發(fā)生的概率為定值時事件間的獨立性分析

●謝鵬作 (玉門市第一中學(xué) 甘肅玉門 735211)

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發(fā)生的概率為定值時事件間的獨立性分析

●謝鵬作 (玉門市第一中學(xué) 甘肅玉門 735211)

在教學(xué)過程中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生對事件獨立性的理解存在誤區(qū),主要表現(xiàn)在2個方面：一是把條件概率中的相乘關(guān)系誤認為是獨立關(guān)系中的相乘關(guān)系;二是當2個事件發(fā)生的概率為定值時誤認為是獨立關(guān)系.面對第2個誤區(qū)，筆者引用課堂實錄闡明問題,愿給讀者在教學(xué)中提供有用素材.

1 條件關(guān)系下概率為定值的事件獨立性分析

組織學(xué)生學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)之際,筆者在批閱《甘肅省普通高中學(xué)業(yè)水平考試大綱與解讀(數(shù)學(xué)2013)》第60頁21題時發(fā)現(xiàn),學(xué)生的解答錯誤率為100%.在感慨萬分的同時,覺得題目令人三思,經(jīng)仔細探究,將題目帶回課堂,與學(xué)生共討做法,現(xiàn)將過程闡述如下.

1.1 題目及與學(xué)生解答相同的參考答案

設(shè)第i次擊中野兔為事件Ai,則

于是P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

1.2 追問及引發(fā)的思索

師:如果第3次未擊中,則獵人進行第4次射擊,但距離已是250 m,……,如果第i次未擊中,則獵人進行第i+1次射擊,但距離已是50(i+1) m.已知此獵人命中的概率與距離的平方成反比，求5次內(nèi)擊中野兔的概率是多少(可以使用計算器)？

生:設(shè)第i次擊中野兔為事件Ai,則

于是

P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4∪A5)=

P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)≈ 0.982 8.

師:6次內(nèi)擊中野兔的概率呢?

生:P(A)≈0.982 8+P(A6)≈1.023 6.

師:大家覺得該方法正確嗎?

生:正確!

師:為什么獨立呢?

師:請大家仔細思考,有不同的見解嗎?

師(裝作驚訝):大家覺得生1說得對不對?

(有少部分學(xué)生表示認同,大部分學(xué)生一言不發(fā).)

師:生1認為事件A1與A2是什么關(guān)系呢?

生1:事件A1與A2為條件關(guān)系.

生(部分):不是一樣么?

師:通過生1、生2的表達,可知

說明什么呢?請大家先閱讀相關(guān)概念,再回答問題.

生:說明事件A1與A2既是條件關(guān)系又是獨立關(guān)系.

生:都正確.

師:請大家想一想：怎樣的2個事件既是條件關(guān)系又是獨立關(guān)系呢?

生3:A發(fā)生的條件下,B才會發(fā)生,且A,B發(fā)生的概率為定值時,事件A,B既是條件關(guān)系又是獨立關(guān)系.

生5:3槍內(nèi)擊中野兔是指:第1槍擊中,第1槍未擊中時第2槍擊中,第1,2槍都未擊中時第3槍擊中.從中可以看出,3槍內(nèi)擊中野兔有前后分步關(guān)系,即有前后分步關(guān)系且A,B發(fā)生的概率為定值時,事件A,B既是條件關(guān)系又是獨立關(guān)系.

師:以上3位同學(xué)分別從不同角度表達了自己的認識,理解深刻到位,老師感到欣慰.已知A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的概率P(B|A)與P(AB),P(A)有如下等量關(guān)系:

2 制約關(guān)系中概率為定值時事件的獨立性分析

2.1 題目及解法

(《數(shù)學(xué)通訊(教師版)》問題208)

解法1 設(shè)甲,乙,丙,丁承包這項工程分別為事件A,B,C,D,且事件A,B,C,D兩兩互斥.因為

所以甲、乙、丙這3個公司中有1個公司承包的概率是

解法2 設(shè)甲、乙、丙、丁承包這項工程分別為事件A,B,C,D,且

2 問題的深層分析

師:我們將2種解法展示于黑板,請大家認真思考,發(fā)表自己的看法.

2分鐘后,學(xué)生無人發(fā)言.于是教師進行了調(diào)查：認同解法1的學(xué)生有26人,認同解法2的有14人,覺得2種解法都有道理的有11人.教師組織學(xué)生分組討論,學(xué)生提出了以下問題.

師:是啊,這能說明什么呢?

生(全體):錯了唄!

生11:因為事件B,C,D發(fā)生的概率為定值,所以事件B發(fā)生與否對事件C,D發(fā)生的概率沒有影響,我認為事件B,C,D相互獨立.

(此時,教室里一片寂靜,大家陷入沉思之中.)

生12:從以上過程我們知道

師:雖然事件A,B,C,D發(fā)生的概率為定值,但只能發(fā)生其中之一,事件A發(fā)生了,事件B,C,D就不發(fā)生了,即事件A,B,C,D之間有著相互制約的關(guān)系.也就是說事件A,B,C,D之間有相互制約關(guān)系時,即使有發(fā)生的概率為定值,但仍然不相互獨立.

生:明白了.

師生相互交流，共同分析,探究問題實質(zhì)與根源.在相互辨別中,厘清事件之間的關(guān)系,把握概率運算的關(guān)鍵,不論是事件的表達還是運算符號的確立,都要依據(jù)概念嚴格對待.有時,我們還要從問題的不同角度出發(fā),相互印證,相互甄別,才能深入認識,加強對知識的理解.

有時將條件概率公式與獨立事件都發(fā)生的概率公式混用,而結(jié)果卻一樣,就在于2者之間存在統(tǒng)一性.為什么概率為定值時,2個事件不相互獨立？因為2者之間有制約關(guān)系,而不是條件或分步關(guān)系.教師通過案例深挖細究,與學(xué)生一起理解、體會、習(xí)得活動經(jīng)驗,不斷提高解題能力.

[1] 鄒國平.探究例題潛能,注重教學(xué)的“變”與“通”[J].中國數(shù)學(xué)教育：高中版，2011(1):88-89.