滾珠絲杠傳動(dòng)特性與剛度特性研究

□ 王 琦 □ 趙 飛 □ 張 馳 □ 謝質(zhì)彬

1.中國(guó)科學(xué)院 寧波材料技術(shù)與工程研究所 浙江寧波 315201

2.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院 浙江寧波 315211

滾珠絲杠是實(shí)現(xiàn)直線和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相互轉(zhuǎn)換的重要部件，一般由絲杠、螺母、滾珠、回珠器等構(gòu)成，其傳動(dòng)具有平穩(wěn)、效率高、精度高、負(fù)載能力強(qiáng)、壽命長(zhǎng)等特點(diǎn)，因此在機(jī)床直線進(jìn)給系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用。然而，隨著數(shù)控機(jī)床向高精度、高速度方向的發(fā)展，使絲杠-滾珠-螺母在運(yùn)動(dòng)傳遞過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)狀態(tài)參數(shù)變得復(fù)雜，影響到滾珠絲杠運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性［1］。Chin Chung Wei等［2］，對(duì)滾珠絲杠傳動(dòng)過(guò)程中各部件間的相對(duì)速度、摩擦力、效率、滑動(dòng)速度等進(jìn)行了分析，指出了滾珠絲杠的接觸角、變形等在外力影響時(shí)的變化規(guī)律。Yang T C等［3］利用第二類(lèi)拉格朗日方程，建立滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)絲杠螺母的接觸剛度等進(jìn)行了研究。筆者通過(guò)對(duì)滾珠絲杠的傳動(dòng)特性和剛度特性的研究，重點(diǎn)分析了影響傳動(dòng)精度的因素，滾珠與螺母和絲杠接觸點(diǎn)速度偏差對(duì)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性的影響，以及螺旋升角、接觸角、負(fù)載變化等參數(shù)與接觸變形的關(guān)系。

1 滾珠絲杠傳動(dòng)特性

1.1 滾珠絲杠傳動(dòng)精度影響因素

在絲杠旋轉(zhuǎn)使?jié)L珠推動(dòng)螺母運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，滾珠產(chǎn)生繞絲杠的公轉(zhuǎn)和自身在滾道中的自旋運(yùn)動(dòng)。在絲杠-滾珠-螺母的運(yùn)動(dòng)傳遞過(guò)程中，絲杠、滾珠、螺母間將產(chǎn)生接觸彈性變形。將絲杠、螺母、滾珠作為剛體，對(duì)其空間運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行建模，如圖1所示，建立相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，并對(duì)其空間運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述。在此，建立3個(gè)空間坐標(biāo)系。

第一坐標(biāo)系X′（x′，y′，z′）的 Z′軸與滾珠絲杠的軸線重合，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在軸線與滾珠絲杠某一橫截面的交點(diǎn)處，X′Y′平面與該橫截面重合，用于描述各零部件的相對(duì)空間位置。第二坐標(biāo)系X（x，y，z）用于描述滾珠絲杠繞軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，第一、二坐標(biāo)系間相差角度Ω。按照剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)，由第二坐標(biāo)系X到第一坐標(biāo)系X′的變換為：

▲圖1 滾珠絲杠零部件相對(duì)位置坐標(biāo)系

式中：cΩ=cosΩ，sΩ=sinΩ，以下各處均采用相同標(biāo)記。

假設(shè)滾道內(nèi)其中一個(gè)滾珠沿滾道在X坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)了θ角，根據(jù)式（1）可知，滾珠球心與X坐標(biāo)系原點(diǎn)構(gòu)成的矢量坐標(biāo)在絕對(duì)坐標(biāo)系X′下的坐標(biāo)為：

式中：tanα=L/（2πrm），rm為滾珠絲杠的公稱(chēng)半徑； L 為滾珠絲杠導(dǎo)程；α為滾道的螺旋升角。

定義 Frenet坐標(biāo)系 Y（t，n，b），如圖 1 所示，T 軸沿滾道的切向，NB平面位于滾道的截面，N軸指向球心方向坐標(biāo)系X與坐標(biāo)系Y間的歐拉角為［π/2，α，θ］。因此，坐標(biāo)系X與坐標(biāo)系Y間的坐標(biāo)變換關(guān)系為：

由于滾道的限制，滾珠只能沿滾道在Y坐標(biāo)系的T方向運(yùn)動(dòng)，受驅(qū)動(dòng)力與負(fù)載的作用，滾珠、螺母和絲杠均會(huì)產(chǎn)生接觸變形，滾珠與絲杠和螺母的接觸形式如圖2所示。假設(shè)變形僅會(huì)改變絲杠的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度和螺母在絕對(duì)坐標(biāo)系下Ptz=0的位置，而不會(huì)改變滾珠球心在Y坐標(biāo)系中的位置?？紤]滾珠的接觸變形δj（j=A，B），絲杠與滾珠接觸點(diǎn)在Frenet坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為:

▲圖2 滾珠與絲杠和螺母的接觸形式

同樣，螺母與滾珠接觸點(diǎn)在Frenet坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為:

式中：βi（i=A，B）為接觸矢量與坐標(biāo)軸N間構(gòu)成的接觸角；rb為滾珠半徑。

對(duì)式（4）、式（5）進(jìn)行坐標(biāo)變換，可知接觸點(diǎn) A、B在絕對(duì)坐標(biāo)系X′下的坐標(biāo)分別為:

由式（6）、式（7）可知，螺母和絲杠間的相對(duì)位置將因接觸變形而發(fā)生變化，因此在運(yùn)動(dòng)傳遞過(guò)程中，動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度將受負(fù)載波動(dòng)及驅(qū)動(dòng)力變化的影響，而靜態(tài)定位精度及重復(fù)定位精度不會(huì)受到影響。在動(dòng)態(tài)傳動(dòng)過(guò)程中，滾珠絲杠的傳動(dòng)精度將受接觸變形、接觸角、螺旋升角、滾珠半徑、絲杠半徑、導(dǎo)程等參數(shù)的影響。

1.2 傳動(dòng)過(guò)程速度分析

在滾珠絲杠運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換過(guò)程中，由于驅(qū)動(dòng)力波動(dòng)，制造誤差等因素會(huì)造成滾珠受力幅值的變化，從而導(dǎo)致工作臺(tái)速度的波動(dòng)。同時(shí)，在運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換過(guò)程中，滾珠不僅有繞絲杠的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，還有自身繞球心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。設(shè)其自旋運(yùn)動(dòng)的角速度為 ω=［ωtωnωb］T， 其中 ωi（i=t，n，b）為滾珠繞 Y 坐標(biāo)系的 T、N、B 各軸旋轉(zhuǎn)的角速度。

在X′坐標(biāo)系下，滾珠（上）與絲杠接觸點(diǎn)Bb的速度為：

顯然，式（8）和式（9）并不相等，因此，在接觸點(diǎn) B處絲杠和滾珠間必然存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)。由于滾珠繞T坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)速度幾乎為0，可以忽略不計(jì)。則接觸點(diǎn)B處絲杠和滾珠間相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為：

其中：

同樣，螺母和滾珠的接觸點(diǎn)A處也存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為：

由式（10）、式（11）知，絲杠和螺母間存在速度偏差，速度偏差與接觸角、滾珠半徑、螺旋升角絲杠半徑等相關(guān)。速度偏差的存在，使?jié)L珠絲杠在傳動(dòng)過(guò)程中，工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)不平穩(wěn)，出現(xiàn)位置波動(dòng)，不僅對(duì)動(dòng)態(tài)定位精度有影響，還會(huì)加速滾珠絲杠的磨損，影響滾珠絲杠的壽命。因此，減小螺旋升角、增大接觸角以及提高材料的彈性模量等，可以降低絲杠和螺母的速度波動(dòng)，提高滾珠絲杠的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。

2 滾珠絲杠副接觸剛度

2.1 滾珠絲杠副接觸變形

2.1.1 接觸力分析

▲圖3 滾珠絲杠-滾珠-螺母接觸力分析

滾珠絲杠副的滾珠與螺母、絲杠的接觸問(wèn)題可以視為典型的滾動(dòng)接觸問(wèn)題，利用赫茲接觸理論進(jìn)行分析。接觸點(diǎn)中心位于NB平面，如圖 3所示，在運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換過(guò)程中，滾道中的滾珠承受4個(gè)外力，分別為與絲杠接觸產(chǎn)生的接觸變形力qA和摩擦力fA，與螺母接觸產(chǎn)生的接觸變形力qB和摩擦力fB。假設(shè)在NB平面內(nèi)，滾珠與絲杠接觸點(diǎn)處的摩擦角為φA，與螺母接觸點(diǎn)處的摩擦角為φB，則滾珠所受外力在T、N和B方向的分力分別為：

對(duì)滾珠的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，獲得滾珠質(zhì)量m在各方向的加速度，通過(guò)牛頓第二定律，獲得滾珠在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的外力為：

假設(shè)與螺母固連的工作臺(tái)上受一外力Fa，不考慮制造誤差等影響，則外力Fa將被平均分配到滾道中的每一個(gè)滾珠體上，在滾珠與絲杠和螺母接觸點(diǎn)處的受力平衡方程分別為：

式中：z為滾道中滾珠的個(gè)數(shù)。

2.1.2 接觸變形分析

滾珠絲杠副滾珠與絲杠、螺母的接觸情況可以視為球軸承接觸情況并對(duì)其進(jìn)行分析。滾動(dòng)接觸分析模型可以視為兩個(gè)相互接觸的半球體，如圖4所示，由赫茲接觸理論可知，在此情形下的接觸區(qū)域形狀為一橢圓。假設(shè)兩個(gè)半球體分別受大小相等的外力P的作用，在同一個(gè)平面內(nèi)，兩個(gè)半球體通過(guò)接觸點(diǎn)的主曲率和曲率半徑與未受外部載荷時(shí)的主曲率與曲率半徑相同，在XZ平面和YZ平面內(nèi)的接觸點(diǎn)處的相對(duì)曲率分別通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算。

式中：rix、rjy分別為半球體i、j在XZ平面和YZ平面內(nèi)的曲率半徑。

相互接觸兩個(gè)半球形成的接觸區(qū)的有效半徑比γ和橢圓度κ為：

式中：a、b分別為橢圓形接觸區(qū)域在XZ平面和YZ平面內(nèi)的半徑。

在滾珠絲杠副接觸情形下，滾珠與滾道的接觸為凸-凹的接觸形式，接觸區(qū)曲率和為：

▲圖4 滾珠絲杠接觸模型

按照赫茲接觸理論［4］，接觸變形δ與法向接觸力P的關(guān)系為

已知 ζ、ξ、κ 的最優(yōu)估計(jì)方程［5］，將式（14）及最優(yōu)估計(jì)方程代入式（20），則變形與法向正壓力Fa的關(guān)系為：

由式（15）可知，螺母與絲杠接觸的法向接觸力不僅與絲杠螺母接觸的法向接觸力相關(guān)，還與滾珠、絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)速度相關(guān)。

滾珠與螺母、絲杠接觸產(chǎn)生的變形在絲杠軸向的投影為：

以作用力F與變形δz′的商定義為滾珠絲杠軸向接觸剛度［6］：

則滾珠絲杠副的軸向接觸剛度將是一與外部負(fù)載、絲杠及滾珠轉(zhuǎn)速、接觸角、螺旋升角及材料特性等相關(guān)的非線性參數(shù)。

2.2 接觸剛度仿真

由式（21）可知，接觸變形與滾珠絲杠副的螺旋升角α、滾珠與絲杠接觸角βA、滾珠數(shù)量 z、曲率和R等結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)，并受相互接觸兩結(jié)構(gòu)的等效彈性模量E和等效泊松比γ的影響，變形隨外部負(fù)載力的變化呈現(xiàn)出非線性變化。因此，滾珠絲杠副接觸剛度將會(huì)因上述參數(shù)的變化而發(fā)生變化。為研究接觸剛度特性，筆者對(duì)上述參數(shù)中螺旋升角α、接觸角βA及負(fù)載變化導(dǎo)致的滾珠絲杠副接觸剛度變化進(jìn)行仿真分析。

2.2.1 負(fù)載對(duì)接觸剛度的影響

對(duì)滾珠絲杠副接觸剛度進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其具體參數(shù)見(jiàn)表1。由于螺母與滾珠間的接觸變形與運(yùn)行速度等相關(guān)，因此，此處僅考慮絲杠與滾珠接觸來(lái)探討接觸剛度K與負(fù)載力F的關(guān)系。以MATLAB2008作為數(shù)值計(jì)算工具，以周期力 F=A［1+sin（ωft）］作為激勵(lì)對(duì)其進(jìn)行仿真計(jì)算，在此設(shè)定周期力周期ωf=20 Hz，幅值A(chǔ)=1 000 N，t為時(shí)間,s。仿真結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，所計(jì)算的滾珠絲杠副接觸剛度幅值在108N/m量級(jí)，隨外部載荷的增加，滾珠絲杠副的接觸剛度將變大。在前半段剛度隨力的增加幅度較大，在后半段增加幅度放緩。這是由于隨著外部載荷的增加，接觸變形變大，滾珠和絲杠（螺母）接觸區(qū)域的面積也增大，增加的幅度隨力的增加而逐漸放緩。因此，可以通過(guò)在絲杠和螺母間施加一定幅度的預(yù)緊力，以減小由于接觸變形對(duì)滾珠絲杠運(yùn)動(dòng)精度帶來(lái)的影響。

2.2.2 接觸角和螺旋升角對(duì)變形的影響

由式（21）可知，滾珠絲杠副的彈性變形量與螺旋升角及接觸角相關(guān)。在實(shí)際選擇滾珠絲杠副時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)高速傳動(dòng)，通常會(huì)選用較大導(dǎo)程的絲杠。螺旋升角與絲杠導(dǎo)程直接相關(guān)，因此忽略了導(dǎo)程對(duì)滾珠絲杠副運(yùn)動(dòng)特性的影響。另外，滾珠與絲杠和螺母的接觸角極易受使用環(huán)境及安裝狀態(tài)的影響?；谝陨峡紤]，針對(duì)接觸角和螺旋升角對(duì)滾珠絲杠接觸變形的影響進(jìn)行分析。

表1 滾珠絲杠仿真模型結(jié)構(gòu)參數(shù)

▲圖5 滾珠絲杠接觸剛度與負(fù)載力的關(guān)系圖

▲圖6 螺旋升角與變形量的關(guān)系

▲圖7 接觸角與變形量的關(guān)系

基于表1參數(shù)，以步長(zhǎng)1°改變螺旋升角，得到的變形量與螺旋升角的關(guān)系如圖6所示。絲杠一邊變形量隨螺旋升角的增大而增大。螺旋升角增大9°，變形量增加1.2×10-9m。由螺旋升角變化引起的變形量值較小，在實(shí)際選擇滾珠絲杠時(shí)可以忽略。

以步長(zhǎng)5°改變接觸角得到變形量與接觸角的關(guān)系如圖7所示。隨著接觸角的增大，絲杠與滾珠的接觸變形在0～30°范圍內(nèi)減小較快，在＞30°范圍內(nèi)減小放緩。接觸角從5°增加到50°，接觸變形量降低了3×10-7m。因此，在選型及安裝過(guò)程中，選擇滾珠絲杠副的接觸角＞30°，可以明顯降低接觸變形。

3 結(jié)論

將絲杠、螺母、滾珠作為剛體，對(duì)其空間運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行建模，分析了在動(dòng)態(tài)傳動(dòng)過(guò)程中接觸變形、接觸角、螺旋升角、滾珠半徑、絲杠半徑、導(dǎo)程等參數(shù)會(huì)影響滾珠絲杠的傳動(dòng)精度。滾珠與螺母和絲杠接觸點(diǎn)的速度偏差會(huì)影響絲杠運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。減小螺旋升角，增大接觸角以及提高材料的彈性模量等，可以有效降低絲杠和螺母的速度波動(dòng)，提高滾珠絲杠的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。另外，可以通過(guò)在絲杠和螺母間施加一定幅度的預(yù)緊力，來(lái)減小由于接觸變形對(duì)滾珠絲杠運(yùn)動(dòng)精度帶來(lái)的影響。在選型及安裝過(guò)程中，通過(guò)選擇滾珠絲杠副的接觸角＞30°，可以明顯降低接觸變形。

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