由一道中考題的解法探究引發(fā)的思考

吳曙 梁宇 鄒循東

【關(guān)鍵詞】中考題 解法分析 教學(xué)啟示

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）04A-

0022-02

數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。在課堂教學(xué)過程中，為了提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，克服思維定勢(shì)帶來的局限性，產(chǎn)生更多的創(chuàng)造性的成果，教師可以通過一題多解的教學(xué)來達(dá)到這個(gè)目的。以下是江蘇省泰州市的一道中考題，筆者通過對(duì)其解法進(jìn)行探究，拋磚引玉，希望能引起教師的關(guān)注，在今后的教學(xué)中有針對(duì)性地進(jìn)行訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力。

1.例題呈現(xiàn)

如圖，已知直線l與☉O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=5，OA與☉O相交于點(diǎn)P，AB與☉O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)C.

（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）若PC=2，求☉O的半徑和線段PB的長(zhǎng).

（3）若在☉O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求☉O的半徑r的取值范圍.

2.解法分析

以該題的（1）問為例，試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系。通過觀察及日常解題經(jīng)驗(yàn)我們可以猜測(cè)AB=AC，以下只需找出能證明其成立的條件即可?；仡櫝踔兴鶎W(xué)知識(shí)，可以聯(lián)想到判斷兩條線段相等的常用方法和涉及的定理有以下幾種：

2.1 關(guān)于三角形的性質(zhì)及定理

①兩線段是等腰三角形的兩腰，證明等角對(duì)等邊.

②證明兩個(gè)三角形全等，可得出對(duì)應(yīng)邊相等.

③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊.

④線段中垂線性質(zhì)，即線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

⑤角平分線性質(zhì)，即角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.

2.2 關(guān)于特殊四邊形的性質(zhì)及定理

①平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分.

②矩形的對(duì)角線互相平分且相等，菱形的四邊相等.

③等腰梯形兩腰相等，兩條對(duì)角線相等.

2.3 圓

①同圓或等圓的半徑相等.

②利用圓的軸對(duì)稱性，即垂徑定理及其推論.

③從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等.

此外，還有等量代換法，計(jì)算證明法，如面積法、相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例等性質(zhì)均可以證明線段相等。

分析此題的已知條件，可以發(fā)現(xiàn)給一定圓，作圓的切線后求與圓相關(guān)的線段間的關(guān)系。而此時(shí)結(jié)合圖形可以看出圖中的基本幾何圖形包括三角形、直角三角形以及圓等，可以主要考慮在三角形中或者圓中求解線段的數(shù)量關(guān)系。

3.解法探究

解法一：

連接OB

∵AB切☉O于B，OA⊥AC

∴∠OBA=∠OAC=90°

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°

∵OP=OB

∴∠OBP=∠OPB

∵∠OPB=∠APC

∴∠ACP=∠ABC

∴AB=AC

解法二：

連接OB，過點(diǎn)A作AE⊥BC交于點(diǎn)E

∵OA⊥AC，AE⊥

BC

∴∠OAC=∠AEC=90°

∴∠CAE+∠EAP=90°，∠CAE+∠ECA=90°

∴∠EAP=∠ECA

∵AB切☉O于B，AE⊥BC

∴∠OBA=∠PEA=90°

∴∠OBP+∠PBA=90°，∠EAP+∠EPA=90°

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBP

且∠OPB=∠EPA

∴∠OBP=∠EPA

∴∠PBA=∠EPA=∠ECA

∴AB=AC

解法三：

連接OB，過點(diǎn)P作PF⊥AB交于點(diǎn)F

∵AB切☉O于B

∴AB⊥OB

又∵PF⊥AB

∴PF∥OB

∴∠FPB=∠OBP

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBP

且∠OPB=∠APC

∴∠FPB=∠APC

又∵OA⊥AC，PF⊥AB

∴Rt△FPB∽R(shí)t△APC

∴∠ABP=∠ACP

∴∴AB=AC

解法四：

連接OB，過點(diǎn)P作PG⊥OB交于點(diǎn)G

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBC

又∵∠CPA=∠OPB

∴∠CPA=∠OBC

∵OA⊥AC，OG⊥OB

∴∠CAP=∠PGB=90°

∴Rt△CAP∽R(shí)t△PGB

∴∠BCA=∠BPG

又∵AB⊥OB，PG⊥OB

∴AB∥PG

∴∠BPG=∠CBA

∴∠CBA=∠BCA

∴AB=AC

解法五：

連接OB，過點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H

∵AB切☉O于B，BH⊥AC

∴∠ABO=∠BHC=90°

∴∠ABC+∠OBC=90°，∠BCH+∠CBH=90°

又∵OA⊥AC，BH⊥AC

∴OA∥BH

∴∠CPA=∠CBH

又∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBC

且∠OPB=∠OBC

∴∠ABC=∠BCH

∴AB=AC

解法六：

連接OB，過點(diǎn)B作BI⊥BC交AC于點(diǎn)I

∵AB切☉O于B，BI⊥BC

∴∠ABO=∠CBI=90°

∴∠ABC+∠OBC=90°，∠ABC+∠ABI=90°

∴∠OBC=∠ABI

∵OA⊥AC

∴∠OAB+∠BAI=90°

∴∠O=∠BAI

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBP

且∠CPB=∠OBP，∠OBP=∠ABI

∴∠CPA=∠ABI

∵∠PCA+∠CPA=90°，∠PBA+∠ABI=90°

∴∠PCA=∠PBA

∴AB=AC

解法七：

連接OB，過點(diǎn)B作BJ⊥OA交于點(diǎn)J

∵AB切☉O于B，BJ⊥OA

∴∠ABO=∠BJP=90°

∴∠ABC+∠OBC=90°，∠JBP+∠OPB=90°

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBC

∴∠ABC=∠JBP

∵BJ⊥OA，AC⊥OA

∴BJ∥AC

∴∠JBP=∠ACB

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

解法八：

連接OB，過點(diǎn)O作OK⊥BC交于點(diǎn)K

∵OK⊥BC，OA⊥AC，且∠OPK=∠CPA

∴Rt△OPK∽R(shí)t△OPA

∴∠ACP=∠KOP

∵OP=OB，OK⊥BC

∴∠KOP=∠BOK

∵AB切☉O于B

∴∠OBK+∠CBA=90°

又∵∠BOK+∠OBK=90°

∴∠BOK=∠CBA

∴∠CBA=∠ACP

∴AB=AC

通過分析此題的一題多解過程，可以給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)提供以下啟示：

1.一題多解可以提高學(xué)生興趣，吸引學(xué)生注意，達(dá)到最佳的課堂效果。從一種解決方法拓展出多種解決方法，舉一反三，充分展示了數(shù)學(xué)知識(shí)體系是一種螺旋上升的過程。與此同時(shí)，一題多解不僅吸引了學(xué)生的興趣，促進(jìn)了學(xué)生多種感官的積極參與，提高了思維的興奮點(diǎn)，還達(dá)到了最佳的訓(xùn)練效果。

2.一題多解有利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，挖掘條件之間的隱含關(guān)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)是按照知識(shí)點(diǎn)分散學(xué)習(xí)，而在解題時(shí)，尤其是遇到這種綜合性的題目，面對(duì)題目中所給的眾多的已知條件，要學(xué)會(huì)判斷這些條件間或明或暗的聯(lián)系，這就考察了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)間內(nèi)在聯(lián)系的綜合分析與運(yùn)用能力。因此，在解題時(shí)要鼓勵(lì)學(xué)生大膽想象，大膽猜測(cè)，密切聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在邏輯，挖掘條件間的隱含關(guān)系，大膽探索，勇于實(shí)踐。

3.一題多解促進(jìn)師生對(duì)數(shù)學(xué)問題多角度、多方位、多層次的討論和思考。通過“一題多解”的設(shè)置，可以促進(jìn)師生思維的有效互動(dòng)，消除學(xué)生的思維定式，拓展學(xué)生思維的寬度和廣度，不拘泥于單一的思想方法和解題思維，增強(qiáng)學(xué)生做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的信心。

4.一題多解能夠豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展。在這道題中，通過建立已知條件與所需條件間的關(guān)系，讓學(xué)生在解題過程中既復(fù)習(xí)了有關(guān)圓的知識(shí)與性質(zhì)，又豐富了兩線段相等判定條件與性質(zhì)、定理，還讓學(xué)生體驗(yàn)到了成功的喜悅，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維和推理能力，關(guān)注了學(xué)生創(chuàng)造性思維和實(shí)踐能力的發(fā)展。

（責(zé)編 黃珍平）