以分式作利器，解生活之難題

王祖韜

分式方程廣泛應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)、生活中，因此列分式方程解決實(shí)際問題成為近幾年中考的熱點(diǎn)，也是今后中考命題的發(fā)展趨勢. 近年來的中考中經(jīng)常結(jié)合實(shí)際生活進(jìn)行命題，生活氣息越來越濃，與我們生活息息相關(guān)的試題越來越多地出現(xiàn)在各地的中考試卷中，例如工作效率問題、行程問題、銷售問題、方案設(shè)計(jì)問題等，題型以解答題為主難度稍大，學(xué)科內(nèi)的綜合問題，學(xué)科間交叉題均可出現(xiàn). 解決這類問題的關(guān)鍵是找出題中蘊(yùn)含的相等關(guān)系，據(jù)此列出方程，另外還應(yīng)注意檢驗(yàn). 本文將結(jié)合2014年中考題談?wù)勥@類問題的分析解答過程，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、 工程問題

例1 （2014·廣東梅州）某校為美化校園，計(jì)劃對面積為1 800 m2的區(qū)域進(jìn)行綠化，安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成. 已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的2倍，并且在獨(dú)立完成面積為400 m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天.

（1）求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積分別是多少m2？

（2）若學(xué)校每天需付給甲隊(duì)的綠化費(fèi)用為0.4萬元，乙隊(duì)為0.25萬元，要使這次的綠化總費(fèi)用不超過8萬元，至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作多少天？

【分析】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是x m2，根據(jù)在獨(dú)立完成面積為400 m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天，列出方程，求解即可；

（2）設(shè)至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作x天，根據(jù)這次的綠化總費(fèi)用不超過8萬元，列出不等式，求解即可.

解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是x m2，根據(jù)題意得：-=4，

解得：x=50.

經(jīng)檢驗(yàn)x=50是原方程的解.

則甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是50×2=100（m2），

答：甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積分別是100 m2、50 m2.

（2）設(shè)至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作y天，根據(jù)題意得：

0.4y+×0.25≤8，

解得：y≥10.

答：至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作10天.

【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析題意，找到合適的數(shù)量關(guān)系列出方程和不等式，解分式方程時(shí)要注意檢驗(yàn).

二、 行程問題

例2 （2014·湖北襄陽）甲、乙兩座城市的中心火車站A、B兩站相距360 km. 一列動(dòng)車與一列特快列車分別從A、B兩站同時(shí)出發(fā)相向而行，動(dòng)車的平均速度比特快列車快54 km/h，當(dāng)動(dòng)車到達(dá)B站時(shí)，特快列車恰好到達(dá)距離A站135 km處的C站. 求動(dòng)車和特快列車的平均速度各是多少？

【分析】設(shè)特快列車的平均速度為x km/h，則動(dòng)車的平均速度為（x+54）km/h，等量關(guān)系：動(dòng)車行駛360km與特快列車行駛（360-135）km所用的時(shí)間相同，列方程求解.

解：設(shè)特快列車的平均速度為x km/h，

則動(dòng)車的平均速度為（x+54）km/h，

由題意，得：=，

解得：x=90，

經(jīng)檢驗(yàn)得：x=90是這個(gè)分式方程的解.

x+54=144.

答：特快列車的平均速度為90 km/h，動(dòng)車的平均速度為144 km/h.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，得到等量關(guān)系：動(dòng)車行駛360 km與特快列車行駛（360-135）km所用的時(shí)間相同.

三、 銷售問題

例3 （2014·山東泰安）某超市用3 000元購進(jìn)某種干果銷售，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥9 000元資金購進(jìn)該種干果，但這次的進(jìn)價(jià)比第一次的進(jìn)價(jià)提高了20%，購進(jìn)干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千克，如果超市按每千克9元的價(jià)格出售，當(dāng)大部分干果售出后，余下的600千克按售價(jià)的8折售完.

（1）該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克多少元？

（2）超市銷售這種干果共盈利多少元？

【分析】（1）設(shè)該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克x元，則第二次進(jìn)價(jià)是每千克（1+20%）x元. 根據(jù)第二次購進(jìn)干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千克，列出方程，解方程即可求解；

（2）根據(jù)利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，可求出結(jié)果.

解：（1）設(shè)該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克x元，則第二次進(jìn)價(jià)是每千克（1+20%）x元，

由題意，得=2×+300，

解得x=5，

經(jīng)檢驗(yàn)x=5是方程的解.

答：該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克5元.

（2）

+-600×9+600×9×80%-（3 000+9 000）=（600+1 500-600）×9+4 320-12 000=1 500×9+4 320-12 000=13 500+4 320-12 000=5 820（元）.

答：超市銷售這種干果共盈利5 820元.

【點(diǎn)評】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

四、 方案設(shè)計(jì)問題

例4 （2014·黑龍江牡丹江）學(xué)校計(jì)劃選購甲、乙兩種圖書作為“校園讀書節(jié)”的獎(jiǎng)品. 已知甲種圖書的單價(jià)是乙種圖書單價(jià)的1.5倍；用600元單獨(dú)購買甲種圖書比單獨(dú)購買乙種圖書要少10本.

（1）甲、乙兩種圖書的單價(jià)分別為多少元？

（2）若學(xué)校計(jì)劃購買這兩種圖書共40本，且投入的經(jīng)費(fèi)不超過1 050元，要使購買的甲種圖書數(shù)量不少于乙種圖書的數(shù)量，則共有幾種購買方案？

【分析】（1）總費(fèi)用除以單價(jià)即為數(shù)量，設(shè)乙種圖書的單價(jià)為x元，則甲種圖書的單價(jià)為1.5x元，根據(jù)兩種圖書數(shù)量之間的關(guān)系列方程；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種圖書a本，則購進(jìn)乙種圖書（40-a）本，根據(jù)“投入的經(jīng)費(fèi)不超過1 050元，甲種圖書數(shù)量不少于乙種圖書的數(shù)量”列出不等式組解決問題.

解：（1）設(shè)乙種圖書的單價(jià)為x元，則甲種圖書的單價(jià)為1.5x元，由題意得-=10，解得：x=20.

經(jīng)檢驗(yàn)得：x=20是這個(gè)分式方程的解，

則1.5x=30.

答：甲種圖書的單價(jià)為30元，乙種圖書的單價(jià)為20元.

（2）設(shè)購進(jìn)甲種圖書a本，則購進(jìn)乙種圖書（40-a）本，根據(jù)題意得

30a+20（40-a）≤1 050，

a≥40-a，

解得：20≤a≤25，

所以a=20、21、22、23、24、25，則40-a=20、19、18、17、16、15共6種方案.

【點(diǎn)評】此題考查分式方程的運(yùn)用、一元一次不等式組的運(yùn)用，關(guān)鍵是理解題意，抓住題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系解決問題.

列分式方程解決實(shí)際問題與列一元一次方程解決實(shí)際問題的基本思路和基本方法是一樣的，關(guān)鍵是仔細(xì)審題，認(rèn)真分析，探索出問題中的等量關(guān)系，列出方程. 但分式方程解應(yīng)用題過程中還要注意進(jìn)行“雙檢驗(yàn)”，既要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是否為所列方程的增根，又要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）