柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠隔振系統(tǒng)混沌響應(yīng)研究

李玉龍， 白鴻柏， 何忠波

軍械工程學(xué)院, 石家莊 050003)

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柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠隔振系統(tǒng)混沌響應(yīng)研究

李玉龍， 白鴻柏， 何忠波

軍械工程學(xué)院, 石家莊 050003)

研究柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠隔振系統(tǒng)混沌響應(yīng)。通過對柔性基礎(chǔ)等效簡化，將整個系統(tǒng)簡化為雙層線性-非線性混合隔振系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，給出狀態(tài)方程；對給定的隔振系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真分析，繪制系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵幅值、頻率變化分岔圖。通過對不同參數(shù)下系統(tǒng)時間歷程曲線、相軌跡圖、龐加萊映射圖及頻譜圖分析，確定系統(tǒng)產(chǎn)生混沌響應(yīng)的參數(shù)取值；并實例討論金屬橡膠隔振系統(tǒng)混沌振動應(yīng)用的一般方法，為柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠非線性系統(tǒng)混沌振動的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

金屬橡膠；非線性隔振系統(tǒng)；柔性基礎(chǔ)；混沌

金屬橡膠(Metal Rubber)為經(jīng)特殊工藝制成的彈性多孔金屬材料，既呈現(xiàn)類似橡膠材料的彈性、阻尼性能，又保持金屬的優(yōu)異特性，為具有重要工程應(yīng)用價值的非線性結(jié)構(gòu)功能材料[1]。其隔振系統(tǒng)除具有耐高溫、高壓、高真空、超低溫，在空間環(huán)境下不揮發(fā)、不怕輻射及粒子撞擊等優(yōu)點外，亦具有變剛度、變阻尼的非線性特性。變剛度特性既能使系統(tǒng)自動避開共振點，又能確保系統(tǒng)在突變的沖擊載荷下仍有一定隔振抗沖擊性能保護(hù)設(shè)備不被損壞；變阻尼特性既能有效降低共振區(qū)內(nèi)振動傳遞率，又能在隔振區(qū)內(nèi)保證系統(tǒng)具有較好振動衰減效果[2]。因此，金屬橡膠廣泛用于航空航天、船艦、車輛等隔振系統(tǒng)，對提高裝備壽命及可靠性至關(guān)重要。

金屬橡膠隔振系統(tǒng)為典型的遲滯非線性系統(tǒng)，對其已有諸多建模、理論及試驗研究[2-5]，為推廣應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。由于混沌為非線性系統(tǒng)特有運動形式，金屬橡膠隔振系統(tǒng)必會產(chǎn)生混沌，但對其研究成果較少，僅有文獻(xiàn)[6]利用系統(tǒng)一次諧波解推導(dǎo)出金屬橡膠隔振系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振動的解析條件。研究金屬橡膠隔振系統(tǒng)的混沌特性可借鑒其它非線性隔振系統(tǒng)研究成果。葉建軍等[7]研究含二、三次非線性項系統(tǒng)的次諧軌道及異宿軌道；樓京俊等[8]研究多頻激勵軟彈簧型Duffing系統(tǒng)中的混沌運動；唐果等[9]研究單自由度被動隔振體產(chǎn)生混沌的參數(shù)條件；劉樹勇等[10]用Melnikov方法確定準(zhǔn)周期激勵下非線性隔振系統(tǒng)的混沌參數(shù)區(qū)域；Yu等[11]研究多自由度非線性隔振系統(tǒng)的混沌及分岔；黃志偉等[12]分析雙層隔振系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的頻率范圍。浣石等[13-17]認(rèn)為混沌狀態(tài)系統(tǒng)具有單頻輸入寬頻輸出特性，可大幅度隔離結(jié)構(gòu)噪聲中線譜成分，具有消除線譜激勵的明顯優(yōu)勢，對提高艦船的隱身性能具有重要意義。

隨輕薄化板殼結(jié)構(gòu)在現(xiàn)代裝備工程尤其艦船領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，裝備非剛性基座結(jié)構(gòu)振動產(chǎn)生的輻射噪聲愈加嚴(yán)重，須考慮柔性基礎(chǔ)與被隔振設(shè)備振動的耦合問題。而對柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠隔振系統(tǒng)混沌研究尚少見。本文擬對柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠非線性隔振系統(tǒng)的混沌展開研究，主要通過數(shù)值仿真獲得系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運動的參數(shù)取值條件，證明柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠非線性隔振系統(tǒng)能產(chǎn)生混沌振動，為工程中需避開有害混沌振動，進(jìn)行金屬橡膠隔振設(shè)計提供理論參考；為提高船艦隱身性能，改變振動噪聲輻射線譜成分，設(shè)計能產(chǎn)生混沌振動的金屬橡膠隔振系統(tǒng)需求奠定理論基礎(chǔ)。

1 柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠隔振系統(tǒng)模型

圖1(a)為含柔性基礎(chǔ)的金屬橡膠隔振系統(tǒng)，剛性設(shè)備通過金屬橡膠隔振器支撐安裝于柔性基礎(chǔ)上。為簡化分析，以兩邊簡支矩形薄板模擬柔性基礎(chǔ)，對模型作假設(shè)為：① 剛性設(shè)備被一單向金屬橡膠隔振器支撐；② 只考慮豎直向振動，激勵作用于剛性設(shè)備質(zhì)心，沿豎直向做簡諧激勵，且F(t)=F0cos(ΩT)；③ 兩邊簡支基礎(chǔ)板等效成線性單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。因此，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為兩層的隔振模型，見圖1(b)。

圖1 柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠隔振系統(tǒng)模型Fig.1 Model of metal rubber vibration isolation system onflexible foundation

圖1(b)中M1，M2分別為被隔振設(shè)備質(zhì)量、基礎(chǔ)板等效質(zhì)量；x1，x2為各自位移；k2，c2為基礎(chǔ)等效剛度、等效阻尼；G為金屬橡膠隔振器，用雙折線泛函本構(gòu)關(guān)系模型表示[2-3,18]為

(1)

式中：y(t)為隔振器變形量；k01為一次線性剛度系數(shù)；k3為三次非線性剛度系數(shù)；c01為粘彈阻尼系數(shù)；c3為三次非線性粘彈阻尼系數(shù)，其形成與位移有關(guān)的彈性力及與速度有關(guān)的粘性阻尼力被認(rèn)為無記憶恢復(fù)力；z(t)為金屬橡膠變形中干摩擦引起的記憶恢復(fù)力；zs為滑移極限；ks為滑移剛度，ks=zs/ys。

將記憶恢復(fù)力用雙折線模型表示，見圖2。其中ys為開始滑移時變形；ym為最大變形量。

圖2 雙折線遲滯關(guān)系模型Fig.2 Double broken linear hysteresis model

為簡化分析，用等效線性化法對干摩擦滯遲環(huán)節(jié)進(jìn)行等效線性化[18]，得

(2)

將記憶環(huán)節(jié)進(jìn)行線性等效，即包含變化的剛度項keq及變化的粘性阻尼項ceq。由keq，ceq表達(dá)式看出，二者僅與每次往復(fù)的最大變形量ym有關(guān)，對正弦加載的振動系統(tǒng)，ym等于振動幅值，且保持不變。金屬橡膠隔振器在隔振系統(tǒng)中的力-位移關(guān)系可寫為

(3)

式中：k1=k01+keq；c1=c01+ceq。

圖1(b)兩自由度金屬橡膠非線性隔振系統(tǒng)微分方程可寫為

(4)

(5)

(6)

據(jù)式(5)、(6)，方程(4)可寫為

(7)

(8)

(9)

2 隔振系統(tǒng)數(shù)值響應(yīng)分析

為研究金屬橡膠隔振系統(tǒng)的混沌響應(yīng)，先對方程組(9)的系數(shù)賦值，定義無量綱參數(shù)ξ1=0.15，ξ2=0.8，μ=5，β=100，設(shè)ω=1.18，f=1～50，步長Δf=0.1，x1,x2,y1,y2初始值均為0。用四階龍格-庫塔法求解動力學(xué)微分方程，獲得系統(tǒng)隨激勵幅值f變化分岔圖，見圖3。由圖3看出，激勵力頻率ω=1.18時質(zhì)量塊1、2的響應(yīng)均多次出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，且幅值在15～25范圍內(nèi)出現(xiàn)混沌振動。

為獲得系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的激勵頻率區(qū)間，選f=16，ω=0～5，步長Δω=0.01，其它無量綱參數(shù)及初始條件不變，用四階龍格-庫塔法求解動力學(xué)微分方程，獲得系統(tǒng)隨激勵頻率ω變化分岔圖，見圖4。由圖4看出，激勵幅值f=16時系統(tǒng)在激勵頻率ω=0.4～0.6及ω=0.95～1.2內(nèi)可能出現(xiàn)混沌振動。

為驗證參數(shù)區(qū)間的準(zhǔn)確性，令f=16，ω=1.18、ω=3.1、ω=4.8，其它參數(shù)及初始條件均不變，求得系統(tǒng)響應(yīng)的時間歷程曲線、相軌跡、Poincare映射圖及頻譜圖見圖5。由圖5(a)看出，激勵頻率參數(shù)f=16及ω=1.18時，質(zhì)量塊1、2的時域波形較混亂，周期振動曲線不穩(wěn)定；相圖顯示該運動為往復(fù)的、有限的且周期是無限長的運動；龐加萊映射圖既不是有限點集，也不是封閉曲線；頻譜圖顯示，響應(yīng)中有多種頻率成分，且頻譜幾乎連續(xù)。在該參數(shù)條件下，隔振系統(tǒng)的兩質(zhì)量塊均處于混沌運動狀態(tài)。由圖5(b)、(c)的時域波形看出，質(zhì)量塊響應(yīng)經(jīng)一段時間后趨于穩(wěn)定；其相圖顯示為往復(fù)運動，且有確定周期；龐加萊映射圖為封閉曲線，故運動為準(zhǔn)周期的；頻譜圖顯示頻率成分較單一。故ω=3.1及ω=4.8時，質(zhì)量塊1、2均為準(zhǔn)周期振動。

由分析結(jié)果知，參數(shù)ξ1=0.15，ξ2=0.8，μ=5，β=100，ω=1.18，f=16時，系統(tǒng)處于混沌振動狀態(tài)。因混沌運動對初始條件有敏感性，將初始條件進(jìn)行微小差異設(shè)定，即[0 0 0 0]、[0 0 0.1 0.1]，用四階龍格庫塔法求解系統(tǒng)時域響應(yīng)曲線并對比，見圖6。由圖6看出，初始條件變化時系統(tǒng)的時間歷程曲線隨時間推移發(fā)生較大變化，證明在給定參數(shù)條件下，該系統(tǒng)響應(yīng)對初始狀態(tài)較敏感，表明在給定參數(shù)條件下系統(tǒng)兩質(zhì)量塊均處于混沌運動狀態(tài)。

3 混沌振動應(yīng)用實例分析

對柔性基礎(chǔ)與隔振器已定的隔振系統(tǒng)，設(shè)質(zhì)量分別為M1=20 kg，M2=5 kg，為獲得隔振器各參數(shù)，對其進(jìn)行2 mm、5 Hz的正弦加載試驗，見圖7(a)。用遺傳算法對動態(tài)試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識別[19]，得隔振器各參數(shù)識別結(jié)果為k01=133.5 N/mm、k3=14.9 N/mm3、c01=1.9 N/(mm/s)、zs=88.2 N、ys=0.8 mm、ks=107.7 N/mm。利用辨識參數(shù)結(jié)果繪制曲線與試驗曲線對比見圖7(b)。

結(jié)合式(2)得ceq=6.7 N/(mm/s)、keq=15.0 N/mm。因此得c1=8.6 N/(mm/s)、k1=148.5 N/mm。設(shè)柔性基礎(chǔ)的等效剛度、阻尼分別為k2=10 000 N/mm、c2=10 N/(mm/s)。結(jié)合式(8)，得式(9)中無量綱參數(shù)為ξ1=0.158，ξ2=0.735，β=67.3，μ=4，ω1n=2.7。據(jù)第2節(jié)分析，討論系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運動時的無量綱激勵力幅值、頻率參數(shù)f及ω取值分別為f=10.8，ω=1.95。

圖5 系統(tǒng)時域波形、相軌跡、Poincare映射及頻譜圖Fig.5 Poincare maps, phase, time-histories and amplitude spectrum diagrams of the system response

圖6 不同初始條件下系統(tǒng)響應(yīng)的時域波形圖Fig.6 Time-histories diagrams of different initial conditions

圖7 試驗裝置與結(jié)果對照Fig.7 Dynamic experimentpicture and the compared test curve result and the parameter identification result

由式(8)得

(10)

由式(10)得F0=5 063 N，Ω=5.3 rad/s，即確定隔振系統(tǒng)在激勵力5 063 N圓頻率5.3 rad/s時產(chǎn)生混沌。

將實際物理參數(shù)值代入式(4)，并令x1,x2,y1,y2的初始值分別為[0 0 0 0]及[0 0 0.1 0.1]，用四階龍格-庫塔法求解，獲得實際物理參數(shù)下系統(tǒng)時域響應(yīng)曲線及相軌跡見圖8。由圖8看出，被隔振設(shè)備與柔性基礎(chǔ)的時域波形較混亂，周期振動曲線不穩(wěn)定，且隨時間推移，微小初值對系統(tǒng)響應(yīng)影響較大；被隔振設(shè)備及柔性基礎(chǔ)的相軌跡均為往復(fù)、有限且周期無限長的運動，可見系統(tǒng)此時處于混沌振動狀態(tài)。

圖8 物理參數(shù)下系統(tǒng)時域、相軌跡圖Fig.8 Time-histories diagrams and phase under the physical parameter

以上主要針對確定參數(shù)的金屬橡膠隔振系統(tǒng)，研究激勵幅值、頻率變化導(dǎo)致隔振系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的參數(shù)區(qū)間，可在工程實際中調(diào)整激勵幅值及頻率參數(shù)，使系統(tǒng)處于混沌振動狀態(tài)達(dá)到改變系統(tǒng)振動線譜成分目的；也可通過避開該參數(shù)取值防止有害混沌振動產(chǎn)生。

對確定激勵環(huán)境下金屬橡膠隔振系統(tǒng)設(shè)計問題，仍可按本文思路討論系統(tǒng)本身參數(shù)，即先確定無量綱激勵幅值f及頻率ω，對其它無量綱參數(shù)ξ1，ξ2，β，μ逐一討論，分別繪制隔振系統(tǒng)隨單個無量綱參數(shù)變化分岔圖，綜合分析確定ξ1，ξ2，β，μ的取值區(qū)間，結(jié)合式(8)即可求得系統(tǒng)本身的有量綱參數(shù)取值區(qū)間；再據(jù)有量綱系統(tǒng)參數(shù)取值區(qū)間設(shè)計金屬橡膠隔振器，并進(jìn)行動態(tài)試驗驗證系統(tǒng)的混沌響應(yīng)。

需指出，由于金屬橡膠加工制備工藝限制，難以直接設(shè)計出準(zhǔn)確參數(shù)元件，因此，需對金屬橡膠隔振器進(jìn)行靜、動態(tài)試驗，不斷調(diào)整加工制備參數(shù)，以確定隔振器參數(shù)滿足設(shè)計要求。由于混沌響應(yīng)只在特定參數(shù)區(qū)間產(chǎn)生，對組裝好的系統(tǒng)仍需大量試驗驗證。

4 結(jié) 論

通過對柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠隔振系統(tǒng)的混沌響應(yīng)特性研究，提出將系統(tǒng)混沌用于指導(dǎo)工程實際一般分析方法，結(jié)論如下：

(1) 建立隔振系統(tǒng)簡化模型，將柔性基礎(chǔ)等效為單自由度彈簧阻尼系統(tǒng)，使系統(tǒng)簡化為兩層線性-非線性混合隔振系統(tǒng)，建立數(shù)學(xué)模型，給出狀態(tài)方程。

(2) 對給定隔振系統(tǒng)無量綱參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真分析，繪制系統(tǒng)激勵幅值f及頻率ω參數(shù)變化分岔圖，獲得系統(tǒng)響應(yīng)產(chǎn)生多次分岔的激勵幅值及頻率取值區(qū)間，通過對不同參數(shù)下系統(tǒng)的時間歷程曲線、相軌跡、龐加萊映射及頻譜圖分析，確定系統(tǒng)產(chǎn)生混沌響應(yīng)的參數(shù)取值。通過對混沌系統(tǒng)對初始條件敏感性對比分析表明，柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠隔振系統(tǒng)能產(chǎn)生混沌運動。

(3) 通過混沌工程應(yīng)用實例分析，獲得系統(tǒng)產(chǎn)生混沌時激勵的實際物理參數(shù)取值，并通過數(shù)值求解所得系統(tǒng)時域響應(yīng)曲線、相軌跡圖驗證實例計算所得物理參數(shù)下系統(tǒng)處于混沌振動，證明本文理論推導(dǎo)的正確性。

(4) 由于金屬橡膠隔振系統(tǒng)復(fù)雜性，理論分析僅有一定指導(dǎo)意義，實際工程應(yīng)用中仍需輔以大量試驗研究，才能獲得設(shè)計目標(biāo)要求的柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠混沌振動系統(tǒng)。

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Chaotic response of metal rubber vibration isolation system on flexible foundation

LI Yu-long, BAI Hong-bai, HE Zhong-bo

Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

A metal rubber vibration isolation system was simplified as a two-stage linear-nonlinear vibration isolation system through the equivalent simplification of its flexible foundation. The mathematical model of the system was built, and the state equation was derived. Then the numerical simulation of the system was provided with the Runge-Kutta method and the bifurcation diagrams in terms of excitation force and frequency were obtained. The parameters of the system related to the of arising of chaotic response were identified by the analysis of the time-history, phase trace, poincare map and amplitude spectrum diagrams of the system with different parameters. The general application of the chaotic vibration of metal rubber vibration isolation system was discussed by using a practical example.

metal rubber; nonlinear vibration isolation system; flexible foundation; chaos

武器裝備“十二五”預(yù)先研究項目(51312060404)

2014-08-20 修改稿收到日期：2014-12-13

李玉龍 男，博士生，1981年5月生

白鴻柏 男，教授，博士生導(dǎo)師，1964年生

TB533；O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.017