非局部時滯競爭擴散系統(tǒng)行波解*

吳福珍

(浙江水利水電學(xué)院基礎(chǔ)部, 浙江 杭州 310018)

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非局部時滯競爭擴散系統(tǒng)行波解*

吳福珍

(浙江水利水電學(xué)院基礎(chǔ)部, 浙江 杭州 310018)

研究了非局部時滯競爭系統(tǒng)行波解。將不動點定理與廣義上下解結(jié)合證明了行波解的存在性, 利用壓縮矩形的思想得到了行波解的漸近性態(tài), 最后利用漸近傳播理論研究了行波解的不存在。

壓縮矩形; 漸近傳播; 入侵與共存

本文研究如下具有非局部時滯競爭系統(tǒng)的行波解[1-2]

(1)

這里

其中di,ai,bi,ci是正常數(shù),x∈R,t>0, 并且gi,i=1,2,3,4,是種群動力系統(tǒng)中描述個體在歷史上隨機游走的核函數(shù)[3-5]，且滿足

gi(-x,t)=gi(x,t),

(2)

顯然, 方程(1)有一個平凡的平衡點E0=(0,0),兩個半平凡的穩(wěn)定態(tài)

如果a2+b2>c1,a1+b1>c2或a2+b2

在方程(1)中取一些特殊的核函數(shù)時, 其行波解已被廣泛研究。特別地, 如果gi(x,t)=δ(x)δ(t)(此處δ(·)是狄拉克函數(shù)), 此時系統(tǒng)(1)變成

(3)

方程(3)的行波解已有許多重要結(jié)果。特別是文獻(xiàn)[6-8]等對連接E0與E*的行波解進(jìn)行了研究, 這類行波解刻畫了種群動力學(xué)中兩個競爭物種的同步入侵。為了刻畫一個入侵者和原住者之間的動力學(xué)性質(zhì)，需要研究連接E1與E2行波解的最小波速, 見文獻(xiàn)[9-12]。

當(dāng)系統(tǒng)(1)僅僅涉及時間時滯, 則其形式之一如下

(4)

這里τ1,τ2,τ3,τ4是非負(fù)常數(shù)。在文獻(xiàn)[13-15]中, 證明了當(dāng)τ1,τ3足夠小時, 方程(4)行波解的存在性問題。文獻(xiàn)[16]進(jìn)一步考慮了涉及分布時滯的競爭擴散系統(tǒng)(1)的行波解。

近來, 文獻(xiàn)[13,14]中的方法被推廣到方程(1)中。例如, 文獻(xiàn)[2]研究了連接E0與E*的行波解的存在性。具體說來, 通過構(gòu)造上下解, 文獻(xiàn)[2]在如下條件下得到了行波解的存在性條件:

(ii)當(dāng)涉及種內(nèi)競爭時, 時滯是非常的小同時非局部效應(yīng)非常的微弱；

(iii)g1,g3采取八種特殊形式。

事實上, 在許多模型研究中, 最小波速度是一種非常重要的工具[17-18]。 也就是當(dāng)波速小于某個閾值時, 方程 (1) 沒有一個連接E0與E*的正的行波解, 但是該結(jié)論尚未被證明。 同時對于一般的核函數(shù)gi,很難利用與文獻(xiàn)[2,13-14]中相似的方法去驗證上下解。本文的目的就是研究方程(1)的最小波速度。

受文獻(xiàn)[16]的啟發(fā), 通過構(gòu)造容易被驗證的廣義上下解來證明行波解的存在性。為了研究行波解的漸近行為, 使用了漸近傳播理論與壓縮矩形的思想。最后, 利用漸近傳播理論證明了行波解的不存在性。因此在一定條件下證明了,c0是連接E0與E*的行波解的最小波速, 這樣就完善了文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果。

1 行波解的存在性

設(shè)X是如下函數(shù)空間

X={u:u是從R到R2有界一致連續(xù)函數(shù)}

令μ>0, ‖·‖表示R2中標(biāo)準(zhǔn)的上確界范數(shù)。定義

這里所說的行波解是具有如下形式的特解

其中(φ,ψ)∈X是波廓,c>0是波速。因此(φ,ψ)與c滿足下列泛函微分系統(tǒng)

(5)

其中

這樣行波解問題就轉(zhuǎn)化為方程(5)的非常數(shù)正解的存在性。對每個固定的c>c0,定義

并選擇常數(shù)

利用這些常數(shù)以及q>1, 定義連續(xù)函數(shù)

引理1 若

(6)

則

(7)

(8)

(9)

(10)

由γ1的定義則可完成(7)式的證明。同理可得(9)式。

注意到

則(8)式在q>1滿足如下條件時成立

同理可證(10)式。引理證畢。

定義集合

則Γ是凸的非空集合, 而且在|·|μ范數(shù)意義下是有界閉集。

為方便起見, 對有界一致連續(xù)函數(shù)φ,ψ,φ, 定義

則f1關(guān)于φ,ψ是一個單調(diào)減函數(shù),f2關(guān)于φ,ψ是一個單調(diào)減函數(shù)。

令β>0使得

βu+r1u[1-a1u-b1/a1-c1/a2],

βv+r2v[1-a2v-b2/a2-c2/a1]

關(guān)于u∈[0,1/a1],v∈[0,1/a2]均單調(diào)增。

定義常數(shù)

以及算子P=(P1,P2):?！鶻：

(11)

其中(φ,ψ)∈Γ。顯然P的一個不動點就是方程(5)的解。

注1 積分算子P在行波解理論中的應(yīng)用, 參見文獻(xiàn)[19-22]。

引理2 如果μ≤min{-λ1,-λ3},則P:Γ→Γ在|·|μ范數(shù)意義下是全連續(xù)的。

證明 先驗證P:?！！θ我?φ,ψ)∈Γ, 由f1的單調(diào)性與(7)式可知

同時, 由(8)式與f的單調(diào)性可以得到

類似可得

這就得到了P:?！?。

此外, 當(dāng)μ≤min{-λ1,-λ3}時, 該映射是全連續(xù)的[16,19-20,23]。引理證畢。

定理1 假設(shè)c>c0且(6)式成立, 則方程(5)有一個正解(φ,ψ)滿足

且

(12)

證明 由Schauder不動點理論, 存在(φ,ψ)滿足(12)式且有

從引理1的證明可得

類似地, 當(dāng)ξ∈R時有0<ψ(ξ)<1/a2。證明結(jié)束。

2 行波解的漸近性態(tài)

現(xiàn)在利用文獻(xiàn)[16]中的思想來研究非常數(shù)行波解的漸近性態(tài)。對于Fisher方程

(13)

其中D,R,K均為正常數(shù)且z(x)>0是一個具有非空支集的有界一致連續(xù)函數(shù)。

本節(jié)假定

對s∈[0,1],ε>0,定義

由文獻(xiàn)[25]的引理5.7.4可知, 存在ε0>0對任意的ε∈(0,ε0), 有

(C1)1-aiyi(s)-bizi(s)-ciz3-i(s)>0,s∈(0,1),i=1,2;

(C2)1-aizi(s)-biyi(s)-ciy3-i(s)<0,s∈(0,1),i=1,2。

引理4 假定(φ,ψ)是方程(5)的正解, 則

證明 由定理1可以看出

由行波解的定義,u1(x,t) 滿足

(14)

由引理3與比較原理[26]，可得

從行波解的定義與u1(0,t)=φ(ct)可以得到

證明 由引理4可以看出

因此, 存在s0∈(0,1]滿足

與

同時, (C1)表明

1-a1y1(s1)-bz1(s1)-cz2(s1)>0

并且有

矛盾, 故原結(jié)論成立。定理證畢。

3 行波解的不存在性

定理3 對任意的c

(15)

證明 如若不然, 則存在c1

并且有

因此有

b1/a1+c1/a2=

綜上所述,φ(ξ)滿足

由行波解的定義可知,u1(x,t) 滿足

由引理3與比較原理, 可以得到

對任意滿足d1x2-cx+r1(1-ε)>0,x>0的c>0成立。

取-x=c2t,則有

該結(jié)果表明

矛盾。定理證畢。

注2 定理3 給出了行波解最小波速。

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Traveling Wave Solutions of a Competition Diffusion System with Nonlocal Delays

WUFuzhen

(Department of Basic, Zhejiang University of Water Resources and Electric Power, Hangzhou 310018, China)

The traveling wave solutions of a competitive system with nonlocal delay are concerned. By combining fixed point theorem with generalized upper and lower solutions, the existence of traveling wave solutions is established. Then the asymptotic behavior of traveling wave solutions is obtained by the idea of contracting rectangles. Finally, the nonexistence of traveling wave solutions is proved by the theory of asymptotic spreading.

contracting rectangle; asymptotic spreading; invasion and coexistence

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.03.012

2015-01-24

浙江省教育科學(xué)規(guī)劃課題資助項目(2015SCG373)

吳福珍(1977年生)，男；研究方向：數(shù)學(xué)建模；E-mail:fuzhwu@yeah.net

O175.2

A

0529-6579(2015)03-0068-06