賞析高考函數(shù)創(chuàng)新題

王新宏

縱觀2014年的高考試卷，出現(xiàn)了不少函數(shù)創(chuàng)新試題，這類試題新穎別致，構(gòu)思精妙，極富思考性和挑戰(zhàn)性，同時解法更靈活，考查更全面，思維更廣闊，給人耳目一新的感覺，這類問題的解答是一種藝術(shù)的體現(xiàn)，也是智慧的表現(xiàn).只有多方著力，尋求轉(zhuǎn)化與突破，方能“會當凌絕頂，一覽眾山小”.為此本文就這類函數(shù)創(chuàng)新試題進行透視剖析，探索解決問題的規(guī)律與方法.

一、“定義型”函數(shù)創(chuàng)新試題

“定義型”函數(shù)創(chuàng)新試題是指通過給出閱讀材料，設(shè)計一個陌生的數(shù)學情境，引出一種函數(shù)新概念，一種新函數(shù)的定義，一個函數(shù)新性質(zhì)的試題，是近幾年高考函數(shù)創(chuàng)新試題命題的一種趨勢.求解“定義型”函數(shù)創(chuàng)新試題首先要讀懂題意，準確理解給出的新定義；然后利用已學知識把其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題，膽大心細，追根溯源，變“柳暗”為“花明”，化“復雜”為“簡單”地解決問題.

1.函數(shù)新概念

畫出以上三種情形的圖象，即可知選項A正確.

點評此題形式新穎，細看背景熟悉，由橢圓定義演變，嫁接而成，給人耳目一新之感；考查對新概念的理解和應(yīng)用，意在考查考生處理新問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的能力，數(shù)形結(jié)合能力；有效地檢測了考生對中學數(shù)學知識所蘊含的數(shù)學思想和方法的掌握程度以及考生今后的學習潛能.

例2（2014年湖北理科第14題）.設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，且f（x）>0，對任意a>0，b>0，若經(jīng)過點（a，f（a）），（b，-f（b））的直線與x軸的交點為（c，0），則稱c為a，b關(guān)于函數(shù)f（x）的平均數(shù)，記為Mf（a，b），例如，當f（x）=1（x>0）時，可得Mf（a，b）=c=a+b2，即Mf（a，b）為a，b的算術(shù)平均數(shù).

（1）當f（x）=（x>0）時，Mf（a，b）為a，b的幾何平均數(shù)；

（2）當f（x）=（x>0）時，Mf（a，b）為a，b的調(diào)和平均數(shù)2aba+b；

（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可）

分析透徹理解函數(shù)f（x）的平均數(shù)Mf（a，b）的概念是求解的關(guān)鍵，為此此題要類比推理求解.

解設(shè)A（a，f（a）），B（b，f（b）），C（c，0），則三點共線；

（1）依題意，c=ab，則0-f（a）c-a=0+f（b）c-b，即0-f（a）ab-a=0+f（b）ab-b，因為a>0，b>0，所以化簡得f（a）a=f（b）a，故可設(shè)f（x）=x（x>0）；

（2）依題意，c=2aba+b，則0-f（a）2aba+b-a=0+f（b）2aba+b-b，因為a>0，b>0，所以化簡得f（a）a=f（b）b，故可設(shè)f（x）=x（x>0）；

點評此題考查考生接受新知識并應(yīng)用新知識解題的能力以及類比推理能力，是一道難易適中，意雋味濃的信息遷移試題；當然解決本題需要一定的知識儲備與數(shù)學靈氣.

2.定義新函數(shù)

例3（2014年山東理科第15題）.已知函數(shù)y=f（x）（x∈R），對函數(shù)y=g（x）（x∈I），定義g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h（x）（x∈I），y=h（x）滿足：對任意x∈I，兩個點（x，h（x））.（x，g（x））關(guān)于點（x，f（x））對稱，若h（x）是g（x）=4-x2關(guān)于f（x）=3x+b的“對稱函數(shù)”，且h（x）>g（x）恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是.

解析函數(shù)g（x）的定義域為[-2，2]，根據(jù)已知得：f（x）=h（x）+g（x）2，所以

h（x）=2f（x）-g（x）=6x+2b-4-x2，因為h（x）>g（x）恒成立，即6x+2b-4-x2>4-x2恒成立，即3x+b>4-x2恒成立，為此令y=3x+b，y=4-x2，則只要直線y=3x+b在半圓x2+y2=4（y≥0）的上方即可，由|b|10>2，得b>210（舍去負值），故實數(shù)b的取值范圍是（210，+∞）.

點評此題主要考查“對稱函數(shù)”新定義，由點關(guān)于點的對稱點定義演變而來，可以說背景熟悉公平，也考查了直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識；著重考查考生的閱讀理解能力與解決含參數(shù)的不等式恒成立問題的能力，也考查了考生在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識.

3.函數(shù)新性質(zhì)

例4（2014年四川理科第15題）.以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ（x）組成的集合：對于函數(shù)φ（x），存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M].例如，當φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx時，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.現(xiàn)有如下命題：

①設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”的充要條件是“b∈R，a∈D，f（a）=b”；

②函數(shù)f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值；

③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）B；

④若函數(shù)f（x）=aln（x+2）+xx2+1（x>-2，a∈R）有最大值，則f（x）∈B.

其中的真命題有 .（寫出所有真命題的序號）

解析對于①根據(jù)題中定義，f（x）∈A等價于y=f（x），x∈D的值域為R，由函數(shù)值域的概念知，函數(shù)y=f（x），x∈D的值域為R等價于b∈R，a∈D，使得f（a）=b，所以①正確.

對于②，例如函數(shù)f（x）=（12）|x|的值域為（0，1]，包含于區(qū)間[-1，1]，所以f（x）∈B，但f（x）有最大值，沒有最小值，所以②錯誤.

對于③，若f（x）+g（x）∈B，則存在一個正數(shù)M1，使得函數(shù)f（x）+g（x）的值域包含于區(qū)間[-M1，M1]，所以-M1≤f（x）+g（x）≤M1，由g（x）∈B知，存在一個正數(shù)M2，使得函數(shù)g（x）的值域包含于區(qū)間[-M2，M2]，所以-M2≤g（x）≤M2，亦有-M2≤-g（x）≤M2，兩式相加得-（M1+M2）≤f（x）≤M1+M2，于是f（x）∈B，這與“f（x）∈A”矛盾，故f（x）+g（x）B，即③正確.

對于④，如果a>0，那么x→+∞，f（x）→+∞，如果a<0，那么x→-2，f（x）→+∞，所以f（x）有最大值，必須a=0，此時f（x）=xx2+1在區(qū)間（-2，+∞）上，有-12≤f（x）≤12，所以f（x）∈B，即④正確，故填①③④.

點評本題主要考查考生的閱讀理解能力，邏輯思維能力，分析和解決問題的能力以及創(chuàng)新意識；這道題情境新穎，運算量小，思維量大，有效地考查了考生數(shù)學思維的敏銳性，嚴謹性，深刻性與創(chuàng)造性等思維品質(zhì)，故這道題區(qū)分度很好.

二、抽象函數(shù)型創(chuàng)新試題

抽象函數(shù)是指沒有明確給出函數(shù)具體的解析式或圖象，只給出與函數(shù)有關(guān)的一些條件或特征的函數(shù).解抽象函數(shù)題，常用賦值法.

例5（2014年遼寧理科第12題）.已知定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足：

點評試題解答較繁瑣，要求考生不但理性淡定，不慌不忙，更需要有較好的心理承受能力與解決問題的野心.

高考函數(shù)創(chuàng)新題易錯點警示：

（1）匆忙讀題，未認真審題，未懂題意或一知半解，就亂作一通.

（2）讀完題后，產(chǎn)生恐懼感，放棄不做或胡亂寫一些.

（3）“三基”不扎實，想不到或找不到解決問題的方法.

（4）不會用等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想去分析、解決問題.

創(chuàng)新型問題始終是高考永恒的熱點，函數(shù)創(chuàng)新題的實質(zhì)是形式新穎，內(nèi)涵豐富，以能力為立意，解決它們要沉著冷靜，膽大心細，仔細讀題審題，讀懂題目，抓住問題的本質(zhì)，應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，分類討論等數(shù)學思想方法，多方合力，就能得心應(yīng)手，運籌帷幄，決勝于千里了.

注：此文為甘肅省教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度《新課改理念下高三數(shù)學復習高效策略研究》課題（課題批準號GS【2013】GHB0771）成果.

（收稿日期：2014-10-12）endprint