計數(shù)法的演變及其對小學生數(shù)概念形成的啟示

陳華中

摘 要：概念是數(shù)學基礎知識的基本內(nèi)容，數(shù)學知識中的性質(zhì)、定理、公式、法則等內(nèi)容的展開，都離不開數(shù)學概念，同時，數(shù)概念不是知識，也不是技能，而是認識客觀事物與數(shù)時建立起來的一種意識，是人對“數(shù)”的敏銳、精確、豐富的感知和領悟。因此，本文考察了人類計數(shù)法的演變情況和數(shù)概念的形成原理，并探討了其對兒童早期學習數(shù)概念的啟示。

關鍵詞：計數(shù)法；數(shù)概念；演變

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）03-320-01

數(shù)學始于數(shù)和形概念的產(chǎn)生，其詳情無由稽考，但肯定不是一蹴而就的，其中凝聚著先民們的艱苦創(chuàng)造。認識數(shù)并把它們表示出來，這是人類最早的數(shù)學活動之一。由于脫離計數(shù)活動、數(shù)及其運算而獨論記數(shù)是不可能的，所以有必要對它們的關系作若干規(guī)定和說明。

本文之數(shù)概指自然數(shù)。單個自然數(shù)乃一切等價有限集合之抽象，是通過反復的計數(shù)活動形成的。計數(shù)作為一種計量活動，其本質(zhì)乃是把待計的有限集合與某個已知的標準集合（如手指的集合、數(shù)詞的片斷等）建立一一對應關系。而所謂記數(shù)，就是用某個符號系統(tǒng)表達或保存計數(shù)結(jié)果（即數(shù)）的一種活動。

很明顯，計數(shù)和記數(shù)既是數(shù)學活動，也是語言活動。當計數(shù)在口頭上進行時，語言中必得有數(shù)的名稱；當記數(shù)采取書寫的形式時，就需要數(shù)字符號。記數(shù)和計數(shù)唇齒相依，幾乎是同時發(fā)生的，所以有必要簡單分析一下計數(shù)法的演變情況。

最初的原始人類并沒有數(shù)的概念，但能依據(jù)某種方式判斷一個具體集合的大小發(fā)生了變化。這種覺察多寡的能力就是數(shù)的感覺，某些動物（鳥類、蜂類等）也有這種數(shù)覺本能。①當原始人的思維還不能對事物的關系和性質(zhì)作精細的分析時，僅憑數(shù)的直覺還不可能把數(shù)和物體的其它性質(zhì)分開，更不可能從物體的集合中抽象出來，這時的數(shù)概念是模糊而散漫的。后來，原始人能夠分辨一、二和許多，漸至認識了等數(shù)性，于是動物所沒有的計數(shù)活動在人類出現(xiàn)了，并真正導致數(shù)概念的產(chǎn)生。

當計數(shù)的對象不多時，人們用身邊常見的物體，特別是自己身體上的器官和肢端作為比較的標準，是再自然不過的事了。其中屈指計數(shù)具有十分重要的意義。②這個階段的數(shù)已被指明為物體集合的一個性質(zhì)，但尚未從中抽象出來，計數(shù)的功能只是把一組物體的數(shù)量特征轉(zhuǎn)移到另一組物體。原始人還沒有認識到數(shù)列的潛在無窮性，對超過一定數(shù)目（比如手指個數(shù)）的數(shù)就不能計算了。

原始社會進化到稍有經(jīng)濟組織的時候，由于分配和交換的需要，人們計算大數(shù)的機會增多了。屈指計數(shù)不敷應用，就用石子、木棍、繩結(jié)等實物計數(shù)。這仍是在兩組物體之間建立一一對應，但人類認識的數(shù)量增大了，并導致進位思想的產(chǎn)生。結(jié)合進位思想對實物計數(shù)法進行改良，人們又創(chuàng)造出各種計數(shù)工具，如算籌、算盤等。實物和工具計數(shù)法都適應了早期人類思維的直觀性。

文字產(chǎn)生后，單個的數(shù)有了獨立的名稱，人們就用語言文字計數(shù)。數(shù)開始脫離物體集合而成為抽象概念，數(shù)與數(shù)之間有了運算。③最后，數(shù)概念在人們頭腦中形成具有一定關系和規(guī)律的潛在無窮系統(tǒng)。

人類數(shù)概念的形成過程，對兒童學習計數(shù)和記數(shù)有一定的啟示。小學低年級學生，較多應用“具體實例”、“直觀特征”形式掌握概念，他們獲得數(shù)概念的過程，往往是一個反復感知，辨認同類事物不同例子，分不同層次抽象概括其本質(zhì)特征的過程。

一年級學生是這樣形成10以內(nèi)的數(shù)概念：數(shù)實物（使實物與數(shù)目相聯(lián)系）→撥算珠（抽象出事物的數(shù)量特征，用有形的算珠代表事物）→讀寫數(shù)字（用抽象的數(shù)字代替算珠）→形成數(shù)概念。

隨著數(shù)概念范圍逐步擴展，在學習20以內(nèi)、100以內(nèi)、萬以內(nèi)數(shù)的認識過程中獲得數(shù)概念的方式是基本相同的，但每個階段具體要求是不同的，體現(xiàn)了從易到難、從簡單到復雜的不同層次水平，從具體到抽象的順序不斷發(fā)展深化。下面就數(shù)數(shù)和讀寫數(shù)為例加以說明：

教學20以內(nèi)認數(shù)時，在數(shù)實物的過程中突出“十”為單位的基礎上一個個地數(shù)，孕伏計數(shù)單位“十”和“一”；在讀寫數(shù)的過程中要憑借實物圖，從圖、數(shù)的對應地讀、寫做起，以便突出20以內(nèi)數(shù)的組成。

教學100以內(nèi)認數(shù)時，數(shù)實物要分層進行：第一層從二十起一根根地數(shù)到100，弄清100以內(nèi)數(shù)的順序；第二層十根十根地數(shù)，數(shù)到100掌握整十數(shù)的順序并感知10個十是一百；第三層接近整十數(shù)往下數(shù)，突破認識100以內(nèi)數(shù)的順序難點；第四層在數(shù)數(shù)的過程中憑借實物感知100以內(nèi)數(shù)的組成，在讀、寫教學中不再依靠實物而是借助計數(shù)器。在感知數(shù)位的基礎上形成讀、寫一般表象“都從高位起”。

教學萬以內(nèi)認數(shù)，有了100以內(nèi)數(shù)認識的基礎，同時由于數(shù)的再擴展，所以通過計數(shù)器半抽象地進行數(shù)數(shù)練習；在讀、寫數(shù)教學中要提高抽象概括的水平，如讀數(shù)第一步通過656、3812兩數(shù)讀法總結(jié)出“從高位起”，按照數(shù)位順序讀，千位上是幾千，……個位上是幾就讀“幾”，第二步通過703、5006兩數(shù)讀法總結(jié)出“中間有一個0或兩個0，只讀一個零”，第三步通過400、8000兩個數(shù)的讀法總結(jié)出“末尾不管有幾個0，都不讀”，第四步通過3040讀法，最后總結(jié)性概括讀法。

參考文獻：

[1] 袁小明.數(shù)學思想史導論[M].廣西教育出版社，1991.3

[2] 許純舫.中國算術故事[M].中國青年出版社，1963年第3版

[3] [美]M.克來因.古今數(shù)學思想（第一冊）[M].上海科技出版社，1980.11