條件風(fēng)險下的兩基金分離定理

向 華，楊招軍,周偉峰

(1.青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 合作社學(xué)院 山東 青島 266109;2.湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院 湖南 長沙 410079; 3.青島科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 山東 青島 266071)

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條件風(fēng)險下的兩基金分離定理

向 華1，楊招軍2,周偉峰3

(1.青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 合作社學(xué)院 山東 青島 266109;2.湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院 湖南 長沙 410079; 3.青島科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 山東 青島 266071)

鑒于條件風(fēng)險價值CVaR具有風(fēng)險度量的合理性以及兩基金分離定理對證券投資的重要意義，以CVaR作為風(fēng)險度量研究兩基金分離定理.在組合收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)下，分別就投資組合含有或沒有無風(fēng)險資產(chǎn)的情形提出并證明了兩基金分離定理；放開方差-協(xié)方差矩陣為非奇異這一通常假設(shè)，證明了CVaR風(fēng)險度量下的兩基金分離定理依然成立.

條件風(fēng)險價值；正態(tài)分布；兩基金分離定理；奇異

1 引 言

隨著金融市場風(fēng)險的加大，金融機構(gòu)正面臨著日趨嚴(yán)重的風(fēng)險，作為高風(fēng)險的行業(yè)的證券業(yè)，如何給出其投資組合的風(fēng)險度量是防范和控制風(fēng)險的先決條件.自Markowitiz.H[1]于1952年給出了以資產(chǎn)收益率的方差作為風(fēng)險度量以來，由于方差作為風(fēng)險度量的缺陷，不斷有學(xué)者提出新的風(fēng)險度量方法.最具代表性的是1999年Rockafellar and Uryaser[2]首次提出的CVaR風(fēng)險度量方法, 由于該風(fēng)險度量同時滿足正齊次性、次可加性、單調(diào)性和傳遞不變形， 不僅彌補了方差和VaR度量的一系列缺陷而且是一致性的風(fēng)險度量方法，吸引了中外學(xué)者的極大關(guān)注.例如，Palmquist[3]給出了均值-CVaR有效前沿的三種等價描述，并對CVaR的概念，性質(zhì)，計算及優(yōu)化等做了詳細(xì)的介紹.Rockafellar and Uryasev[4]還對損失服從一般分布的CVaR模型進行了研究.在國內(nèi)，劉小茂和李楚霖[5]討論了正態(tài)情形下風(fēng)險資產(chǎn)組合的均值-CVaR的有效前沿，并與均值-方差模型進行了比較.林旭東和鞏前錦[6]給出了均值-CVaR模型的有效前沿的表述，總結(jié)并推導(dǎo)了有效前沿的性質(zhì).但他們都沒有對該風(fēng)險度量下的兩基金分離定理是否成立進行推導(dǎo)和證明.

本文余下結(jié)構(gòu)安排如下：第二節(jié)為條件發(fā)風(fēng)險的定義；第三節(jié)證明了風(fēng)險資產(chǎn)組合下的兩基金分離定理；第四節(jié)證明了含有無風(fēng)險資產(chǎn)下的兩基金分離定理；第五節(jié)在資產(chǎn)存在相關(guān)性的條件下證明了兩基金分離定理；最后一節(jié)是本文的結(jié)論.

2 CVaR的定義及一些結(jié)果的介紹

此外類似線性代數(shù)，下面引入隨機變量的線性相關(guān)、線性無關(guān)與極大線性無關(guān)組的概念.設(shè)η1,η2，…，ηn為任意方差不為0的隨機變量組.

定義1 若存在不全為0的實數(shù)k0,k1…kn，使得k1η1+k2η2+…+knηn=a，a為常數(shù)，則稱η1,η2，…，ηn是線性相關(guān)的，否則是線性無關(guān)的[9-11].

定義2 若存在實數(shù)k0,k1…kn，使得η=k0+k1η+…+knηn， 則稱η可以由η1,η2，…，ηn線性表出[9-11].

3 不含無風(fēng)險資產(chǎn)的兩基金分離定理

假定投資組合不含無風(fēng)險資產(chǎn)，且風(fēng)險資產(chǎn)的數(shù)目為n.若投資組合的收益率服從正態(tài)分布，投資者以CVaR為風(fēng)險度量的組合優(yōu)化問題為：

(1)

其組合邊界方程為

(2)

C=ITV-1I>0,D=BC-A2.

最優(yōu)投資組合為W=λV-1Rn+rV-1I，

類似均值-方差模型下兩基金分離定理,有：

定理1 在收益率服從正態(tài)分布的條件下，均值-CVaR邊界上任何兩個期望收益率不相等的組合Wa,Wb均可以生成整個組合邊界，即是說對任何一個組合邊界W，都存在實數(shù)α,β使得

W=αWa+βWb.

證明 本文先證明組合邊界上任意一組合W可以由最小風(fēng)險組合Wmvp和組合邊界上另一組合Wd生成.為此先求出這兩個投資組合.最小風(fēng)險組合Wmvp可以通過式(2)關(guān)于均值的一階偏導(dǎo)可得，即

整理得均值的方程為

其判別式為

因此

對邊界上的任一組合W是否可以由Wmvp和Wd生成，即證是否存在常數(shù)α,β，且α+β=1，使得：

W=αWmvp+βWd.

假定有α∈(0.1)使得下面方程成立：

該問題等價于有沒有相同的α使得以下兩方程的同時成立，

(3)

(4)

從式 (3)和 (4) 分別解得

因此，只需證明：

4 含有無風(fēng)險資產(chǎn)的兩基金分離定理

當(dāng)投資者在市場上可獲得無風(fēng)險資產(chǎn)時(其收益率為無風(fēng)險利率rf)，若設(shè)W=(W1,W2,…Wn)T為n個風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例向量，則投資在無風(fēng)險資產(chǎn)上的比例為1-WTI.類似上節(jié),組合優(yōu)化問題為：

(5)

其組合邊界方程為：

其中

對應(yīng)的最優(yōu)解為

定理2 在資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)下，含有無風(fēng)險資產(chǎn)的均值-CVaR邊界上任何2個期望收益率不相等的組合Wa,Wb均可以生成整個組合邊界，即是說對任何一個組合邊界W，都存在實數(shù)α,β使得:

W=αWa+βWb.

類似于均值-方差模型，來看組合邊界上的任一合Wn+1是否可以由切點組合和風(fēng)險為零的組合生成，即：是否存在這樣的實數(shù)α,β且α+β=1使得：

等價于是否存在實數(shù)α使得以下兩式同時成立：

(6)

(7)

W=αWa+βWb，證畢.

4 協(xié)方差矩陣為奇異的兩基金分離定理

(8)

其中

則最優(yōu)解可以簡化為：

定理3當(dāng)方差-協(xié)方差矩陣V奇異時，對于情形1兩基金分離定理成立，對于情形2，風(fēng)險資產(chǎn)的極大無關(guān)組和無風(fēng)險資產(chǎn)可生成原n個風(fēng)險資產(chǎn)的組合邊界，兩基金分離定理仍然成立.

5 結(jié) 論

[1]HMARKOWITZ.Portfolioselection[J].TheJournalofFinance, 1952, 7(1): 77-91．

[2]TROCKAFELLER,SURYASEV.Optimizationofconditionalvalue-at-risk[J].JournalofRisk, 2000, 2(1)：21-42.

[3]JPAMQUIST,SURASEV,PKROKHMAL.PortfoliooptimizationwithconditionalValue-at-Riskobjectiveandconstrains[J].JournalofRisk, 2002, 4(2)：319-332．

[4]TROCKAFELLER,SURYASEV.Conditionalvalue-at-riskforgenerallossdistributions[J].JournalofBankingandFinance, 2001, 26(7): 1443-1471．

[5] 劉小茂, 李楚霖, 王建華. 風(fēng)險資產(chǎn)組合的均值-CVaR有效前沿 (1)[J]. 管理工程學(xué)報, 2003, 17(1): 29-33.

[6] 林旭東，鞏前錦. 正態(tài)條件下均值-CVaR有效前沿的研究[J].管理科學(xué)，2004,17(3):52-55．

[7] 李杰,張紅兵,費時龍,等.Mean-CVaR模型下的兩基金分離定理[J]. 宿州學(xué)院學(xué)報2011,26(2)：8-10．

[8] 曹靜,秦超英.Mean-CVaR模型下的兩基金分離定理[J].系統(tǒng)工程學(xué)報2006,21(2):201-205．

[9] 姚海祥. 均值方差模型下證券投資選擇的進一步研究[D]. 廣州: 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，2005.

[10]向華,周偉峰. 協(xié)方差矩陣為奇異的均值-CVaR模型的研究[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版,2010, 27(4): 327-330.

[11]向華, 楊招軍. 跳過程下的公司證券定價和最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)[J]. 中國管理科學(xué), 2014(8)：29-36.

Two Fund Separation Theorem under The Condition at Risk

Xiang Hua1, YANG Zhao-jun2,ZHOU Wei-feng3

(1.School of cooperative, Qingdao Agricultural University, Shandong,Qingdao 266109，China;2. School of Finance and Statistics , Hunan University, Hunan,Changsha 410079,China;3. School of Mathematics and Physics, Qingdao University of Science and Technology, Shandong, Qingdao 266071,China)

Based on the rationality of the conditional value at risk as well as the important role of two fund separation theorem on securities investment, this paper analyzed the two fund separation theorem. For the portfolio with or without risk-free asset, we proved two fund separation theorem under the assumption that the portfolio return follows normal distribution. Further, we find that two fund separation theorem remains valid if the variance-covariance matrix is singular.

conditional value-at-risk; normal distribution; two fund separation theorem; singular

2015-10-03

國家自然科學(xué)基金(71221001，71371068)，山東省自然科學(xué)基金(ZR2015PF001)，中國博士后面上一等資助(2015M570594)

向 華(1974—)，男 ，湖南洪江人，講師，博士

E-mail:xianghua320@sina.com

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