習(xí)題教學(xué)中研究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐與思考

●卞國文 (揚(yáng)中高級中學(xué) 江蘇揚(yáng)中 212200)

?

習(xí)題教學(xué)中研究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐與思考

●卞國文 (揚(yáng)中高級中學(xué) 江蘇揚(yáng)中 212200)

我國一直倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)，當(dāng)前的狀況是：有教材，無研討；有課表，不上課；有口號，無行動；有理論，無實(shí)效.在應(yīng)試教育的環(huán)境中，各種教輔資料鋪天蓋地，教師拼命地講，學(xué)生拼命地做，題海戰(zhàn)術(shù)，一輪又一輪，學(xué)生累，教師也累.如果講一題，通一類；做一題，通一遍，從不同視角進(jìn)行習(xí)題教學(xué)，追求解題方法的普適性，疲憊的師生也許能從“題?！敝薪夥懦鰜?也能引導(dǎo)學(xué)生將高中數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，將知識連成線、織成網(wǎng)、鋪成面，積累多種多樣的解題策略，積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，從而提高學(xué)生的思維水平與綜合能力.因此，我們應(yīng)該在習(xí)題教學(xué)中開展研究性學(xué)習(xí).下面介紹一次習(xí)題研究性學(xué)習(xí)的實(shí)例與同行交流.

此題是某市高三質(zhì)量檢測卷中的一道填空題，主要研究平面向量的數(shù)量積，這類問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，也是高考的必考內(nèi)容之一．學(xué)習(xí)和總結(jié)此類問題的解題原則、規(guī)律，對培養(yǎng)邏輯思維能力、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都非常重要．學(xué)生學(xué)習(xí)中除了靈活應(yīng)用基本原理和公式外，還必須講究一些基本策略和方法，抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚恚畬τ谶@樣的好題，如果學(xué)生僅作練習(xí)，教師僅作講評，即使師生鼓掌贊嘆“好題、妙題”，也不可能有多大意義和價值.因?yàn)槲覀儍H停留在試題的欣賞層面，忽視了試題蘊(yùn)藏的教育功能和學(xué)習(xí)功能.學(xué)習(xí)的主要目的在于提高數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

研究結(jié)果 經(jīng)過2天后，有5個研究小組解答了此問題，給出以下5種解法.

視角1 平面向量的基本定理

則

因此

評析 利用平面向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決平面向量問題的通用方法，無需過多技巧，而許多學(xué)生在解題的過程中沒有應(yīng)用的意識.因此，教師在教與學(xué)的過程中應(yīng)重視使用平面向量基本定理的思想方法的滲透．

解法2 算兩次.

(1)

(2)

式(1)+式(2)×2,得

從而

因此

圖1

解法3 幾何法.

如圖1所示，聯(lián)結(jié)AC取點(diǎn)G使得AC=3AG,則

從而

評析 利用平面幾何的簡單知識，構(gòu)造簡單的相似比，顯示了向量的代數(shù)和幾何的雙重身份.用有關(guān)平面幾何的方法解決平面向量問題，既是對平面幾何的深化和發(fā)展，又對“應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的數(shù)學(xué)觀”形成有重要作用．

視角2 建系法

求解平面向量數(shù)量積第2種常見方法需要引入坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，是應(yīng)對的常規(guī)方法.對于此類填空題，筆者利用特殊化思想，不妨設(shè)DA⊥AB，簡化運(yùn)算，效果甚佳．

解法4 特殊化思想建系法.

不妨令DA⊥AB，則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)D(0,m),則

從而

又

故

評析 建系法是解決有圖的向量問題的有效方法之一.筆者將∠DAB特殊化為直角，對于填空題(選擇題)可以簡化運(yùn)算，在平時教學(xué)中適當(dāng)?shù)氖褂每梢耘囵B(yǎng)學(xué)生靈活的解題能力，若建系后設(shè)∠DAB=θ，也可以得到正確的結(jié)果，讀者不妨一試．

視角3 投影法

圖2

解法5 相似法.

如圖2所示，點(diǎn)C,D,E,F在AB上的投影分別為N,M,P,Q,則

MN=1.

由△FQB∽△CNB,得

從而

同理可得

因此

AB·PQ=7,

即

“茫茫題海，何處是岸”，廣大數(shù)學(xué)教師都在苦苦思索，引導(dǎo)學(xué)生掙脫題海、摒棄題海戰(zhàn)術(shù)、強(qiáng)化研究性學(xué)習(xí)是一劑良方.“數(shù)學(xué)就是需要對不同的思想進(jìn)行研究”.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，學(xué)習(xí)者所積累的知識、方法、經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工、融合，會得出具有長久保存價值的或基本的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式.若能將其有意識地記憶固化，形成固有的模型和通法，當(dāng)遇到一個新題目時，只需辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想此模式的通法，在記憶貯存中提取相應(yīng)的方法加以解決，就能舉一反三，以簡馭繁，融會貫通.

因此，真正用好這些優(yōu)質(zhì)題，進(jìn)行多角度開展研究性學(xué)習(xí)，從知識層面上看，既能完善學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)，又能增強(qiáng)學(xué)生處理問題的策略選擇；從教學(xué)層面上看，既能引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，又能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；從思維層面上看，既能優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又能提升學(xué)生的思維品質(zhì)，最終達(dá)到提高課堂實(shí)效性的目的.

[1] 張乃貴．一道難題的思考過程[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊：上半月，2013(11/12)：65．

[2] 王春．淺析平面向量數(shù)量積問題的常用處理方法[J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2014(5)：44.

[3] 陳傳熙．由形入數(shù)探本質(zhì) 求簡至美歸本真——談?wù)劇捌矫嫦蛄康幕径ɡ砼c坐標(biāo)運(yùn)算(第1課時)”的教學(xué)設(shè)計[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2014(4):19.