具有邊界擾動柔性機械臂的魯棒自適應邊界控制*

翁 軒，楊龍剛，劉 嶼，趙志甲，鄔依林

(1. 華南理工大學自動化科學與工程學院，廣東 廣州 510640；2. 廣東省電信規(guī)劃設計院有限公司，廣東 廣州 510630；3. 廣東第二師范學院計算機科學系，廣東 廣州 510310)

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具有邊界擾動柔性機械臂的魯棒自適應邊界控制*

翁 軒1，楊龍剛2，劉 嶼1，趙志甲1，鄔依林3

(1. 華南理工大學自動化科學與工程學院，廣東 廣州 510640；2. 廣東省電信規(guī)劃設計院有限公司，廣東 廣州 510630；3. 廣東第二師范學院計算機科學系，廣東 廣州 510310)

針對邊界未知擾動和系統(tǒng)結構參數均具有不確定性的柔性機械臂系統(tǒng)，為了抑制其振動和提高振動控制效果，通過對柔性臂的結構參數估計，采用自適應和邊界控制技術，設計了帶有邊界擾動觀測器的魯棒自適應邊界控制對柔性臂振動進行控制。所設計控制算法能補償結構參數不確定性和避免了控制溢出， 邊界擾動觀測器能抑制和跟蹤邊界未知擾動的影響。隨后利用Lyapunov綜合法對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和一致有界性進行了證明。仿真結果進一步驗證了該控制算法對抑制柔性臂振動的有效性。

柔性機械臂；邊界控制；魯棒自適應控制；邊界擾動觀測器

柔性機械臂被廣泛的應用于機器人、機械工程和航天技術等領域。然而其彈性變形產生的振動現(xiàn)象將直接影響柔性臂的操作精度和工作性能，限制其在高精度要求領域的應用[1-2]。 因此，近年來柔性臂振動控制問題再次得到越來越多的重視。

柔性機械臂系統(tǒng)是一類具有強耦合、非線性、時變等特點的機電耦合分布參數系統(tǒng)，其動力學模型由偏微分和常微分方程混合描述[3]，具有無窮維特點，因此直接對其控制設計具有很大難度，傳統(tǒng)控制控制方法則大多數將其線性化為有限維常微分方程進行控制設計[4-6]，但僅對幾個關鍵模態(tài)進行控制時，未建模高頻模態(tài)可能到來溢出效應并影響系統(tǒng)穩(wěn)定性[5-6]。邊界控制因能避免控制溢出、易構造Lyapunov函數和無需分布傳感器/控制器等獨特優(yōu)勢而廣泛應用于柔性結構的振動主動控制[7-10]，近年柔性臂振動控制研究成果將邊界控制與諸如自適應、魯棒、反步等先進控制方法相結合[1,11-15]，基于結構無限維模型直接進行振動主動控制設計，取得較好效果并避免了溢出問題。然而，目前國內外絕大多數研究成果并未考慮邊界未知擾動的情況，但在實際柔性臂系統(tǒng)中，由于邊界驅動器的原因，系統(tǒng)不僅僅存在邊界擾動，邊界擾動還具有很強的不確定性。同時，柔性臂系統(tǒng)的結構參數也具有不確定性，諸如其張力、彎曲剛度等參數通常是未知或難以準確測量，甚至部分結構參數可能隨柔性臂振動偏移量的變化而變化。因此，為了提高柔性臂振動控制效果和品質，要求所設計的控制算法具有較好的魯棒性和自適應能力，能補償系統(tǒng)結構參數和邊界擾動的不確定性。

本文將研究柔性機械臂系統(tǒng)在邊界未知擾動作用下，其結構參數未知或不可測時的振動主動控制問題?；谌嵝员蹮o限維分布參數模型，通過對其參數進行估計，采用自適應和邊界控制技術，設計帶有邊界擾動觀測器的魯棒自適應邊界控制器對柔性臂的振動進行控制，以算法自適應能力補償系統(tǒng)結構參數的不確定性，以邊界擾動觀測器對邊界未知擾動進行跟蹤、抑制和補償，從而改善柔性臂的振動控制效果。其后運用Lyapunov綜合法對柔性臂系統(tǒng)穩(wěn)定性和一致有界性給予證明。最后給出所設計控制器有效性和可靠性的仿真研究結果。

1 柔性機械臂動力學模型

圖1為典型具有邊界未知擾動的柔性機械臂，其中y(x,t)為t時刻在位置x處的偏移量。

圖1 具有邊界未知擾動的柔性機械臂Fig.1 The flexible manipulator with unknown boundary disturbance

本文所研究柔性機械臂系統(tǒng)的模型將直接引用項目組的前期研究成果文獻[14]，即由文獻[14]中式(5)-(6)可得本文研究的柔性機械臂動力學模型。柔性臂系統(tǒng)的控制方程為

(1)

其中?(x,t) ∈(0,L)×[0, +∞)，ρ為柔性臂單位長度質量，L為柔性臂長度，EI(以下簡寫為E)為機械臂彎曲剛度，T為機械臂張力，c為結構阻尼系數。

系統(tǒng)邊界條件為

(2)

其中?t∈[0, +∞)，M為控制器質量，ds為載荷阻尼系數，d(t)為邊界擾動，u(t)為控制輸入。

柔性臂系統(tǒng)的初始條件為

(3)

2 控制設計

本節(jié)利用Lyapunov綜合法在柔性臂右邊界設計一個帶有邊界擾動觀測器的魯棒自適應邊界控制，通過控制作用對柔性臂的振動進行抑制，設計的控制算法具有較好的魯棒性和自適應性，從而能補償柔性臂系統(tǒng)的不確定性，并能實現(xiàn)對邊界未知擾動的跟蹤。

2.1 預備知識

為方便隨后各章節(jié)的研究工作，給出如下引理和性質[7-8,14]。

引理1 令φ1(x,t),φ2(x,t)∈R，其中x∈[0,L]，t∈[0, +∞)，當σ>0時下列等式成立

(4)

引理2 設φ(x,t)∈R為定義在x∈[0,L]，t∈[0, +∞)的函數，且滿足邊界條件φ(0,t)=0，?t∈[0,∞)，則有如下不等式組成立

(5)

2.2 自適應邊界控制

對于由式(1)-(3)描述的柔性臂系統(tǒng)，若其結構參數EI、T、ds和M未知或不可測，為使該系統(tǒng)穩(wěn)定，提出以下魯棒自適應邊界控制律

(6)

(7)

式(7)對時間求導并乘以M，再代入式(2)得

(8)

(9)

上式對時間求導，得觀測器為

(10)

其中

(11)

(12)

上式對時間求導，在結合式(2)、式(9)-(12)可得

(13)

定義柔性臂結構參數估計誤差為

(14)

若設計自適應控制律

(15)

其中γ1、γ2、γ3、γ4、ζ1、ζ2、ζ3和ζ4均為正常數。

對式(14)對時間求導，再代入式(15)則有

(16)

若給定候選Lyapunov函數為

(17)

其中能量項V1(t)為

(18)

β>0，附加項V2(t)為

V2(t)=0.5λMv2

(19)

其中λ>0，交叉項V3(t)為

(20)

結構參數誤差項V4(t)為

(21)

邊界擾動誤差項V5(t)為

(22)

引理3 由式(17)給定的Lyapunov函數具有如下上下界

(23)

其中?1和?2為兩正常數。

證明 由式(20)可得

(24)

不等式(24)改寫為

(25)

若適當選取ξ，可以得到

(26)

將不等式(26)分別代入式(25)可得

(27)

結合Lyapunov函數式(17)，由上式可得

(28)

其中?1=min(ζ1, 1)和?2=max(ζ2, 1)。證畢。

引理4 由式(17)給定的候選Lyapunov函數對時間的導數具有如下上界

(29)

其中?,ε>0。

證明 將式(17)對時間求導有

(30)

其中由式(18)可得

(31)

將式(1)代入A1，應用分部積分得

(32)

對A2和A3進行分部積分可得

(33)

分別將式(32)-(33)代入式(31)，有

(34)

將式(19)對時間求導，并代入式(6)和式(8)得

(35)

式(20)對時間求導，代入邊界條件式(2)，并應用分部積分得

(36)

其中δ1為任意的正常數。

式(21)對時間求導，并結合式(14)和式(16)，以及利用基本不等式可得

(37)

根據式(21)和式(37)，若定義

(38)

則式(37)可改寫為

(39)

式(22)對時間求導，代入式(13)并利用基本不等式得

(40)

將式(34)-(36)和式(39)-(40)代入式(30)，并結合假設1、式(16)和不等式(4)-(5)有

(41)

其中δ2,δ3為任意的正常數。選擇適當參數值k,λ,α,β,δ1,δ2和δ3滿足如下條件：

結合引理3，式(41)可改寫為

(42)

其中?5=min(?3,?4)和?=(?5/?2)。證畢。

2.3 穩(wěn)定性分析

基于上述引理，小本節(jié)給出柔性臂閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理。

定理1 由式(1)-(3)所描述的柔性臂閉環(huán)系統(tǒng)，在假設1和控制器式(6)作用下，有如下關系式成立。

1) 一致有界：柔性臂閉環(huán)系統(tǒng)的振動偏移狀態(tài)量y(x,t)一致包含于Ω1中

(43)

2) 一致最終有界：柔性臂閉環(huán)系統(tǒng)的振動偏移狀態(tài)量y(x,t)最終收斂于Ω2中

(44)

證明 對式(42)乘以e?t，并可得

(45)

對上述不等式積分得

(46)

其中上式表明V(t)為有界。

由不等式(5)、式(18)和式(28)可得

(47)

將式(46)代入式(47)，重排上述不等式得

(48)

其中?(x,t) ∈[0,L]×[0, +∞)。 則進一步可得

(49)

由式(48)-(49)可知定理1得以證明。證畢。

3 數字仿真

本節(jié)將數值仿真研究柔性機械臂的振動情況，并驗證所設計魯棒自適應邊界控制式(6)對柔性臂振動抑制的有效性。柔性臂系統(tǒng)參數為ρ=1 kg/m，M=2 kg，L=10 m，c=1 Ns/m2,ds=1 Ns/m，E=50 Nm2和T=10 N，邊界未知擾動為

(50)

當選擇控制器參數k=100，圖2-5給出數字仿真驗證結果，其中圖2為柔性臂在有/無控制作用下的振動偏移圖，圖3則給出了柔性臂中部(x=5 m)和右邊界(x=10 m)的振動偏移圖，圖4為邊界擾動跟蹤圖，圖5為魯棒自適應邊界控制輸入。

圖2 柔性機械臂偏移量：(a)無控制, (b)有控制Fig.2 Displacements of manipulator: (a) uncontrolled, (b) controlled

圖3 柔性機械臂偏移量：(a) x=10 m, (b) x=5 mFig.3 Displacements of manipulator at: (a) x=10 m, (b) x=5 m

由仿真結果圖2-3可知，當魯棒自適應邊界控制作用于柔性臂系統(tǒng)后，其振動偏移量都有顯著的減少，驗證了本文設計控制算法對抑制柔性臂振動是非常有效的；由仿真結果圖3可知，雖然在柔性臂中部(x= 5 m)并未布置控制器/傳感器，但其中部的振動也有十分顯著的減小，體現(xiàn)了邊界控制技術在柔性結構振動控制方面的獨特優(yōu)勢；仿真結果圖4表明邊界干擾觀測器能很好跟蹤邊界未知擾動，而仿真結果圖5給出了控制輸入情況。

圖4 邊界未知擾動跟蹤 Fig.4 Tracking of unknown boundary disturbance

圖5 自適應邊界控制輸入Fig.5 Adaptive boundary control input

4 結 論

本文研究了具有邊界未知擾動和系統(tǒng)結構參數都不確定的柔性機械臂振動主動控制問題?；贖amilton原理建立的柔性機械臂無窮維分布參數模型，設計了帶有邊界干擾觀測器的魯棒自適應邊界控制對柔性臂振動進行控制。所設計的魯棒自適應控制器除了能避免基于降階模型而導致的控制溢出外，還具有很強的魯棒性和自適應性，能有效的補償系統(tǒng)結構參數和邊界擾動的不確定性，并能實現(xiàn)對邊界未知擾動的跟蹤、抑制和補償。本文所設計的振動控制方法保證了柔性臂系統(tǒng)的穩(wěn)定性和一致有界性。最后對設計的魯棒自適應邊界控制算法進行了數值仿真研究，驗證了算法的有效性。

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Robust Adaptive Boundary Control of a Flexible Manipulator with Unknown Boundary Disturbance

WENGXuan1,YANGLonggang2,LIUYu1,ZHAOZhijia1,WUYilin3

(1. School of Automation Science and Engineering, South China University of Technology,Guangzhou 510640, China;2. Guangdong Planning and Designing Institute of Telecommunications Corporation Limited,Guangzhou 510630, China;3. Department of Computer Science, Guangdong University of Education, Guangzhou 510310, China)

To suppress the vibration and improve the vibration control for a flexible manipulator with the system parametric uncertainty and unknown boundary disturbance uncertainty, a robust adaptive boundary control with boundary disturbance observer is proposed by using adaptive control and boundary control technologies based on the manipulator’s parameter estimation to suppress the vibration of the manipulator. With the proposed control scheme, system parameter uncertainty can be compensated and the control spillover problem can be avoided, and the boundary disturbance observer can attenuate and track the unknown boundary disturbance. The stability and uniform boundedness of the control system are both proved by Lyapunov’s synthesis method. Simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed control method to suppress the manipulator’s vibration.

flexible manipulator; boundary control; robust adaptive control; boundary disturbance observer

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.03.008

2015-01-27

國家自然科學基金資助項目(61203060)；廣東省科技計劃資助項目(2013B010402011, 2013B090600016)；廣東第二師范學院教授博士科研專項經費資助項目(2014ARF25)

翁軒(1992年生)，男；研究方向：分布參數系統(tǒng)控制；通訊作者：劉嶼;E-mail:auylau@scut.edu.cn

TP24

A

0529-6579(2015)03-0044-07