二次函數(shù)概念教學(xué)中要重視“變化和對(duì)應(yīng)”思想的滲透*

●吳增生 (仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

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二次函數(shù)概念教學(xué)中要重視“變化和對(duì)應(yīng)”思想的滲透*

●吳增生 (仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

在初中函數(shù)內(nèi)容中，模型的思想、變化和對(duì)應(yīng)的思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是核心的數(shù)學(xué)思想方法.與模型的思想、數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論思想在具體函數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)中存在不同，變化與對(duì)應(yīng)的思想更隱性地蘊(yùn)含在函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中.在各種具體函數(shù)模型概念的教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生歸納函數(shù)解析式的共同特征、抽象出各種函數(shù)概念的同時(shí)，滲透變化與對(duì)應(yīng)的思想，不僅可以有效促進(jìn)學(xué)生深化函數(shù)概念的理解，還可以發(fā)展學(xué)生用函數(shù)模型描述運(yùn)動(dòng)變化過程的能力，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.

1 教學(xué)現(xiàn)象：教師普遍忽視“變化與對(duì)應(yīng)”思想

筆者最近以人教版課標(biāo)教材“二次函數(shù)”為內(nèi)容組織了一次教學(xué)比賽活動(dòng)，5位教師上同一內(nèi)容，其教學(xué)過程的共性如下：

1)5位教師都首先創(chuàng)設(shè)了各種具體情境回顧一次函數(shù)的概念及其研究?jī)?nèi)容、研究步驟和研究方法：有的通過章引言的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生提出要研究的問題并進(jìn)行回顧；有的直接從函數(shù)定義開始復(fù)習(xí)；有的用具體問題為抓手引導(dǎo)學(xué)生回顧.通過回顧一次函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、研究步驟和研究方法，引導(dǎo)學(xué)生通過類比提出二次函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、研究步驟和研究方法：定義—圖像、性質(zhì)—應(yīng)用.

2)5位教師都引導(dǎo)學(xué)生寫出教科書中幾個(gè)問題的函數(shù)解析式：引例(正方體的表面積y與棱長(zhǎng)關(guān)系y=6x2).

問題2 產(chǎn)量在20 t基礎(chǔ)上以相同增長(zhǎng)率x增長(zhǎng)2次后的產(chǎn)量為y,y=20x2+40x+20.

在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生歸納這些函數(shù)解析式的共同特點(diǎn)，概括出二次函數(shù)的概念：形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c為常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)，其中a,b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

練習(xí) 1.一個(gè)圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與半徑r之間的關(guān)系式.

2.如圖1，矩形綠地的長(zhǎng)、寬各增加xm，寫出擴(kuò)充后綠地的面積y與x的關(guān)系式.

圖1

4)5位教師在小結(jié)中都重視了提出后繼研究問題的活動(dòng)，問學(xué)生對(duì)于二次函數(shù)需要進(jìn)一步研究什么問題.與學(xué)生一起類比一次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，提出研究二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的后續(xù)研究任務(wù).

5)5位教師都采用了PPT進(jìn)行教學(xué)，但都用文字形式展示教科書中的幾個(gè)問題，沒有展示或讓學(xué)生想象教科書中3個(gè)問題的變化過程及考慮2個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而沒有體會(huì)到解析式是定量刻畫變化過程中變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的工具，而只是把二次函數(shù)概念形成過程的學(xué)習(xí)活動(dòng)當(dāng)成解析式共同特征的歸納活動(dòng).

2 教學(xué)結(jié)果：學(xué)生對(duì)“變化與對(duì)應(yīng)思想”的體會(huì)不足

為了了解教師教學(xué)中忽視“變化與對(duì)應(yīng)”思想滲透對(duì)學(xué)生“變化與對(duì)應(yīng)”思想體會(huì)的影響，筆者進(jìn)行了課后的小調(diào)查，調(diào)查問卷如下：

二次函數(shù)概念學(xué)習(xí)問卷調(diào)查

問題1 正方體的6個(gè)面是全等的正方形，其每條棱長(zhǎng)為x,表面積為y.

1)你看出或想象到了這個(gè)正方體的變化了嗎？請(qǐng)描述一下它怎樣變化.

2)你認(rèn)為這里的x和y是表示固定的量還是變化的量？

3)你得到的式子是______,這個(gè)式子反映了2個(gè)量之間的什么關(guān)系？

問題2n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每2個(gè)隊(duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的總場(chǎng)次為m.

1)你看出或想象到了什么變化嗎？請(qǐng)描述一下它怎樣變化.

2)你認(rèn)為這里的m和n是表示固定的量還是變化的量？

3)你得到的式子是______,這個(gè)式子反映了2個(gè)量之間的什么關(guān)系？

問題3 某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20 t，計(jì)劃今后2年增加產(chǎn)量.如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，2年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量yt.

1)這個(gè)問題中，你看出或想象到了什么變化了嗎？

2)你認(rèn)為這里的x和y是表示固定的量還是變化的量？

3)你得到的函數(shù)解析式是______,這個(gè)式子反映了2個(gè)量之間的什么關(guān)系？

問題4 上面3個(gè)問題中的函數(shù)解析式有什么共同特征？

在所教的5個(gè)班級(jí)中每班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，共50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，收回48份調(diào)查問卷，去除其中2份空白，得到有效問卷46份，其結(jié)果如表1所示：

表1 調(diào)查問卷結(jié)果

由表1可知教師重視了求函數(shù)解析式的教學(xué)以及函數(shù)解析式共同特征歸納的教學(xué)，忽視變化與對(duì)應(yīng)思想的滲透，導(dǎo)致學(xué)生寫函數(shù)解析式能力的有效發(fā)展和變化與對(duì)應(yīng)思想體會(huì)不足.

3 改進(jìn)建議：讓學(xué)生在觀察和想象變化過程及其變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象概念

3.1 動(dòng)態(tài)展示變化過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題

問題1 如圖2(幾何畫版動(dòng)態(tài)展示變化過程)，變化的矩形OABC的周長(zhǎng)為12，邊OA的長(zhǎng)為x，邊AB的長(zhǎng)為y，當(dāng)矩形變化時(shí)，y是x的函數(shù)嗎？函數(shù)解析式是什么？是什么函數(shù)？

圖2 圖3

師生活動(dòng) 學(xué)生回答，y是x的函數(shù),解析式是y=6-x，y是x的一次函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 以此變化過程為載體，引出并復(fù)習(xí)一次函數(shù).

追問1 對(duì)于一次函數(shù)，我們比較熟悉，想一想，在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中，研究了什么？分哪些步驟研究？用什么方法研究？

師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、研究步驟和研究方法(如表2)：

表2 一次函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、研究步驟和研究方法

設(shè)計(jì)意圖 回顧一次函數(shù)的研究過程，作為研究二次函數(shù)的類比原型.

問題2 (幾何畫板動(dòng)態(tài)展示變化過程)在問題1中，當(dāng)矩形變化時(shí)，它的面積是否也變化？寫出面積S與x之間的函數(shù)解析式，它是我們學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)嗎？

師生活動(dòng) 學(xué)生通過觀察得到函數(shù)解析式S=x(6-x)=-x2+6x后發(fā)現(xiàn)不是已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)，再讓學(xué)生觀察如圖3的動(dòng)畫，通過測(cè)量x的值和S的值，觀察矩形變化過程中x的值及S的值的變化，發(fā)現(xiàn)隨著x的增加，S的值先增加再減小，這與“一次函數(shù)(y=kx+b)，當(dāng)k的正負(fù)確定后，函數(shù)的增減性不變”是不同的.因此，這是一類變化規(guī)律與一次函數(shù)不同的新函數(shù).在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生給這個(gè)函數(shù)命名為“二次函數(shù)”.教師進(jìn)一步引導(dǎo)：這樣的新函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中還有很多，如改變正方體的棱長(zhǎng)x，其表面積y隨之變化；從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h隨小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化而變化；從噴頭中噴出的水珠，在空中走過一條曲線，水珠的豎直高度y與它距離噴頭的水平距離x之間的關(guān)系，等等.因此從本節(jié)課開始，學(xué)習(xí)新一類的函數(shù)——二次函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 通過觀察發(fā)現(xiàn)問題，通過類比一次函數(shù)提出問題.

追問1 類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為二次函數(shù)要研究什么？怎樣研究？

師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，提出二次函數(shù)的研究方案(如表3)：

表3 二次函數(shù)的研究方案

追問2 我們首先要討論什么？

師生活動(dòng):讓學(xué)生明確：先研究二次函數(shù)的定義.

2.2 引導(dǎo)學(xué)生想象變化過程，列出變化過程的函數(shù)解析式

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察典型的變化過程，并用函數(shù)解析式表示.

問題2 請(qǐng)分析下列變化過程，并用函數(shù)解析式表示.

1)正方體的6個(gè)面是全等的正方形，每條棱長(zhǎng)為x，表面積為y，y隨x的變化而變化；

2)n支球隊(duì)參加比賽，每2個(gè)隊(duì)之間進(jìn)行1場(chǎng)比賽，比賽總場(chǎng)數(shù)m隨著n的變化而變化；

3)某商場(chǎng)銷售一種商品，調(diào)查表明，當(dāng)銷售單價(jià)定為10元/kg時(shí)，每天可銷售600 kg,若單價(jià)每提高1元/kg，則每天銷售量減少20 kg.假設(shè)該商場(chǎng)把該種商品的單價(jià)提高x元后，每天的銷售收入為y元，y隨著x的變化而變化.

師生活動(dòng) 先讓學(xué)生想象這3個(gè)變化過程，再讓學(xué)生寫出函數(shù)解析式，最后讓學(xué)生說說自己對(duì)變化過程的理解.

1)y隨著x的變化而變化，當(dāng)x的值確定時(shí)，y隨之唯一確定，y=6x2;

3)y隨著x的變化而變化，當(dāng)x的值確定時(shí)，y隨之唯一確定，y=-20x2+40x+6 000.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生想象變化過程，列出函數(shù)解析式，為抽象二次函數(shù)的概念提供歸納樣例.其中問題2中的第3)小題沒有選用教材中的問題而另編，其目的是便于讓學(xué)生體會(huì)二次函數(shù)的增減性.

2.3 引導(dǎo)學(xué)生通過歸納函數(shù)解析式的共同特征，抽象出二次函數(shù)的概念

師生活動(dòng) 學(xué)生歸納其共同特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)解析式等號(hào)右邊都是整式，且最高次數(shù)都是2.

追問3 你能類比一元二次方程，給出二次函數(shù)的一般形式嗎？

師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)學(xué)生給出二次函數(shù)的定義，并指出一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(其中a,b,c為常數(shù)，a≠0)中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

2.4 引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)概念判斷實(shí)際問題中的函數(shù)模型是否為二次函數(shù)

基礎(chǔ)練習(xí)：?jiǎn)栴}4 下列2個(gè)變化過程中的一個(gè)變量是另一個(gè)變量的二次函數(shù)嗎？

圖4 圖5

1)一個(gè)圓柱的高等于它的底面半徑，表面積S隨著底面半徑r的變化而變化；

2)如圖4，矩形綠地的長(zhǎng)、寬各增加xm，擴(kuò)充后綠地的面積y隨著x的變化而變化.

3)正方體的棱長(zhǎng)為x，體積為V，V隨著x的變化而變化；

4)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為8，一條直角邊長(zhǎng)為m，另一條直角邊長(zhǎng)為n，n隨著m的變化而變化.

師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立思考，教師組織討論交流.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念進(jìn)行判斷，鞏固概念.

問題5 如圖5，現(xiàn)有一面墻的長(zhǎng)度AB=12 m，要用總長(zhǎng)為16 m的圍欄一面靠墻圍一個(gè)矩形雞舍，其中矩形雞舍的一邊長(zhǎng)為x，面積為y.

1)求y與x之間的函數(shù)解析式，并判斷這個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)；

2)寫出這個(gè)函數(shù)的自變量x的取值范圍；

3)分別求當(dāng)x的值為2,4,6,8,10時(shí)的函數(shù)值，說說隨著x的增大，y是怎樣變化的？

師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立完成后，教師組織討論交流.

設(shè)計(jì)意圖 通過用二次函數(shù)模型描述變化過程，讓學(xué)生初步感受這種函數(shù)的變化規(guī)律，深化對(duì)二次函數(shù)概念的理解.

概念是判斷和推理的依據(jù)，一個(gè)具體的函數(shù)關(guān)系是否為二次函數(shù)，是要通過函數(shù)解析式來判斷的(解析式是整式，其中自變量的最高次數(shù)為2)，而且在研究過程中，“判斷其變化模式是否為函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而判斷是否為二次函數(shù)”是解決問題的基礎(chǔ).因此，在教學(xué)中應(yīng)該重視這種應(yīng)用概念進(jìn)行判斷的訓(xùn)練.在教學(xué)實(shí)踐中，很多教師喜歡給出函數(shù)解析式，讓學(xué)生判斷是否為二次函數(shù)，由于其沒有了變化的背景，就變成純形式的判斷，這種判斷沒有現(xiàn)實(shí)性，而且有的教師把這種形式化的判斷要求隨意拔高，如設(shè)計(jì)了如下問題“當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)y=xm2-2+mx是二次函數(shù)？一次函數(shù)？”，這顯然是不合適的.二次函數(shù)是描述性概念，其核心作用是判斷具體變化過程中的函數(shù)關(guān)系是否為二次函數(shù)，是否可以用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題.由于在實(shí)際問題的變化過程中判斷函數(shù)是否為二次函數(shù)需要根據(jù)解析式來進(jìn)行或根據(jù)圖像來進(jìn)行，根據(jù)解析式判斷一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)的訓(xùn)練已經(jīng)蘊(yùn)含在現(xiàn)實(shí)問題中函數(shù)關(guān)系是否為二次函數(shù)的判斷訓(xùn)練中，因此沒有必要單獨(dú)進(jìn)行直接根據(jù)函數(shù)解析式判斷是否為二次函數(shù)的這種人為造作的訓(xùn)練.

實(shí)際問題包含著運(yùn)動(dòng)變化的背景，讓學(xué)生想象其運(yùn)動(dòng)變化過程，用函數(shù)解析式分析變化過程中的變量對(duì)應(yīng)關(guān)系，能更充分地滲透變化與對(duì)應(yīng)思想.

變化和對(duì)應(yīng)是函數(shù)的本質(zhì)屬性，在函數(shù)的具體內(nèi)容教學(xué)中，模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想顯性地存在于某些具體內(nèi)容中，教師容易發(fā)現(xiàn)，也容易引起重視；變化與對(duì)應(yīng)的思想，則是隱含在函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，容易被忽視，這就需要教師在函數(shù)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用變化的眼光看問題，用變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系分析變化過程，在各種具體函數(shù)模型的概念學(xué)習(xí)、圖像性質(zhì)研究、應(yīng)用函數(shù)解決問題等過程中滲透變化與對(duì)應(yīng)思想，讓學(xué)生深刻理解函數(shù)的概念，充分體會(huì)函數(shù)是描述運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.

全國(guó)教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃2010年教育部重點(diǎn)課題：中小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容及其教學(xué)的研究(GOA107010)；浙江省2014年教育科學(xué)規(guī)劃課題：基于腦、適于腦和發(fā)展腦的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究(2014SC295).

吳增生，浙江仙居人，浙江省特級(jí)教師，浙江省基礎(chǔ)教育課程改革專家指導(dǎo)組成員，教育部第三批國(guó)培專家，人民教育出版社教材社外作者、培訓(xùn)專家、教師教學(xué)用書主編，臺(tái)州市名師工作室領(lǐng)銜人，浙江省名師網(wǎng)絡(luò)工作室領(lǐng)銜人，有70多篇文章在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》、《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中國(guó)數(shù)學(xué)教育》、《中學(xué)教研(數(shù)學(xué))》等刊物發(fā)表，其中有20篇被中國(guó)人民大學(xué)復(fù)印資料中心全文轉(zhuǎn)載.主要研究方向：基于數(shù)學(xué)和心理學(xué)結(jié)合的中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究.