且探且反思
——含參絕對(duì)值二次函數(shù)解法的教學(xué)思考

●江 楊 (江口中學(xué) 浙江奉化 315504)

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且探且反思
——含參絕對(duì)值二次函數(shù)解法的教學(xué)思考

●江 楊 (江口中學(xué) 浙江奉化 315504)

二次函數(shù)一直是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，通過二次函數(shù)可以研究函數(shù)的許多性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、最值等)以及“3個(gè)二次”的綜合運(yùn)用等問題.其中含參數(shù)絕對(duì)值的二次函數(shù)，由于涉及數(shù)學(xué)思想方法多、綜合性強(qiáng)、分析能力要求高等特點(diǎn)，在高考中也常有體現(xiàn).隨著浙江省數(shù)學(xué)高考“導(dǎo)數(shù)退位，函數(shù)扶正”，含參絕對(duì)值二次函數(shù)的題型很可能涉及.下面筆者結(jié)合一堂教學(xué)課，也談解法，更貴反思，望同行批評(píng)指正.

1 題目呈現(xiàn)

例1 已知函數(shù)f(x)=x2-2x|x-a|,a∈R在區(qū)間[0,2]上的最小值為-1，則a=______.

例2 設(shè)集合A={x|x2-|x+a|+2a<0,a∈R},B={x|x<2}，若A≠φ且A?B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

(2014年浙江省杭州市第2次高考質(zhì)量檢測(cè)試題)

2 學(xué)生思維尋跡

例1是一道期中考試的填空題，從學(xué)生考后的情況來看，大部分是“逃”和“猜”2種對(duì)策，少部分有思路但也答而不全，答對(duì)的更寥寥無幾.因此，聯(lián)系到2015年的數(shù)學(xué)高考實(shí)際，筆者就含參絕對(duì)值二次函數(shù)這一內(nèi)容設(shè)計(jì)了一堂專題課.課堂上，筆者先讓學(xué)生“還原”了他們的思維過程：

師：這個(gè)函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的單調(diào)性確定嗎？不確定怎么能直接代入呢？

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在x∈(0,2)上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1，

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1,

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在x∈(0,2)上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1，

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1，

3)當(dāng)a≤2時(shí)，

或

f(x)min=f(2)=-1，

本題筆者僅就解法探討在此提供另外一種方法——導(dǎo)數(shù)法.

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1，

若問題僅僅止步于此，那還只是淺嘗輒止，未及該類問題全部.筆者認(rèn)為合格的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該有由點(diǎn)及面的推廣總結(jié)能力、撥云見日的剖析歸類能力，例2便是例1的推廣歸納(教師引導(dǎo)，學(xué)生自主完成).

圖1 圖2

1.3 統(tǒng)計(jì)學(xué)方法 采用SPSS 19.0統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。計(jì)量資料用均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差表示，組間比較采用t檢驗(yàn)。在分析過程中，多組間的數(shù)據(jù)比較處理采用One-way ANOVA方法進(jìn)行分析。以P<0.05為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

3 推廣歸納類型，總結(jié)提煉方法

例1可推廣歸納為“f(x)=bx|x+a|+g(x)(其中g(shù)(x)至多為二次函數(shù)，a,b之一為參數(shù))”型.

此類函數(shù)的絕對(duì)值涉及二次項(xiàng)，若b為參數(shù)，a為常數(shù)，轉(zhuǎn)為分段函數(shù)后圖像開口確定需結(jié)合b的值進(jìn)行討論；若a為參數(shù)，b為常數(shù)，則先由分界點(diǎn)-a去掉絕對(duì)值，當(dāng)g(x)為一次函數(shù)時(shí)，f(x)的圖像由開口向上和向下的2段拋物線拼接成，分類討論a，再結(jié)合區(qū)間分析，當(dāng)g(x)為二次函數(shù)時(shí)，圖像不同，方法相同.

例2可推廣歸納為“f(x)=b|x+a|+g(x)(其中g(shù)(x)為二次函數(shù)，參數(shù)為a,b中之一)”型.

此類函數(shù)的絕對(duì)值涉及一次項(xiàng)，無論參數(shù)為a或b，開口確定，轉(zhuǎn)為分段函數(shù)后，若b為參數(shù)，對(duì)稱軸需結(jié)合b的值進(jìn)行討論，若a為參數(shù)，對(duì)稱軸確定，圖像需按分界點(diǎn)-a討論.

以上涵蓋了含參絕對(duì)值二次函數(shù)的一般類型.筆者再列舉幾道高考試題作為鞏固.

1.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.

1)討論f(x)的奇偶性；

2)求f(x)的最小值.

(2002年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題)

2.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.若f(x)≥1,

1)求a的取值范圍；

2)求f(x)的最小值；

3)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)，其中x∈(a,+∞)，直接寫出不等式h(x)≥1的解集(不需給出演算步驟).

(2009年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

4 學(xué)生思維停滯溯源

高中學(xué)生懼怕甚至不會(huì)分類討論，筆者認(rèn)為有以下幾個(gè)方面的原因：

1)對(duì)用分類討論思想解決問題的步驟性、有效性缺乏成功的體驗(yàn).

2)對(duì)分類討論的常見類型(①由數(shù)學(xué)概念引起的；②由性質(zhì)、定理、公式的限制引起；③由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)的變化引起；④由圖形的不確定性；⑤由實(shí)際意義引起)還缺乏足夠地認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí).

3)對(duì)分類討論對(duì)象的分類標(biāo)準(zhǔn)還缺乏更多實(shí)際的經(jīng)驗(yàn).

回到本題，結(jié)合學(xué)生的反饋和筆者個(gè)人的理解，造成思維停滯的主要原因是忽略了參數(shù)對(duì)圖像的“決定性”牽制，對(duì)參數(shù)的分類討論是解決這類含參問題的著力點(diǎn)和必經(jīng)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生來說也是最難點(diǎn).而生3有分類討論的思想，但在對(duì)稱軸和分段端點(diǎn)都變化的情況下，找不準(zhǔn)參數(shù)的討論臨界點(diǎn)及對(duì)討論的問題缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性思考是問題關(guān)鍵所在.

5 教學(xué)思考

針對(duì)以上問題，筆者認(rèn)為在平常的教學(xué)中要著重做好以下幾個(gè)方面：

1)數(shù)學(xué)教學(xué)要“下得廚房，上得廳堂”.

數(shù)學(xué)教學(xué)中，有基本知識(shí)與基本技能的訓(xùn)練，更需有策略與思想引領(lǐng)的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)中最頂層的東西.教師在平常的教學(xué)中不要僅會(huì)“下”些習(xí)題“小菜”，也要經(jīng)常從中“上”升到思想方法的“廳堂”上來，只有提升學(xué)生的思維品質(zhì)，才能達(dá)到居高俯瞰.

2)數(shù)學(xué)教學(xué)要“由點(diǎn)及面”.

通過解答一個(gè)典型問題的“點(diǎn)”進(jìn)而推廣擴(kuò)散到“面”，借“題”發(fā)揮，由此及彼，引導(dǎo)學(xué)生，達(dá)到對(duì)一類題型及相關(guān)知識(shí)體系內(nèi)涵關(guān)聯(lián)的有效掌握，提升學(xué)生解題的全面性和思維的整體性.

3)數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生“撥云見日”的能力不斷提升.

“授人以魚，不如授人以漁”.反復(fù)不斷地試探學(xué)生是否掌握核心知識(shí)的方法和技能，教學(xué)應(yīng)始終圍繞提升“撥云”的剖析歸類能力，讓學(xué)生真正能獨(dú)立思考和解決問題.

6 結(jié)束語

2015年的新高考，函數(shù)將更加歸全反真，而二次函數(shù)作為函數(shù)家族的“當(dāng)家花旦”，最有可能推到前臺(tái)唱出高考好聲音.因此，在二次函數(shù)的復(fù)習(xí)中，除了做好基本的圖像性質(zhì)、最值問題、“3個(gè)二次”的關(guān)系研究等基礎(chǔ)問題和基本類型的復(fù)習(xí)工作外，還需對(duì)一些特殊類型的函數(shù)模型和特別的解題方法模式加以滲透和研究，只有做好平常的杜隙防微，才能在高考的戰(zhàn)場(chǎng)上任性由我！

[1] 于亦香．對(duì)一道函數(shù)絕對(duì)值問題的探究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2012(4)：86.