無統(tǒng)計信息假設(shè)下的多階段報童決策

張 永，張衛(wèi)國，徐維軍

(1. 廣東工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院， 廣東 廣州 510520；2. 華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院， 廣東 廣州 510640)

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無統(tǒng)計信息假設(shè)下的多階段報童決策

張 永1，張衛(wèi)國2，徐維軍2

(1. 廣東工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院， 廣東 廣州 510520；2. 華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院， 廣東 廣州 510640)

在不對需求做任何統(tǒng)計假設(shè)的情形下，該文用理論計算科學(xué)興起的集成專家意見的弱集成算法研究多階段報童決策。弱集成算法是一種指數(shù)加權(quán)平均集成方法，在一定的初始權(quán)重下，根據(jù)損失函數(shù)在線調(diào)整專家意見的權(quán)重?；谑找鎿p失函數(shù)和固定訂購量的專家意見，得到了與從累積收益角度研究相一致的決策方法；并擴展研究了帶有回收價值的情形。理論上證明了決策方法的累積收益損失幾乎不超過最優(yōu)專家意見的累積收益損失。通過數(shù)值算例驗證了決策方法的可行性和合理性，探討了賣出價和成本價等因素對競爭性能的影響，說明了回收價值的引入大大提高了決策方法的競爭性能，具有重要的現(xiàn)實意義。

多階段報童問題；回收價值；無統(tǒng)計假設(shè)；弱集成算法；收益損失函數(shù)

1 引言

報童問題是一類特殊的庫存問題，是近年來庫存決策研究的一個熱點。報紙屬于短周期產(chǎn)品，具有很強的時效性，即當(dāng)天的報紙只在當(dāng)天有價值，過期后將沒有價值。若訂購的報紙量多于實際需求量，則剩余報紙的價值為零。在單周期、只訂購一次貨時，面臨不確定型需求的情況下，傳統(tǒng)報童模型解決如何確定最優(yōu)訂貨量使得期望收益最大化。該模型反映出決策者在庫存成本和缺貨損失之間的權(quán)衡；眾多研究都是基于傳統(tǒng)報童模型構(gòu)建更加貼近現(xiàn)實的模型[1-3]。由于結(jié)構(gòu)簡單而又有良好的性質(zhì), 報童模型在管理者的決策中發(fā)揮重要的作用并且廣泛應(yīng)用于各種環(huán)境中，如庫存控制，生產(chǎn)計劃，收益管理和股票市場等。因此，眾多研究對報童模型做更深一步的細致研究，從多個方向加以擴展，對于供應(yīng)鏈領(lǐng)域的研究具有重要的意義[4-7]。報童決策問題的研究對類似庫存決策問題具有重要意義，如各種雜志預(yù)定、餐館食物預(yù)定、機票預(yù)定。

研究報童問題的傳統(tǒng)方法是假設(shè)需求服從一定的統(tǒng)計分布，并在此基礎(chǔ)上尋找最優(yōu)決策方法。但實際需求無任何規(guī)律可循，很難用一個合適的概率分布來刻畫。在這種情形下，決策者唯一能獲得的是歷史需求數(shù)據(jù)，并根據(jù)它來進行決策。實際需求的統(tǒng)計分布無法獲得時，研究報童問題的一個傳統(tǒng)方法是貝葉斯決策；應(yīng)用這個方法進行決策時，決策者只知道需求服從一類分布但不知道其具體參數(shù)，在初始化參數(shù)下根據(jù)獲得的歷史數(shù)據(jù)逐步計算后驗分布來調(diào)整參數(shù)。Scarf[8-9]給出了一類具有指數(shù)分布的貝葉斯決策方法，Karlin[10]和Iglehart[11]等也用貝葉斯方法對報童問題進行了研究，其中Iglehart[11]擴展了Scarf的研究結(jié)果?；诮?jīng)驗分布的方法也用來研究無統(tǒng)計假設(shè)的庫存問題[12]。O’Neil[13]比較了無統(tǒng)計假設(shè)和隨機算法下的多階段報童問題。Huh等[14-16]在僅有歷史需求數(shù)據(jù)下給出了庫存決策的新方法及理論。最近，Zhu Zhisu[17]等給出了有限統(tǒng)計信息下的報童優(yōu)化方法；Kwon和Cheong[18]給出了免運費時，無統(tǒng)計假設(shè)下的報童決策方法。

近年來計算機學(xué)科興起的在線算法與競爭分析[19-21]為無統(tǒng)計假設(shè)的庫存決策問題提供了研究思路和方法。在線算法將在線的收益(成本)與離線的收益(成本)做比較，并用競爭比來衡量在線算法的競爭性能?；谠诰€算法的思想，Wanger[22]引入績效比研究收益優(yōu)化下的多階段庫存決策問題，并將其推廣到可耐性產(chǎn)品的情形。Wagner[23]進一步用競爭比分析方法研究了成本優(yōu)化下的多階段庫存決策。張桂清等[24-25]用競爭比分析法研究了單階段報童決策問題，分別給出了一般預(yù)期和概率預(yù)期下的風(fēng)險算法。Ball等[26]和Van den Heuvel等[27]也是基于競爭比分析和在線算法研究不確定和不完全信息下的庫存決策及相關(guān)問題。本文用集成專家意見預(yù)測算法研究多階段報童決策；它與上述文獻的不同之處是在無任何統(tǒng)計假設(shè)及信息下，僅僅依靠歷史需求數(shù)據(jù)給出多階段報童決策，研究方法不同。張桂清[25]雖然也是基于在線算法思想給出的決策，但它一方面包含了決策者對未來需求的預(yù)期，另外一方面它研究的是單階段的報童決策問題。因此本文基于集成專家預(yù)測算法研究了更貼近現(xiàn)實的報童問題。

集成專家意見進行預(yù)測是理論計算科學(xué)研究的一個熱點[28]，它考慮每個專家的意見，通過賦予權(quán)重體現(xiàn)對專家的信任程度，并采用一定的方法集成這些專家意見。集成專家意見方法的研究具有較強的實際意義，因為現(xiàn)實決策中存在著眾多專家意見。集成算法AA (Aggregating Algorithm)是研究學(xué)者Vovk提出的一種集成專家意見在線預(yù)測方法，它采用指數(shù)加權(quán)平均法集成專家意見[29]。弱集成算法WAA (Weak Aggregating Algorithm)[30]是基于AA擴展的。Levina等[31]將WAA應(yīng)用到多階段報童決策，給出了具體的決策方法、并證明了該決策方法的累積收益近似于最優(yōu)專家意見的累積收益。該方法不對需求做任何統(tǒng)計假設(shè)，在僅有歷史需求數(shù)據(jù)下給出決策?？紤]到現(xiàn)實決策中決策者的后悔度，本文在Levina等[31]的基礎(chǔ)上，進一步通過定義收益損失函數(shù)研究WAA在多階段報童問題中的應(yīng)用。將收益損失函數(shù)定義為離線收益與決策收益的差值，相當(dāng)于后悔度?；谑找鎿p失函數(shù)和固定訂購量策略的專家意見，不僅得到了與從累積收益角度研究相一致的結(jié)論，并擴展研究了帶有回收價值的情形，給出了無統(tǒng)計假設(shè)下的具體決策方法。理論上證明了本文給出的決策方法的累積收益損失漸近于最優(yōu)專家意見的累積收益損失。最后通過具體算例進一步驗證了本文給出的決策方法具有較好的競爭性能，討論了報紙的賣出價、成本價及回收價值對累積收益的影響；擴展了多階段報童決策的研究思路和方法，具有重要的現(xiàn)實意義。

2 基于弱集成算法和固定訂購量策略的決策方法

2.1 基于累積損失的弱集成算法

AA是理論計算機學(xué)科興起的集成專家意見的在線序列決策算法[29]。它用損失函數(shù)來衡量每個專家意見的優(yōu)劣，通過在線方式計算每個專家意見的損失并逐步調(diào)整對每個專家意見的信任程度。通常損失越大的專家，對其信任程度越小。對專家的信任程度通過對其賦予的權(quán)重體現(xiàn)出來。采用指數(shù)加權(quán)來集成專家意見，并用學(xué)習(xí)率參數(shù)控制每個專家權(quán)重更新的幅度。WAA與AA相似，不同之處在于WAA的學(xué)習(xí)率與在線決策的時間段n相關(guān)而AA的學(xué)習(xí)率是一固定常數(shù)[30]。重要的是AA要求損失函數(shù)具有混合性(Mixability)，如對數(shù)損失函數(shù)和平方損失函數(shù)是具有混合性的、絕對值損失函數(shù)不具有混合性。而WAA的改進可以避免這一局限，使得它可以應(yīng)用到眾多的決策問題中。

(1)

是專家θ,θ∈Θ在前n-1階段的累積損失。根據(jù)Kalnishkan[30]，可將WAA的偽代碼描述如下。

WAA的偽代碼

(1)計算標準化權(quán)重

(3)在線決策者集成專家意見給出決策

(4)獲得實際結(jié)果wn∈Ω；

(6) 更新在線決策者的累積損失

Ln=Ln-1+λ(rn,wn)

引理1 若損失函數(shù)λ是關(guān)于r的凸函數(shù)，則WAA的累積損失滿足:

(2)

引理2 當(dāng)0≤λ≤L，其中L為一固定常數(shù)，

則對于所有的N有

(3)

2.2 基于收益損失函數(shù)和固定訂購量策略的決策方法

(4)

(5)

當(dāng)q(dx)是[0,U]上的均勻分布時，采用文獻[31]給出的求解方法。在第n階段，前n-1階段的實際需求di, 1≤i≤n-1是可獲得的數(shù)據(jù)序列，設(shè)其順序統(tǒng)計量為d(1),…,d(n-1)，令d(0)=0，d(n)=U，則：

(6)

其中：

(6)中第3個等式成立只因當(dāng)d(k)≤x≤d(k+1)時，有：

采用類似的方法，可得：

其中:

所以有:

(7)

可見從收益損失研究得到的結(jié)論與從收益研究得到的結(jié)論一致[31]，當(dāng)決策者需要從成本角度分析或強調(diào)收益損失時，可用本文給出的方法進行決策，并稱此方法為waa。

對于無統(tǒng)計假設(shè)下多階段報童決策方法waa，定理1應(yīng)用WAA，分析了waa的競爭性能。以最優(yōu)專家意見的累積收益損失為基準，得到了決策方法waa實現(xiàn)的累積收益損失上界。

定理1 當(dāng)專家意見為集合Θ=[0,U]時，則對任意N， 決策方法waa實現(xiàn)的累積收益損失滿足

(8)

其中Λ=max{p-c,c}和Δ=max{(p-c)U,cU}。

證明 首先給出專家意見為x時，對應(yīng)收益損失函數(shù)λ的上界，即有:

0≤λ≤Δ, Δ=max{(p-c)U,cU}。

事實上，由損失函數(shù)的定義(4)式知在任意一個階段，專家意見的最小損失值為0，最大損失值為Δ。因為最壞情形有兩種：一種是當(dāng)實際需求為U卻訂購0，此時的損失為(p-c)U；另外一種是當(dāng)實際需求為0卻訂購U，此時的損失為cU。圖1給出了收益損失函數(shù)λ與專家意見為x的關(guān)系(需求為d)。由圖1也可得出上述結(jié)論。

圖1 收益損失λ與專家意見x的函數(shù)關(guān)系

(9)

式(9)對所有的x成立，故有:

證畢。

定理1說明了決策方法waa的累積收益損失趨近于最優(yōu)專家意見的累積收益損失。事實上，有:

(10)

3 帶有回收價值的決策方法及競爭性能分析

考慮到環(huán)?？茖W(xué)技術(shù)的發(fā)展和資源的再生利用，引入回收價值對前面的多階段報童決策模型進行擴展研究。假設(shè)每單位報紙的回收價值為s，一般地有關(guān)系式p>c>s成立，而且s相對來說比較小，稱此問題為多階段報童決策的擴展模型。

(11)

(12)

進一步，根據(jù)前面的假設(shè)知：

(13)

其中：

(13)中第3個等式成立是因為d(k)≤x≤d(k+1)時，有：

類似地，有：

其中：

所以有：

(14)

因此，(14)給出了帶有回收價值的多階段報童決策方法，記此方法為ewaa。定理2以最優(yōu)專家意見的累積收益損失為基準，得到了決策方法ewaa實現(xiàn)的累積收益損失上界。

定理2 當(dāng)固定訂購量專家為集合Θ=[0,U]時，對任意N，ewaa的累積收益損失滿足

(15)

圖2 擴展模型的收益損失與專家意見x的函數(shù)關(guān)系

根據(jù)引理2有：

(16)

式(16)對所有的x成立，因此有：

(17)

4 數(shù)值算例

為驗證本文給出決策方法的競爭性能，考慮應(yīng)用WAA對某公司在未來200天內(nèi)的報紙需求量進行預(yù)測的具體算例。其中每天報紙的最大需求量為U=3 (單位: 百份)，因此專家意見有4個，其對應(yīng)的策略分別為固定訂購θ=0, 1, 2, 3單位份。在[0, 3]上隨機產(chǎn)生了200個隨機整數(shù)，并把它作為該公司在200天內(nèi)的實際報紙需求序列。分別考慮有無回收價值的情形。表1和2分別給出了決策方法waa和ewaa及各自對應(yīng)的4個專家意見(分別用exi和eexi，i=1,2,3,4表示)分別在天數(shù)N=25，N=50，N=100和N=200時的累積收益損失和累積收益。

表1和2中的結(jié)果首先驗證了用累積收益損失和用累積收益得到的結(jié)論是相同的，這從累積收益損失函數(shù)的定義(4)和(11)式也可看出：離線收益是累積收益損失與累積收益的和，且第一個專家意見ex1或eex1的累積收益損失即是離線收益，因為第一個專家意見在每天的訂購量都是0，遭受的損失即是離線收益。重要的是，從表1和2中可以看出決策方法waa和ewaa的累積收益損失與最優(yōu)專家意見的累積收益損失總是相差很小。對于算例中給出的N=25, 50, 100, 200，決策方法waa的累積收益損失與其對應(yīng)最優(yōu)專家意見的累積收益損失差值最大為4；決策方法ewaa的累積收益損失與其對應(yīng)最優(yōu)專家意見的累積收益損失差值都是-0.5。說明了在未來信息一無所知且不對報紙需求量做任何統(tǒng)計假設(shè)下，決策方法waa或ewaa的累積收益損失近似于最優(yōu)專家意見的累積收益損失。同時也說明了考慮回收價值的ewaa決策方法的累積收益損失小于最優(yōu)專家意見的累積收益損失，具有更好的競爭性能。這是因為有回收價值時，訂購過多的報紙具有價值，從而能獲得更多的收益。另外，表1中waa的累積收益損失與ex1的累積收益損失比值總是大于50%，而表2中ewaa的累積收益損失與eex1的累積收益損失比值總是小于50%，這說明了回收價值的引入能夠使得累積收益損失大大減少，具有重要的意義。比較表1和2還可看出最優(yōu)專家意見的不同。在表1中，當(dāng)N=25和N=50時，最優(yōu)專家意見是ex3；當(dāng)N=100和N=200時，最優(yōu)專家意見是ex2。在表2中，最優(yōu)專家意見都是eex3，說明了引入回收價值后的最優(yōu)專家意見是穩(wěn)定的，進一步說明了回收價值在應(yīng)用WAA進行報童決策中具有重要的作用。

為了更為直觀的說明在多階段報童決策中，無統(tǒng)計信息假設(shè)的決策方法waa和ewaa能夠追蹤最優(yōu)專家意見。圖3給出了waa和4個專家意見在200天內(nèi)的日累積收益損失和累積收益比較，圖4給出了ewaa和4個專家意見在200天內(nèi)的日累積收益損失和累積收益比較。圖3左邊的累積收益損失比較表明了waa對最優(yōu)專家意見的追蹤：大概在第100天之前，專家意見ex3的累積收益損失最?。辉诘?00天之后，專家意見ex2的累積收益損失最小，可看出表示waa決策方法的累積收益損失的紅色線越來越靠近表示專家意見ex2的累積收益損失的藍綠線，圖3右邊的累積收益比較圖進一步驗證了該結(jié)論。圖4中的累積收益損失和累積收益比較圖也說明了決策方法ewaa與最優(yōu)專家意見的漸進性。比較圖3和4，說明了回收價值的引入使得累積收益損失減少，從而使得累積收益增加。

表1 決策方法waa和4個專家意見的累積收益損失、累積收益和離線收益(p=1.5, c=1.0)

表2 決策方法ewaa和4個專家意見的累積收益損失、累積收益和離線收益(p=1.5,c=1.0,s=0.5)

圖3 決策方法waa和4個專家意見在200天內(nèi)的日累積收益損失和累積收益比較

表3 決策方法waa、ewaa及對應(yīng)專家意見在不同參數(shù)組合下的累積收益損失比較

pcswaaex1ex2ex3ex4ewaaeex1eex2eex3eex41.51.00.3123178.5119131.5244.5101.2178.5110.9100.9171.31.51.00.5123178.5119131.5244.580178.5105.580.5122.51.50.80.5122.1249.9150.4122.9195.977.4249.990.4101.973.92.01.00.5160357211161245116.5357197.5110123

表3給出了waa、ewaa及對應(yīng)專家意見在不同參數(shù)組合下的累積收益損失比較。表3得到了與直覺相一致的結(jié)果：當(dāng)不考慮回收價值時，p越大或c越小，waa的累積收益損失與最大累積收益損失的比值越小，決策方法waa表現(xiàn)出越好的競爭性能；當(dāng)考慮回收價值時，s越大或p越大或c越小，ewaa的累積收益損失與最大累積收益損失的比值越小，決策方法ewaa表現(xiàn)出越好的競爭性能。

5 結(jié)語

本文將理論計算機學(xué)科興起的集成專家意見算法應(yīng)用到多階段報童及帶有回收價值的決策問題中。在收益損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，研究了如何用WAA集成固定訂購量專家意見，給出了具體的決策方法；證明了決策方法的累積收益損失漸近于最優(yōu)專家意見的累積收益損失，并通過具體算例進一步驗證策略的合理性和可行性，說明了回收價值的引入能夠提高決策方法的競爭性能。該文給出的策略簡單可行，對類似庫存決策具有重要意義。在實際的序列決策中，同一個專家可能會在不同的階段給出不同的訂購量，稱之為超級專家意見。因此，在本文基礎(chǔ)上，進一步研究如何用WAA集成超級專家意見更具有重要現(xiàn)實意義。另外，用WAA研究報童問題的眾多擴展問題也是值得思考的一個重要方向。

圖4 決策方法ewaa和4個專家意見在200天內(nèi)的日累積收益損失和累積收益比較

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Decision-makingforMulti-periodNewsvendorProblemWithoutStatisticalInformationAssumption

ZHANG Yong1，ZHANG Wei-guo2，XU Wei-jun2

(1. School of Management, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520, China;2.School of Business Administration, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)

The Weak Aggregating Algorithm (WAA) of prediction with expert advices, which advanced in computer science, is applied to study the multi-period newsvendor problem without making statistical assumption. WAA is an exponentially weighted average algorithm that updates the expert advice’s weight according to loss function with initial weights distribution. Based on the return loss function and the expert advice of fixed stock level strategy, the decision-making method is used in this paper, which is in accord with the conclusions obtained using return function; and the case with salvage value is extended. Theoretically, it is proved that the cumulative loss the proposed decision-making method achieved does exceed that of the best expert advice. Numerical examples are presented to further illustrate the feasibility and rationality of the proposed decision-making method and explore the effect of selling and cost price on competitive performance；the results show that the introduction of salvage value greatly improves the competitive performance of the proposed decision-making method and thus presents important practical significance.

multi-period newsvendor problem; salvage value；no statistical assumption; weak aggregating algorithm；return loss function

1003-207(2015)05-0107-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.05.014

2013-05-01；

2014-02-07

教育部人文社會科學(xué)研究項目(13YJC630234, 11YJC630225)；廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計劃(Yq2013062，Yq2013060)；國家自然科學(xué)基金資助項目(71471065，71301029)

張永(1981-)，女(漢族)，河南人，廣東工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院副教授，研究方向：金融工程與在線金融算法.

F224.10

A