條件風(fēng)險(xiǎn)下的兩基金分離定理

向華　楊招軍　周偉峰

摘 要 鑒于條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR具有風(fēng)險(xiǎn)度量的合理性以及兩基金分離定理對證券投資的重要意義，以CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量研究兩基金分離定理.在組合收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)下，分別就投資組合含有或沒有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形提出并證明了兩基金分離定理；放開方差-協(xié)方差矩陣為非奇異這一通常假設(shè)，證明了CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量下的兩基金分離定理依然成立.

關(guān)鍵詞 條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值；正態(tài)分布；兩基金分離定理；奇異

中圖分類號(hào) F830 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract Based on the rationality of the conditional value at risk as well as the important role of two fund separation theorem on securities investment， this paper analyzed the two fund separation theorem. For the portfolio with or without riskfree asset， we proved two fund separation theorem under the assumption that the portfolio return follows normal distribution. Further， we find that two fund separation theorem remains valid if the variancecovariance matrix is singular.

Key words conditional valueatrisk； normal distribution； two fund separation theorem； singular

1 引 言

隨著金融市場風(fēng)險(xiǎn)的加大，金融機(jī)構(gòu)正面臨著日趨嚴(yán)重的風(fēng)險(xiǎn)，作為高風(fēng)險(xiǎn)的行業(yè)的證券業(yè)，如何給出其投資組合的風(fēng)險(xiǎn)度量是防范和控制風(fēng)險(xiǎn)的先決條件.自Markowitiz.H[1]于1952年給出了以資產(chǎn)收益率的方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量以來，由于方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量的缺陷，不斷有學(xué)者提出新的風(fēng)險(xiǎn)度量方法.最具代表性的是1999年Rockafellar and Uryaser[2]首次提出的CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法， 由于該風(fēng)險(xiǎn)度量同時(shí)滿足正齊次性、次可加性、單調(diào)性和傳遞不變形， 不僅彌補(bǔ)了方差和VaR度量的一系列缺陷而且是一致性的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，吸引了中外學(xué)者的極大關(guān)注.例如，Palmquist[3]給出了均值CVaR有效前沿的三種等價(jià)描述，并對CVaR的概念，性質(zhì)，計(jì)算及優(yōu)化等做了詳細(xì)的介紹.Rockafellar and Uryasev[4]還對損失服從一般分布的CVaR模型進(jìn)行了研究.在國內(nèi)，劉小茂和李楚霖[5]討論了正態(tài)情形下風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的均值CVaR的有效前沿，并與均值方差模型進(jìn)行了比較.林旭東和鞏前錦[6]給出了均值CVaR模型的有效前沿的表述，總結(jié)并推導(dǎo)了有效前沿的性質(zhì).但他們都沒有對該風(fēng)險(xiǎn)度量下的兩基金分離定理是否成立進(jìn)行推導(dǎo)和證明.

由于兩基金分離定理對資本資產(chǎn)定價(jià)模型的研究有重要意義，對CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量下的兩基金分離定理的證明和研究，有學(xué)者已做了不少工作.例如李杰[7]在資產(chǎn)收益率服從t分布的條件下對兩基金分離定理進(jìn)行了證明.曹靜[8]等證明了方差-協(xié)方差矩陣為非奇異的均值CVaR模型下的兩基金分離定理.本文與他們研究的區(qū)別在于：以資產(chǎn)收益服從正態(tài)分布這一通常假設(shè)這是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中大量的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象都服從這一分布；其次討論了投資組合中含有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形，因?yàn)橥顿Y者通常都有這樣的流動(dòng)性機(jī)會(huì)；再次，本文放開方差-協(xié)方差矩陣為非奇異這一經(jīng)典假設(shè).這是因?yàn)槭袌錾巷L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)數(shù)量日益繁多，且近年來隨著各種衍生金融產(chǎn)品的涌現(xiàn)，許多金融單位和機(jī)構(gòu)投資者的投資組合中包含了大量的衍生工具，這種情形往往導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間具有高度的相關(guān)性，甚至是完全相關(guān)性.從而導(dǎo)致方差-協(xié)方差矩陣V=0.當(dāng)資產(chǎn)之間存在相關(guān)性時(shí)，對在CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量下兩基金分離定理的證明，是本文的創(chuàng)新之處.因此本文首先證明了不含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值CVaR模型下的兩基金分離定理，然后討論了投資組合中含有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情形的兩基金分離定理；最后在方差協(xié)方差矩陣為奇異條件下，分析并證明了兩基金分離定理的成立，同時(shí)得到了一些有用的結(jié)論.

本文余下結(jié)構(gòu)安排如下：第二節(jié)為條件發(fā)風(fēng)險(xiǎn)的定義；第三節(jié)證明了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合下的兩基金分離定理；第四節(jié)證明了含有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)下的兩基金分離定理；第五節(jié)在資產(chǎn)存在相關(guān)性的條件下證明了兩基金分離定理；最后一節(jié)是本文的結(jié)論.

2 CVaR的定義及一些結(jié)果的介紹

定理3當(dāng)方差-協(xié)方差矩陣V奇異時(shí)，對于情形1兩基金分離定理成立，對于情形2，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的極大無關(guān)組和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可生成原n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合邊界，兩基金分離定理仍然成立.

5 結(jié) 論

鑒于兩基金分離定理對資本資產(chǎn)定價(jià)研究的重要意義，本文以一種新型的風(fēng)險(xiǎn)度量CVaR作為度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，并在該度量下探討兩基金分離定理是否成立.證明了無論投資組合有還是沒有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在組合收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)下，兩基金分離定理成立.區(qū)別于傳統(tǒng)的方差-協(xié)方差矩陣可逆的假設(shè)，本文放開這一假設(shè).這是因?yàn)槭袌錾巷L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)量日益繁多，特別是各種衍生金融產(chǎn)品的涌現(xiàn)，許多金融單位和機(jī)構(gòu)投資者的投資組合中包含了大量的衍生工具，這種情形導(dǎo)致資產(chǎn)之間具有一定的相關(guān)性，從而使得方差-協(xié)方差矩陣V=0.對于探討資產(chǎn)之間具有一定的相關(guān)性下的兩基金分離定理更有現(xiàn)實(shí)意義.我們發(fā)現(xiàn)并證明了兩基金分離定理的成立，同時(shí)得到了一些有用的結(jié)論.

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