掌握基礎(chǔ) 提高能力

顏世波

中心對稱圖形在日常生活中極為常見，本章先是研究了圖形的旋轉(zhuǎn)，然后過渡到中心對稱與中心對稱圖形，進(jìn)而到中心對稱圖案的設(shè)計，接著研究屬于中心對稱的四邊形——平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念、性質(zhì)及判定，最后介紹了三角形中位線的有關(guān)問題. 從生活到實踐，從實踐到探索，從探索到發(fā)現(xiàn)，從發(fā)現(xiàn)到歸納，再把歸納的理論、總結(jié)的知識應(yīng)用到實際問題中. 要掌握本章的知識，務(wù)必掌握以下幾個要點：

一、 旋轉(zhuǎn)的定義及旋轉(zhuǎn)對稱的理解

在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.

【注意】將一個圖形繞一個定點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，意味著圖形上的每個點同時都按相同的方向轉(zhuǎn)動相同的角度.

例1 下列現(xiàn)象中屬于旋轉(zhuǎn)的有（ ）.

①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉(zhuǎn)動；④水龍頭開關(guān)的轉(zhuǎn)動；⑤鐘擺的運(yùn)動；⑥蕩秋千運(yùn)動.

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

【分析】圖形的運(yùn)動有三種：平移，翻折，旋轉(zhuǎn). 其中①②屬于平移，而③④⑤⑥屬于旋轉(zhuǎn).

【答案】C

【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的定義.

二、 中心對稱的定義及中心對稱的基本性質(zhì)的理解

兩葉片圖，圖1左邊的葉片只要繞一定點，順（或逆）時針旋轉(zhuǎn)180°便會得到右邊的葉片，同樣右邊的葉片繞一定點，順（或逆）時針旋轉(zhuǎn)180°也會得到左邊的葉片，圖2風(fēng)車的變換說法同上，這種旋轉(zhuǎn)變換也叫中心對稱變換. 這個定點是兩葉片任一對應(yīng)點連線的中點，這個定點我們稱它為對稱中心.

【注意】中心對稱有一個對稱中心，將一個圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°（特殊旋轉(zhuǎn)）后與另一個圖形重合.

例2 下列四組圖形中，屬于中心對稱的圖形是_____.

【分析】中心對稱的特征是將一個圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°（特殊旋轉(zhuǎn)）后與另一個圖形重合.

【答案】①②③

【點評】本題考查的是中心對稱的定義.

三、 中心對稱圖形定義的理解

把一個平面圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

【注意】（1）中心對稱圖形有一個對稱中心，將這個圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合.

（2）中心對稱圖形是對一個圖形來說的，是一個圖形所具有的性質(zhì).

（3）中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別：①中心對稱是指兩個圖形的關(guān)系，中心對稱圖形是指一個具有某種性質(zhì)的圖形；②成中心對稱的兩個圖形的對稱點分別在兩個圖形上，中心對稱圖形的對稱點在一個圖形上. 中心對稱與中心對稱圖形的聯(lián)系：若把中心對稱圖形的兩部分看成兩個圖形，則它們成中心對稱；若把中心對稱的兩個圖形看成一個整體，則它是中心對稱圖形.

例3 在下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（ ）.

A B C D

【分析】確定中心對稱圖形的關(guān)鍵是：這個圖形繞圖形上的某一點旋轉(zhuǎn)180°后是否仍能與圖形本身重合. A繞中心旋轉(zhuǎn)72°與本身重合，B繞中心旋轉(zhuǎn)120°與本身重合，D為軸對稱圖形，只有C繞中心旋轉(zhuǎn)90°、180°均能與本身重合.

【答案】C

【點評】解此類題必須嚴(yán)格按照軸對稱及中心對稱圖形的概念、特征去判定.

四、 平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定的應(yīng)用

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形用符號“?”表示. 如平行四邊形ABCD記作?ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”.

【注意】（1）平行四邊形的定義有兩層意思：①是四邊形；②兩組對邊分別平行. 這兩個條件缺一不可.

（2）平行四邊形的定義是判定一個四邊形是否平行四邊形的重要依據(jù)之一.

例4 在?ABCD中，∠A∶∠B=2∶3，求∠A、∠B的度數(shù).

【分析】由平行

四邊形的定義可知，對邊平行，相鄰的角是互補(bǔ)的，所以∠A+∠B=180°，由此可列式求出角度.

【答案】因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC，所以∠A+∠B=180°. 又因為∠A∶∠B=2∶3，不妨設(shè)∠A=2k，則∠B=3k，即2k+3k=5k=180°，解出k=36°，所以∠A=2k=72°，∠B=3k=108°.

【點評】本題中已知∠A∶∠B=2∶3，只需根據(jù)已知條件再找出關(guān)于∠A、∠B的一組等量關(guān)系，即可列出方程.

例5 下列條件中，可以確定一個四邊形是平行四邊形的是（ ）.

A. 一組對邊平行，一組對角相等

B. 一組對邊平行，一組鄰角互補(bǔ)

C. 一組對邊平行，另一組對邊相等

D. 兩條對角線互相垂直

【分析】產(chǎn)生錯解的原因是沒有準(zhǔn)確理解平行四邊形的判定條件. 在A中，由條件可知另一組對邊也平行.

【答案】A

【點評】產(chǎn)生錯誤的原因：（1）不能正確理解平行四邊形的性質(zhì)；（2）錯誤地運(yùn)用平行四邊形的判定條件.

五、 矩形的定義、性質(zhì)及判定方法的理解

矩形的定義是學(xué)習(xí)矩形及其他知識的基礎(chǔ)，是考試的一個熱點，它既可以看做是矩形的性質(zhì)，又可以看做是矩形的判別方法. 一個四邊形要滿足是矩形必須同時具備兩個條件：（1）四邊形是平行四邊形；（2）四邊形的一個角為直角. 兩者缺一不可.

【注意】（1）矩形的定義是建立在平行四邊形的條件下的，若給出的四邊形不是平行四邊形，就算給出一個角是直角，也不能判斷該四邊形是矩形. （2）矩形的定義也是矩形的最基本的判定方法，通常先說明一個四邊形是平行四邊形，再確定一個角是直角即可.

例6 下列命題正確的是（ ）.

A. 對角線相等的平行四邊形是矩形

B. 一組對邊平行，且有一個角是直角的四邊形是矩形

C. 對角線相等的四邊形是矩形

D. 對角線互相垂直平分的四邊形是矩形

【分析】本題考查的是矩形的判定. 所以同學(xué)們務(wù)必要理解判定一個四邊形是矩形的方法.

【答案】A

【點評】由于受到矩形的對角線相等的影響，誤以為“對角線相等的四邊形是矩形”.

六、 菱形的定義、性質(zhì)及判定方法的理解

菱形的定義是最基本的概念，是得出其他相關(guān)知識的基礎(chǔ)，同學(xué)們必須熟練掌握. 該定義可以看做菱形的判別方法，一個四邊形只需滿足下列兩個條件便是菱形：（1）平行四邊形；（2）一組鄰邊相等. 這兩個條件也可以看做是菱形的性質(zhì)，只要告訴某四邊形是菱形，便有該四邊形是平行四邊形，且一組鄰邊相等.

【注意】菱形是特殊的平行四邊形，特殊在邊這一元素上.

例7 在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形ABCD是菱形，所添加的條件是_________.

【分析】解決菱形概念問題，必須緊扣定義.

【答案】AB=BC（或BC=CD或CD=AD）.

【點評】要注意菱形的定義.

七、 正方形的定義、性質(zhì)及判定方法的理解

（1）正方形的定義有三個條件：①有一組鄰邊相等；②有一個直角；③是平行四邊形. 三個條件必須同時具備，缺一不可. （2）由定義可知正方形既是矩形，又是菱形.

【注意】正方形既是一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形，如果缺少任何一個條件結(jié)論都是錯誤的.

例8 如圖4所示，四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加的條件是_________.

【分析】應(yīng)該增加一個是矩形的條件.

【答案】AC=BD或∠ABC=90°（答案不唯一）.

【點評】正方形：既是矩形，又是菱形的四邊形.

八、 三角形中位線的定義及性質(zhì)的理解

例9 如圖5所示，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，BE平分∠ABC的外角，且AE⊥BE.

求證：OE=（AB+BC）.

【分析】在?ABCD中，隱含了點O是AC的中點.延長AE交CB的延長線于點F，易證明點E是AF的中點，就可以利用中位線性質(zhì)了.

證明：延長AE交CB的延長線于點F.

∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠FEB=90°，

∵∠ABE=∠FBE，BE=BE，

∴△ABE≌△FBE，AE=EF，AB=FB.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AO=OC，∴OE是△AFC的中位線，OE=FC，

∴OE=（FB+BC），∴OE=（AB+BC）.

【點評】三角形中位線是數(shù)形結(jié)合的典型范例，它的用途廣泛，能把大小關(guān)系與位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，在運(yùn)用時要與中線區(qū)別開.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)外國語學(xué)校）