考慮交易成本的多階段投資組合評價方法研究

周忠寶，劉 佩，喻懷寧，馬超群，劉文斌,2

(1. 湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

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考慮交易成本的多階段投資組合評價方法研究

周忠寶1，劉 佩1，喻懷寧1，馬超群1，劉文斌1,2

(1. 湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

多階段投資組合評價是目前研究的熱點問題，本文將交易成本考慮進去，構建了考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型，基于真實前沿面定義了投資組合的效率并構建了相應的非線性模型進行計算。針對非線性模型難以求解及真實前沿面解析解難以獲得等問題，本文證明了前沿面函數(shù)為凹函數(shù)，進而利用DEA模型的前沿面來逼近真實前沿面并估計多階段投資組合的效率，最后通過仿真分析驗證了本文方法的有效性。

多階段投資組合；交易成本；績效評價；數(shù)據(jù)包絡分析

1 引言

證券投資組合的主要任務是進行有效的資產(chǎn)配置，從而實現(xiàn)最大化收益、最小化風險的投資目標。1952年，Markowitz首次采用收益率的方差度量投資組合的風險，并建立了均值-方差優(yōu)化模型[1]，為投資組合理論的發(fā)展奠定了堅實的基礎。Markowitz投資組合理論表明，投資者在進行證券投資時可以根據(jù)收益和風險兩個指標進行權衡選擇，即在期望收益相同的情況下，選擇風險較低的投資組合，在投資風險相同的情況下，選擇期望收益較高的投資組合。

在實際金融市場活動中，投資者需要根據(jù)投資環(huán)境的變化適時地調整投資組合頭寸。因此，許多學者將Markowitz均值-方差模型擴展到多階段的情形[2-4]。Li Duan和Ng[5]推導出了多階段均值-方差模型的解析最優(yōu)解。宿潔和劉家壯[6]將多階段投資組合優(yōu)化模型轉化為線性動態(tài)規(guī)劃模型。Sun Jun[7]等學者提出運用漂移粒子群算法來求解多階段投資組合優(yōu)化問題，并將該算法與粒子群優(yōu)化算法和遺傳算法進行比較，結果表明漂移粒子群算法優(yōu)于其他幾種算法。Liu Yongjun等[8]學者研究了模糊多階段投資組合優(yōu)化問題，并運用模糊決策理論和多目標規(guī)劃方法將問題轉化為非線性規(guī)劃，用一種改進的粒子群優(yōu)化算法來對模型進行求解。

上述多階段研究中并未考慮交易成本這一重要的市場摩擦因素，Kamin[9]將交易成本引入動態(tài)投資組合優(yōu)化模型中，并說明投資者的投資行為在有無交易成本的情形下完全不同。Yi Lan[10]通過引入一組輔助鞅，將考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化問題與無交易成本的優(yōu)化問題進行了對比分析。Zhang Weiguo等[11]學者在考慮投資回報、風險、交易成本和投資組合的多元化程度等指標的情況下，構建了可能性均值-半方差-熵的多階段投資組合模型，并通過混合智能算法獲得最優(yōu)投資策略。Wang Zhen和Liu Sanyang[12]研究了考慮固定比例交易成本的多階段均值-方差投資組合優(yōu)化問題，并通過引入拉格朗日乘子和定義間接效用函數(shù)來解決投資組合優(yōu)化問題。上述多階段投資組合優(yōu)化模型雖然考慮了交易成本，但是，模型的推導過程相當復雜，計算量也非常大，在實際應用中有一定的難度。

數(shù)據(jù)包絡分析(Data Envelopment Analysis, DEA)[13-14]作為一種經(jīng)濟學中常用的效率評價方法，近年來被廣泛應用于投資組合評價問題。然而現(xiàn)有研究普遍將交易成本作為一個輸入指標，直接構建DEA模型進行分析，缺乏理論依據(jù)和說服力，而且研究也僅以單階段投資組合評價問題為主，較少考慮投資組合的多階段動態(tài)特征。

考慮投資組合交易成本和多階段動態(tài)特征進行評價，能夠更準確地比較投資組合的優(yōu)劣，這不僅可以為投資者提供決策參考意見，而且可以為管理者提供投資組合優(yōu)化改進方向。本文首先建立了考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型，基于真實前沿面定義了多階段投資組合的效率和非線性效率評價模型。考慮到真實前沿面的解析解難以獲得，非線性模型的求解也非常困難，本文在證明了優(yōu)化模型的前沿面為凹函數(shù)的基礎上，用DEA前沿面來逼近真實前沿面，進而用DEA效率來估計真實效率。仿真分析的結果表明，在考慮交易成本的情況下，DEA模型可以較好地估計多階段投資組合的效率。

2 考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化和評價模型

2.1 考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型

對投資者而言，他們最關心的莫過于證券投資的收益回報率。然而，投資者進行證券交易時所需繳納的委托費、印花稅、傭金和過戶費等是其證券投資過程中必不可少的支出，本文將證券交易過程中發(fā)生的這些費用統(tǒng)稱為交易成本。事實上，偏高的交易成本對投資者的收益具有嚴重的侵蝕作用，尤其是當初始資金量較少時，資金的分散化投資可能導致偏高的交易成本。因此，交易成本是投資者進行決策時不容忽視的一個重要因素。

本文以Calafiore[15]提出的Open-loop多階段投資組合優(yōu)化問題為基礎。Open-loop控制策略也叫無反饋控制策略(Non-feedback control)，它假定投資者在投資期初就計算和固定了整個投資過程中各階段的最優(yōu)投資策略，其特點是計算輸入系統(tǒng)時只使用系統(tǒng)的當前狀態(tài)，而不使用反饋來確定輸出是否達到了預期目標。根據(jù)Calafiore的研究，本文假定投資策略為確定型變量，采用Open-loop控制策略來尋求多階段投資組合優(yōu)化模型在平均意義下的最優(yōu)解。

maxE(RT)

(1)

需要特別說明的是，模型(1)并沒有限定收益測度和風險測度的具體形式，從而使得其更具有一般性，如果收益測度為最終財富的期望、風險測度為最終財富的方差，則對應于常用的均值-方差模型。

類似地，可以建立在給定收益水平下，最小化風險的優(yōu)化模型，進而采用文中的思路構建相應的風險導向的評價模型，限于篇幅，不再贅述。

本文假定交易成本是一次性產(chǎn)生的，且不具有時間價值，接下來主要考慮三種常見的凸交易成本，即線性交易成本、V型交易成本和分段線性凸交易成本這三種情形：

分段線性凸交易成本假設第i種資產(chǎn)的交易成本是交易額的分段線性函數(shù)，且為凸函數(shù)。K段線性凸交易成本可表示為：

kj≥0,j=1,…,K-1

2.2 考慮交易成本的多階段投資組合效率的定義

根據(jù)優(yōu)化模型(1)，可以得到第T階段末最終收益-風險前沿面，根據(jù)經(jīng)典經(jīng)濟學中技術效率的定義，可以將待評價投資組合投影到該前沿面上，進而根據(jù)投資組合與投影點的距離來評價投資組合的效率。在圖1中，橫坐標為風險測度，縱坐標為收益測度，曲線AB為Open-loop多階段投資組合優(yōu)化模型的前沿面，P表示某一待評價的投資組合。

圖1 多階段投資組合的效率

根據(jù)上面的討論，我們可以基于多階段投資組合真實前沿面來定義兩種類型的效率：

定義1：多階段投資組合的效率

2.3 考慮交易成本的多階段投資組合評價模型

根據(jù)優(yōu)化模型(1)，可以建立收益導向下的多階段投資組合效率評價模型：

maxφ

(2)

投資組合效率的計算依賴于投資組合優(yōu)化模型(1)的前沿面，然而，前沿面的解析解難以獲得。此外，模型(2)是隨機非線性規(guī)劃模型，求解異常困難。鑒于此，本文接下來將證明投資組合優(yōu)化模型(1)的前沿面為凹函數(shù)，以此為基礎，用DEA前沿面來逼近真實前沿面，進而用DEA模型來估計投資組合的效率。

3 考慮交易成本的多階段投資組合DEA評價方法

3.1 考慮交易成本的多階段投資組合前沿面的凹性

在模型(1)中，et是定義在概率空間(Ω,F,P)上的實值隨機向量，表示資產(chǎn)在第t階段的收益率。xt為決策變量，表示資產(chǎn)在第t階段的投資比例，其構成的集合Π為決策空間。由最終財富的產(chǎn)生過程可知，隨機向量泛函RT是關于xt和et的函數(shù)。在Open-loop投資組合優(yōu)化模型(1)中，隨機向量泛函RT的隨機性只與收益率et有關。一般假定et為連續(xù)型隨機變量，根據(jù)決策空間Π的凸性可知，從而可以假定隨機向量泛函RT為連續(xù)型隨機變量，且RT能取遍實數(shù)軸某段區(qū)間上的所有實數(shù)點，即RT構成的集合為凸集。

定義2： 風險測度與收益測度的凸凹性

成立，則稱Var為定義在Θ上的凸風險測度。如果有：

定理1：當風險測度Var(RT)為定義在Θ→R上實值可測的凸函數(shù)，收益測度E(RT)為定義在Θ→R上實值可測的凹函數(shù)，且隨機向量泛函RT構成的集合Θ為凸集，則模型(1)所確定的前沿面是凹函數(shù)。

根據(jù)凹函數(shù)的定義可知f(v)是凹函數(shù)，即模型(1)確定的前沿面是凹函數(shù)。

3.2 考慮交易成本的多階段投資組合DEA評價模型

上一小節(jié)證明了考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型(1)的前沿面為凹函數(shù)，根據(jù)Banker等[14]的逼近性原理，當前沿面為凹函數(shù)(生產(chǎn)可能集為凸集)時，隨著樣本量的增加，DEA模型的前沿面將逐漸逼近真實的前沿面?；诖?，我們可以構建相應的DEA模型來評價考慮交易成本的多階段投資組合的效率。

考慮交易成本的多階段投資組合效率評價DEA模型(收益導向)可以表示為：

maxφj0

(3)

4 仿真分析

本文仿真分析將采用LiDuan和Ng[5]的數(shù)據(jù)，假定投資期間T=2，初始財富R0=1，并假設證券市場上有三種資產(chǎn)，資產(chǎn)在各階段的統(tǒng)計特性如下：

E(et)=[1.162,1.246,1.228]，t=1,2

在接下來的仿真分析中，我們以最終財富的期望為收益測度，以最終財富的方差為風險測度。

當交易成本為線性交易成本時，資產(chǎn)是不允許賣空的。假定買入時交易費率為1%，即：

kt=[0.01, 0.01, 0.01]，t=1,2

當交易成本為V型交易成本時，資產(chǎn)是允許賣空的，同樣假定資產(chǎn)買賣時交易費率為1%，即：

當交易成本為分段線性凸交易成本時，資產(chǎn)是不允許賣空的。假設交易成本分為兩段，交易費率分別為：

圖2-圖4給出了不同類型交易成本下，不同樣本量DEA前沿面的比較圖。由圖可知，當投資組合樣本量逐漸增大時，DEA前沿面越來越靠近于真實前沿面。且樣本量為5000時的DEA前沿面與樣本量為2000時的DEA前沿面幾乎重合。因此，根據(jù)Banker等[14]學者的逼近性原理，我們可以用樣本量為5000時的DEA前沿面來近似地作為真實前沿面。

圖2 線性交易成本下的前沿面比較

圖3 V型交易成本下的前沿面比較

圖4 分段線性凸交易成本下的前沿面比較

以樣本量5000時的DEA前沿面作為近似前沿面，分別將100、200和500組投資組合作為待評價的決策單元，投影到該近似前沿面上，進而根據(jù)定義1計算投資組合的效率。然后直接利用DEA模型(3)計算100、200和500組投資組合的效率。兩種方法計算出來的效率的相關系數(shù)和效率排名的相關系數(shù)如表1-表3所示。

表1 線性交易成本下的相關性分析(收益導向)

表2 V型交易成本下的相關性分析(收益導向)

表3 分段線性凸交易成本下的相關性分析(收益導向)

由表1-表3可知，基于近似前沿面計算的效率與DEA模型估計的效率之間的相關系數(shù)均在0.9以上，且效率排名的相關系數(shù)也比較高，表明采用DEA模型評價考慮交易成本的多階段投資組合的效率是可行的。

經(jīng)過多次仿真分析，我們發(fā)現(xiàn)，對于線性交易成本、V型交易成本和分段線性凸交易成本，當樣本量足夠大時，基于數(shù)據(jù)的DEA前沿面的變動幅度越來越小，幾乎重疊。且樣本量越大，所形成的投資組合可能集越大。另外，基于數(shù)據(jù)的DEA模型計算的效率與依據(jù)多階段投資組合效率定義所計算的效率有很高的相關性。這都表明DEA模型可以較好地估計考慮交易成本的多階段投資組合的效率。

5 結語

本文假定投資策略為確定型變量，通過累積財富將各階段聯(lián)系起來，建立了最大化最終收益和最小化風險的Open-loop多階段投資組合優(yōu)化模型?；趦?yōu)化模型的真實前沿面，給出了多階段投資組合在收益導向和風險導向下效率的具體定義，并構建了不同導向下的多階段投資組合效率評價模型。考慮到真實前沿面的解析解難以獲取，效率評價模型的隨機非線性特征等實際應用中的問題，本文證明了優(yōu)化模型的前沿面為凹函數(shù)，以此為基礎用DEA前沿面來逼近真實前沿面，構建了收益導向和風險導向的DEA模型來評價考慮交易成本的多階段投資組合的效率。由于DEA模型是線性規(guī)劃模型，因而可以大大降低求解的復雜度。仿真分析的結果表明，DEA模型可以較好地估計考慮交易成本的多階段投資組合的效率，具有較強的實用性。

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Performance Evaluation of Multi-period Portfolios on Considering Transaction Costs

ZHOU Zhong-bao1，LIU Pei1,YU Huai-ning1,MA Chao-qun1,LIU Wen-bin2,1

(1. School of Business Administration, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE, England)

Multi-period portfolio evaluation is a hot topic in financial studies. By taking transaction costs into consideration, a multi-period portfolio optimization model is proposed. Based on the real frontier, the definition of multi-period portfolio efficiency and the corresponding nonlinear model are constructed. Due to the lack of analytical solutions of frontier and difficulties in solving the nonlinear model, it is proved that the true portfolio frontier is concave, and then DEA model is used to approximate the frontier and estimate the efficiencies of multi-period portfolios with transaction costs. The validity of the proposed method is illustrated by simulation in the end.

multi-period portfolios; transaction costs; performance evaluation; data envelopment analysis

1003-207(2015)05-0001-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.05.001

2014-03-19；

2014-09-02

國家自然科學基金資助項目(71371067，71431008);國家社會科學基金資助項目(12CGL023)

周忠寶(1977-)，男(漢族)，山東齊河人，湖南大學工商管理學院教授，博士生導師，研究方向：金融工程與風險管理、系統(tǒng)優(yōu)化與決策.

F830.59

A