輸入一端輸出平面振動剛體，質(zhì)量為m，建立以輸入點I為坐標(biāo)原點的局部坐標(biāo)系Ixy，剛體相對于點I的轉(zhuǎn)動慣量為JI，輸出點O的坐標(biāo)為(bx,by)，質(zhì)心C點的坐標(biāo)為(cx,cy)。根據(jù)輸出點O與輸入點I的幾何關(guān)系，輸出點O的轉(zhuǎn)角與輸入點I的轉(zhuǎn)角相同，輸出點O位移為

(12)

因轉(zhuǎn)動的角度θr,I很小(θr,I?1)，則sinθr,I≈θr,I，cosθr,I≈1。所以，式(12)可寫為

(13)

同理，可得質(zhì)心C點的位移

(14)

根據(jù)質(zhì)心運動定理和活動矩心絕對動量矩定理，可得平面振動剛體的動力學(xué)方程

(15)

聯(lián)合式(12)和式(15)可得平面振動剛體的傳遞矩陣為

(16)

由式(16)可知，平面振動剛體的傳遞矩陣與桿件輸出端和質(zhì)心位置、質(zhì)量、繞輸入端的轉(zhuǎn)動慣量及振動頻率有關(guān)，反映了桿件的振動性能。

圖2 平面振動剛體模型

1.3 坐標(biāo)變換矩陣

基于大數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的智能變電站故障追蹤架構(gòu)//王磊,陳青,高洪雨,馬志廣,張艷杰,何登森//(3):84

(17)

其中：Ri為元件i的坐標(biāo)變換矩陣。

研究平面柔順機(jī)構(gòu)振動時，若元件i狀態(tài)矢量的形式表示為

(18)

(19)

將式(17)代入式(19)可得元件i在全局坐標(biāo)系下的傳遞矩陣

(20)

圖3 坐標(biāo)變換

1.4 系統(tǒng)傳遞方程

如圖4所示，設(shè)柔順機(jī)構(gòu)由n個元件(鉸鏈和剛體)和n+1個聯(lián)接點和邊界點組成，Z1,I，Zn,O為邊界點的狀態(tài)矢量。

n個元件在全局坐標(biāo)系下的傳遞方程分別為

(21)

由于元件1的輸出是元件2的輸入，依次類推，第i-1個元件的輸出是元件i的輸入，所以，系統(tǒng)的傳遞方程可以表示為

Zn,O=UZ1,I

(22)

其中

U=UnUn-1…Ui…U2U1

(23)

圖4 柔順機(jī)構(gòu)總傳遞矩陣示意圖

2 柔順機(jī)構(gòu)動態(tài)性能分析2.1 固有頻率分析

采用系統(tǒng)的傳遞矩陣求解柔順機(jī)構(gòu)的固有頻率。系統(tǒng)的傳遞矩陣的元素均為系統(tǒng)固有頻率的函數(shù)。由式(22)表示的6個線性方程，應(yīng)用邊界條件，其中3個齊次方程可寫為

(24)

Δ=det(U′)=0

(25)

則Δ是關(guān)于ω的多項式函數(shù)，計算其根即為系統(tǒng)的固有頻率。對每階固有頻率，可求解總傳遞方程得到系統(tǒng)邊界點的狀態(tài)矢量，利用每個元件傳遞矩陣得到系統(tǒng)每點的狀態(tài)矢量和系統(tǒng)振型。

2.2 頻率響應(yīng)分析

采用傳遞矩陣法求解系統(tǒng)固有頻率和振型后，可求解任意激勵下柔順機(jī)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)。設(shè)柔順機(jī)構(gòu)受頻率為ω的簡諧激勵力，柔順機(jī)構(gòu)輸出將以同樣的頻率ω作簡諧振動，可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。當(dāng)ω=0所得出的響應(yīng)為其靜態(tài)響應(yīng)。

為了將柔順機(jī)構(gòu)所受的外力納入到傳遞矩陣，定義擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)矢量為

(26)

設(shè)柔性鉸鏈處無外力作用，則對應(yīng)于柔性鉸鏈的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)矢量的擴(kuò)展傳遞矩陣為

(27)

圖5 平面振動剛體受力圖

如圖5所示，設(shè)在桿件某點(x,y)處受集中力和集中力矩，根據(jù)桿件的動力學(xué)方程可得

(28)

聯(lián)合式(28)和式(26)可得桿件的擴(kuò)展傳遞矩陣為

(29)

同理，由元件的傳遞方程得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動的總傳遞方程為

(30)

(31)

其中

利用邊界條件，則可以得到柔順機(jī)構(gòu)輸入端的狀態(tài)矢量與外力及頻率的關(guān)系，利用各個元件的傳遞矩陣就可得任何點的位移簡諧響應(yīng)。

3 算 例

3.1 導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)

如圖6所示，導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)由導(dǎo)向梁和導(dǎo)向塊組成，導(dǎo)向梁相對于導(dǎo)向塊尺寸較小，視為直梁式柔性鉸鏈，導(dǎo)向塊為剛體。元件傳遞關(guān)系為1→2→3，可分別得出導(dǎo)向梁和導(dǎo)向塊的傳遞矩陣，并根據(jù)各個構(gòu)件的聯(lián)接形式，則可得到整個系統(tǒng)總傳遞矩陣，可得元件1輸入端和3輸出端的狀態(tài)矢量分別為

(32)

材料彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7 850 kg/m3。Lg，tg和bg分別為導(dǎo)向梁的長度、厚度和寬度，它們分別為10，0.5和2 mm。導(dǎo)向塊的長度、厚度和寬度分別為5，30和10 mm。

利用式(25)可求出導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的固有頻率，為了研究分析柔性鉸鏈參數(shù)對其固有頻率的影響，各參數(shù)范圍為Lg∈[5 20]mm，tg∈[0.1 2]mm和bg∈[1 10]mm，由于各個參數(shù)范圍不一樣，為了能比較分析，將它們進(jìn)行歸一化處理。圖7表示導(dǎo)向機(jī)構(gòu)固有頻率與鉸鏈參數(shù)之間的關(guān)系，由圖可以看出，Lg和tg對導(dǎo)向機(jī)構(gòu)影響較大，但bg對其影響較小，而且隨Lg增大而減小，隨tg增大而增大。分析結(jié)果符合導(dǎo)向機(jī)構(gòu)工作特點，表明模型的正確性。

為了研究分析導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的振型，將第1階固有頻率代入各個元件的傳遞矩陣，并利用邊界條件，可得各個點位移，將各個位移描繪可得如圖8所示第1階振型，實線表示機(jī)構(gòu)靜止時的狀態(tài)，虛線表示系統(tǒng)的振型。由圖可知，第1階振型為沿y方向振動，與ANSYS模態(tài)分析的結(jié)果一致，說明所建立的模型的正確性。

為了分析導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)的頻率響應(yīng)，設(shè)作用于如圖6所示的輸入力Fg=sinωt，頻率范圍為ω∈[102105]rad/s。根據(jù)系統(tǒng)的擴(kuò)展總傳遞矩陣可得導(dǎo)向塊沿y方向的位移簡諧穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由此可得由輸入力到輸出位移的幅頻響應(yīng)曲線如圖9所示。由圖可知，當(dāng)系統(tǒng)的激勵頻率接近于其固有頻率，系統(tǒng)發(fā)生共振，說明所建立模型能精確反映導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能。

圖6 導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)

圖7 導(dǎo)向機(jī)構(gòu)固有頻率與鉸鏈參數(shù)之間關(guān)系

圖8 導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)第1階振型

圖9 導(dǎo)向機(jī)構(gòu)幅頻特性

3.2 橋式柔順機(jī)構(gòu)

橋式柔順機(jī)構(gòu)如圖10所示，其采用橋式結(jié)構(gòu)對進(jìn)行位移放大，是一種常用的放大機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)由柔性鉸鏈和桿件1,2及輸出平臺組成。設(shè)柔性鉸鏈長、寬和高分別為3，10，0.6 mm，桿件1長和高分別為8，2 mm，桿件2長和高分別為18，7 mm，輸出平臺的長和高分別為8，3 mm。圖11表示橋式柔順機(jī)構(gòu)的聯(lián)接形式，元件傳遞關(guān)系為1→2→…→15。其中，元件1,3,…,13,15為直梁式柔性鉸鏈，元件2,4,…,12,14為振動剛體，可分別建立它們的傳遞矩陣，系統(tǒng)的邊界條件為

圖10 橋式柔順機(jī)構(gòu)

圖11 橋式柔順機(jī)構(gòu)聯(lián)接形式

(33)

橋式柔順機(jī)構(gòu)的輸入與輸出之間關(guān)系為

(34)

由邊界條件，可求機(jī)構(gòu)的固有頻率和頻率響應(yīng)。通過求解橋式柔順機(jī)構(gòu)的特征方程可得系統(tǒng)的第1和2階固有頻率分別為1 516.6，4 263.2 rad/s。為了分析橋式柔順機(jī)構(gòu)的頻率響應(yīng)，設(shè)作用于如圖11所示的輸入力F=sinωt，其頻率范圍為ω∈[101104]rad/s。根據(jù)系統(tǒng)的擴(kuò)展總傳遞矩陣可得輸出平臺沿x和y方向的位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由此可得由輸入力到輸出位移的幅頻響應(yīng)曲線，如圖12所示。由圖可知，當(dāng)機(jī)構(gòu)的激勵頻率接近于其固有頻率時位移最大，y方向位移比x方向位移大，說明所建立模型能精確反映該機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能。

圖12 橋式柔順機(jī)構(gòu)幅頻特性Fig.12 The amplitude-frequency characteristic of bridge compliant mechanism

利用所推導(dǎo)出的擴(kuò)展傳遞矩陣，可以對柔順機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜態(tài)性能分析，即設(shè)ω=0，在單位力F=1作用下，利用傳遞矩陣的特點，可計算輸入端與輸出端的位移以及機(jī)構(gòu)的放大倍數(shù)λ，結(jié)果為3.34，有限元ANSYS計算結(jié)果為3.67。兩者計算的結(jié)果接近，表明理論模型的正確性。

4 結(jié) 論

1) 建立直梁型柔性鉸鏈和桿件的傳遞矩陣，根據(jù)柔順機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，建立平面柔順機(jī)構(gòu)總傳遞矩陣，并利用邊界條件建立系統(tǒng)的特征方程求解系統(tǒng)固有頻率和振型。

2) 為了分析柔順機(jī)構(gòu)的頻率響應(yīng)，引入元件的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)和擴(kuò)展傳遞矩陣，將外力納入傳遞矩陣，可求解系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

3) 對2種常用的平面柔順機(jī)構(gòu)進(jìn)行動態(tài)性能分析，表明了所建立的動態(tài)模型的正確性。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.06.023

*國家自然科學(xué)基金資助項目(51265016)；江西省教育廳科技資助項目(GJJ12358)；江西省自然科學(xué)基金資助項目(20122BAB216029)

2013-11-10；

2014-04-22

TH703; TP274

胡俊峰,男， 1978年10月生，副教授。主要研究方向為柔順機(jī)構(gòu)和結(jié)構(gòu)動力學(xué)與控制。曾發(fā)表《3自由度精密定位平臺的運動特性和優(yōu)化設(shè)計》(《光學(xué)精密工程》2012年第20卷第12期)等論文。 E-mail: hjfsuper@126.com