巧用函數(shù)之力 追溯不等式之本質(zhì)
——例談函數(shù)構(gòu)造的幾個策略

●廖愛國 (云和中學(xué) 浙江云和 323600)

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巧用函數(shù)之力 追溯不等式之本質(zhì)
——例談函數(shù)構(gòu)造的幾個策略

●廖愛國 (云和中學(xué) 浙江云和 323600)

函數(shù)可以說是整個高中數(shù)學(xué)知識體系的一個靈魂，它就像一根紅線貫穿整個高中數(shù)學(xué).函數(shù)與方程、不等式問題緊密聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化.函數(shù)與方程思想是新課標(biāo)要求的一種重要數(shù)學(xué)思想方法，而函數(shù)構(gòu)造是運用數(shù)學(xué)的基本思想方法，通過理解題意，深入分析問題的本質(zhì)，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題.函數(shù)構(gòu)造的形成過程充分體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng).縱觀近幾年各地數(shù)學(xué)高考試題,在函數(shù)壓軸題中對構(gòu)造新函數(shù)方法有較多考查.對此類問題，如何根據(jù)題目特點構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來解決問題是解題難點，筆者結(jié)合高考試題和平時教學(xué)體會，探尋函數(shù)構(gòu)造策略，以期拋磚引玉.

1 直接構(gòu)造法

構(gòu)造函數(shù)最常用的方法就是作差法構(gòu)造函數(shù)與變量分離法構(gòu)造函數(shù)，它能解決函數(shù)中很多與方程、不等式等相關(guān)問題，是函數(shù)構(gòu)造中最重要的思路.

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).設(shè)曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2.

1)求a,b,c,d的值；

2)若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

(2013年全國新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析 第1)小題略.第2)小題是函數(shù)中最常見的含參數(shù)恒成立問題，也是近幾年數(shù)學(xué)高考和模擬卷中的常見題型，求解策略是變量分離法和作差法構(gòu)造函數(shù).

解法1 變量分離法構(gòu)造函數(shù).

由題意知，x2+4x+2≤2k·ex(x+1)對任意x≥-2恒成立，可分為3類：

則

因此，當(dāng)x∈(-1,0)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,于是

2k≥h(x)max=h(0)=2,

得

k≥1.

②當(dāng)x=-1時，左邊=-1≤0=右邊，f(x)≤kg(x)恒成立；

2k≤h(x)min=h(-2)=2e2，

得

k≤e2，

綜上可知：1≤k≤e2.

解法2 作差法構(gòu)造函數(shù).

構(gòu)造函數(shù)

h(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，

由h(0)≥0和h(-2)≥0得1≤k≤e2.又h′(x)=2(x+2)(kex-1)，令h′(x)=0，得x1=-2,x2=-lnk.

①當(dāng)k∈[1,e2)時，lnk∈[0,2).當(dāng)x∈[-2,-lnk)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(-lnk,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，從而

kg(x)-f(x)≥h(x)min=h(-lnk)=

-lnk(lnk-2)≥0

恒成立，因此當(dāng)k∈[1,e2)時，滿足題意.

②當(dāng)k=e2時，x∈(-2,+∞),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，從而

kg(x)-f(x)≥h(x)min=h(-2)=0，

因此當(dāng)k=e2時，滿足題意.

綜上可知：1≤k≤e2.

評析 解法1變量分離法構(gòu)造函數(shù)的目的在于把含參變量的問題轉(zhuǎn)化為無參變量的函數(shù)最值問題，從而避開對參變量的分類討論，這是此類問題優(yōu)先考慮的重要方法；解法2作差法構(gòu)造函數(shù)思想方法常規(guī)，但若能像本題一樣，先用特例縮小參變量k的取值范圍，再分類討論，則必能事半功倍，決勝考場.對這種思維的考查是近幾年高考的熱點之一.

2 轉(zhuǎn)化構(gòu)造法

在解決數(shù)學(xué)問題中常遇到直接構(gòu)造求解困難的情況，此時就要注意觀察式子的特點，巧妙等價轉(zhuǎn)化后，再恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，才能找到突破口.

2.1 減元與主元構(gòu)造法

一杭走到核桃臉?biāo)〉牟》?，輕輕敲了一下門。無人應(yīng)聲。再敲，仍沒有動靜。他推門進去。核桃臉安靜地躺在床上，一臉青紫，手腳微涼，已經(jīng)沒有鼻息。

當(dāng)遇到多元參數(shù)變量問題時，需要選定參變量主次，或適當(dāng)轉(zhuǎn)化進行減元.

1)試求a的值；

2)記函數(shù)F(x)=b·f1(x)-lnf3(x),其中x∈(0,e]，若F(x)的最小值為6，求實數(shù)b的值；

分析 本題是一道信息題，充分理解題意是求解的前提.第1)和第2)小題略，第3)小題是多元函數(shù)問題，選擇不同的角度，就有不同解法，但解題的本質(zhì)都是選擇主元，適當(dāng)變形，構(gòu)造函數(shù).

ex0(x2-x1)-(ex2-ex1)=0,

構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex(x2-x1)-(ex2-ex1)，則

h′(x)=ex(x2-x1)>0,

知h(x)在R上單調(diào)遞增，于是

h(x1)=ex1[(x2-x1)+1-ex2-x1].

令t=x2-x1>0,記m(t)=t+1-et，m(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,m(t)

h(x1)<0.

同理可得h(x2)>0，又h(x)在R上連續(xù)且單調(diào)遞增，從而

x1

h(t)=et-1-t(其中t>0),

則

h′(t)=et-1>0,

從而

h(t)>h(0)=0，

即

于是

得

x0>x1，

同理可得

x2>x0,

即

x1

ex0x2-ex2=ex0x1-ex1.

構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex0x-ex,則

h′(x)=ex0-ex,

知h(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+∞)上單調(diào)遞減.又因為h(x1)=h(x2)，x1

x1

評析 本題第3)小題的多元變量結(jié)構(gòu)整齊，適當(dāng)轉(zhuǎn)化，整體代換，可達(dá)到減元目的，是解題的關(guān)鍵.選定主元進行分析，才能從多變量中解脫出來，抓住重點，解決問題.

2 式子變形

例3 已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=x2-6x+2.

2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2](其中t>0)上的最小值.

評析 本例變形看似簡單，但“變”的巧，這說明解題時，要細(xì)心觀察、大膽嘗試、多想一點就會有所收獲.

1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2008年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

3 放縮法

分析 仔細(xì)觀察式子特點,構(gòu)造函數(shù)

f(x)=ln(x-1)-(x-1)+1.

由于lnx≤x-1，得

ln(x-1)≤x-2，

取x=n2+1，則

2lnn≤n2-1，

即

評析 熟記一些常用不等關(guān)系可以方便解題，如：lnx≤x-1,x+1≤ex等.

綜上可知，構(gòu)造函數(shù)在解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題中有著重要作用，其中蘊含著猜想、探究等重要思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生觀察分析問題的能力，既要強調(diào)通性通法的落實，也要大膽創(chuàng)新，不墨守成規(guī).以上只是筆者的初淺認(rèn)識，不足之處，望加以指正.

[1] 蔣孝國.構(gòu)造函數(shù)在解高考題中的運用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2014(3):25-26.

[2] 翟美鎖.淺談高考中的構(gòu)造函數(shù)法[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(9):42-43.

[3] 劉再平.例談輔助函數(shù)的構(gòu)造方法[J].中等數(shù)學(xué),2013(5):16-18.