具有Banach代數(shù)的錐度量空間上擬壓縮映射的新不動(dòng)點(diǎn)定理*

許紹元，馬 超，周作領(lǐng)

( 1. 韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系, 廣東 潮州 521041；2. 澳門科技大學(xué)資訊科技學(xué)院，中國 澳門；3. 中山大學(xué)嶺南學(xué)院, 廣東 廣州 510275)

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具有Banach代數(shù)的錐度量空間上擬壓縮映射的新不動(dòng)點(diǎn)定理*

許紹元1，馬 超2，周作領(lǐng)3

( 1. 韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系, 廣東 潮州 521041；2. 澳門科技大學(xué)資訊科技學(xué)院，中國 澳門；3. 中山大學(xué)嶺南學(xué)院, 廣東 廣州 510275)

以Banach代數(shù)取代Banach空間作為錐度量空間的底空間，引入具有Banach代數(shù)的錐度量空間，在正規(guī)性條件下已經(jīng)得到了關(guān)于擬壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理。刪去正規(guī)性條件，利用c-序列理論同樣得到了擬壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)存在唯一性，主要結(jié)果改進(jìn)和推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的一些結(jié)論。

具有Banach代數(shù)的錐度量空間；非正規(guī)錐；不動(dòng)點(diǎn)定理；擬壓縮映射；c-序列

設(shè)(X,d)為完備度量空間。映射T:X→X稱為一個(gè)擬壓縮映射(簡(jiǎn)稱擬壓縮), 如果存在k∈(0,1)，對(duì)任意x,y∈X, 總有

d(Tx,Ty)≤kmax{d(x,y),d(x,Tx),

d(y,Ty),d(x,Ty),d(y,Tx)}

Ciric[1]引入此定義并且將它作為更廣泛的一類壓縮映射進(jìn)行研究。他證明了一個(gè)著名的結(jié)果：完備度量空間上任意擬壓縮映射必有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。2007年，Huang等[2]引入錐度量空間，推廣了通常的度量空間。近年來, 一些作者在錐度量空間中研究擬壓縮映射，得到了一些重要結(jié)果，見文[3-7]。

最近, 劉浩等[8]引入具有Banach代數(shù)的錐度量空間，在正規(guī)性的條件下得到了關(guān)于擬壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理。本文則刪去了文[8]中正規(guī)性條件，利用c-序列理論同樣得到了擬壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)存在唯一性，其主要結(jié)果改進(jìn)了和推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的一些結(jié)論。

自錐度量空間提出后，一些作者就映射的不動(dòng)點(diǎn)存在性研究了錐度量空間是否等價(jià)于度量空間的問題，見文[9-12]。正如文[13]所言, 我們可以斷言具有 Banach 代數(shù)A的錐度量空間(X,d)并不等價(jià)于度量空間(X,d*), 這里的距離d*定義為d*=ξe°d, 其中非線性參數(shù)函數(shù)[9-10]ξe:A→R(e∈intP) 定義為

ξe(y)=inf{r∈R:y∈re-P}

因此，本文進(jìn)一步研究無正規(guī)條件下的錐度量空間中擬壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理是有意義的。

1 預(yù)備知識(shí)

以下總假A為實(shí) Banach 代數(shù), 即A是具有乘法運(yùn)算的實(shí) Banach 空間, 其運(yùn)算具有如下性質(zhì)(對(duì)任意x,y,z∈A,α∈R)：

(i) (xy)z=x(yz);

(ii)x(y+z)=xy+xz以及(x+y)z=xz+yz; (iii)α(xy)=(αx)y=x(αy);

本文總假設(shè)實(shí) Banach 代數(shù)A具有單位元 (即乘法單位元)e，它滿足對(duì)任意x∈A均有ex=xe=x。一個(gè)元素x∈A稱為可逆的，如果存在一個(gè)元素(稱為它的一個(gè)逆元)y∈A使得xy=yx=e。x的逆元記為x-1，詳見文[14]。

下面的著名結(jié)論在本文中是十分有用的(見文[14])。

命題1 設(shè)A是具有單位元e的 Banach代數(shù),x∈A。若x的譜半徑ρ(x)小于1, 即

則e-x是可逆的，并且有

下面回顧Banach代數(shù)中的錐和半序的概念。Banach代數(shù)A中一個(gè)子集P稱為一個(gè)錐，若滿足下列條件：

(ii)αP+βP?P對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)α,β均成立；

(iii)P2=PP?P；

(iv)P∩{-P}={θ}，

其中θ為Banach代數(shù)A中的零元。對(duì)于錐P?A, 定義半序≤如下：x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈P;x

錐P稱為正規(guī)的，如果存在M>0使得對(duì)任意x,y∈A, 有

滿足上述條件的最小正數(shù)M稱為P的正規(guī)常數(shù)[2]。

下文我們假定P為 Banach代數(shù)A中的體錐 (即滿足intP≠?。并且≤是由P確定的半序。

定義 1[2,8,13]設(shè)X為非空集。若映射d:X×X→A滿足

(i)θ≤d(x,y)對(duì)任意x,y∈X成立并且d(x,y)=θ當(dāng)且僅當(dāng)x=y=θ;

(ii)d(x,y)=d(y,x)對(duì)任意x,y∈X成立；

(iii)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)對(duì)任意x,y,z∈X成立，

則d稱為X上的一個(gè)錐距離, (X,d)稱為具有Banach代數(shù)A的錐距離空間。

定義 2[2,8,13]設(shè)(X,d)為具有Banach代數(shù)A的錐距離空間,x∈X且{xn}為X中的序列。則

(ii) 稱{xn}為Cauchy列, 若對(duì)任意滿足θ?c的向量c∈A, 存在正整數(shù)N使得d(xn,xm)?c對(duì)任意n,m≥N成立。

(iii) (X,d)稱為完備的錐距離空間, 若(X,d)中任意Cauchy列在(X,d)中都收斂。

下面給出兩個(gè)有用的引理。

引理1[15-16]設(shè)E為具有體錐P的Banach空間。若θ≤u?c對(duì)任意θ?c成立, 則u=θ。

下面給出具有 Banach 代數(shù)的錐距離空間中擬壓縮映射的定義。

定義 3[8]設(shè)(X,d)為具有Banach代數(shù)A的錐距離空間。 映射T:X→X稱為擬壓縮, 如果對(duì)于任意滿足ρ(k)<1的k∈P以及x,y∈X有

d(Tx,Ty)≤ku

(1)

其中

2 主要結(jié)果

本節(jié)將刪去文[8]中所要求正規(guī)性條件, 利用c-序列理論得到了具有Banach代數(shù)的錐距離空間中擬壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理。

我們要用到如下的c-序列的有關(guān)結(jié)論。

定義 4[17-18]設(shè)P為Banach代數(shù)A中的體錐。序列{un}?P稱為c-序列, 如果對(duì)任意θ?c, 存在正整數(shù)N使得un?c對(duì)任意n≥N成立。

利用c-序列的定義不難得到如下簡(jiǎn)單的結(jié)論。

命題 2[17,19]設(shè)P為Banach代數(shù)A中的體錐,{un}和{vn}均為P中的序列。 若{un}和{vn}都是c-序列且α,β>0, 則{αun+βvn}也是c-序列。

除了上述命題2外, 下列幾個(gè)命題在本文主要結(jié)果的證明中是至關(guān)重要的。

命題 3[19]設(shè)P為Banach代數(shù)A中的體錐, {un}為P中的序列。若k∈P是任意給定的向量且{un}是c-序列, 則{kun}也是c-序列。

命題 4[19]設(shè)(X,d)為具有Banach代數(shù)A的錐距離空間且P為A中的體錐。 設(shè){xn}為X中的序列。若{xn}收斂于x∈X, 則

(i) {d(xn,x)}是c-序列。

(ii) 對(duì)任意p∈N, {d(xn,xn+p)}也是c-序列。

下面給出本文的主要的結(jié)果。

定理1 設(shè)(X,d)為具有Banach代數(shù)A的完備的錐距離空間,k∈P。若映射T:X→X為擬壓縮, 滿足條件(i), 則T在X中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。并且對(duì)任意的x∈X, 迭代序列{Tnx}收斂于該不動(dòng)點(diǎn)。

證明 任意選取x0∈X, 記xn=Tnx0。首先證明

d(xi,xj)≤k(e-k)-1d(x0,x1),?i,j≥1 (2)

(2)式的證明與文[8, 引理10]中的(7)式一致, 這是因?yàn)槲腫8, 引理10]中的(7)式的證明不需要使用正規(guī)性條件。

下證{xn}是 Cauchy 列。

對(duì)任意 1

由擬壓縮的定義, 對(duì)任意u∈C(m,n), 存在v∈C(m-1,n), 使得u≤kv。于是，

這里

其中最后的不等式由(2)式得到。

由引理2以及

d(xn,xm)≤km(e-k)-1d(x0,x1)?c

故{xn}是Cauchy列。

其次證明不動(dòng)點(diǎn)的存在性。

由(X,d)的完備性, 存在x*∈X使得xn→x*。于是，

其中

若u=d(xn-1,x*),d(xn-1,xn)或u=d(x*,xn), 則分別有

若u=d(x*,Tx*), 則

于是

若u=d(xn-1,Tx*), 則

考慮到(e-k)-1≥θ，于是有

因此, 無論哪種情形, 由定義4和命題2-4，有d(x*,Tx*)≤yn, 其中{yn}是錐P中c-序列。于是, 對(duì)任意θ?c,有θ≤d(x*,Tx*)?c。因此, 由引理1有d(x*,Tx*)=θ, 故x*為T的不動(dòng)點(diǎn)。

最后證明不動(dòng)點(diǎn)的唯一性。證明方法同文[8, 定理 9 ]。

注2 與文 [8, 定理9]相比, 本文定理1不需要錐P的正規(guī)性條件, 因此定理1改進(jìn)和推廣了文[8, 定理9]。

d(Tx,Ty)≤ku

有

于是有

注4 在定理1中令A(yù)=R,P=[0,+∞), 則利用通常的范數(shù)我們可以得到文[1]的主要結(jié)果, 即完備度量空間中的Ciric 壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理。這表明定理1推廣了文[1,15]的主要結(jié)論。

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A New Fixed Point Theorem of Quasi-Contractions on Cone Metric Space

XUShaoyuan1,MAChao2,ZHOUZuoling3

(1. School of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal College, Chaozhou 521041, China;2. Faculty of Information Technology, Macao University of Science and Technology, Macao, China;3. School of Lingnan, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

By replacing Banach spaces by Banach algebras as the underlying spaces of cone metric spaces, the concept of cone metric spaces with Banach algebras has been introduced. And a fixed point theorem of quasi-contractions with the assumption of normality has been proved. By omitting the assumption of normality and utilizing the theory ofc-sequence, the existence and uniqueness of the fixed point for the quasi-contractions is obtained in the setting of cone metric spaces with Banach algebras. As a consequence, the corresponding result in the literature is improved and generalized.

cone metric spaces with Banach algebras; non-normal cones; fixed point theorems; quasi-contractions;c-sequence

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.001

2015-01-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371379)；澳門科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金資助項(xiàng)目(069/2011/A) ；韓山師范學(xué)院2013年創(chuàng)新強(qiáng)系資助項(xiàng)目

許紹元(1964年生)，男；研究方向：非線性分析與分形幾何； 通訊作者：馬超;E-mail:cma@must.edu.mo

O177.91

A

0529-6579(2015)05-0001-04