數(shù)學(xué)思想方法在高中解題中的應(yīng)用

周雪銳

摘 要：數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法很多，這里僅就高中教材中和考試題中常見(jiàn)的四種：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想作些探討，讓學(xué)生從中體會(huì)四種基本數(shù)學(xué)思想方法在解題中的重要作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；思想方法；高中；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）08-264-01

數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法很多，這里僅就高中教材中和考試題中常見(jiàn)的四種：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想作些探討，讓學(xué)生從中體會(huì)四種基本數(shù)學(xué)思想方法在解題中的重要作用。

函數(shù)思想就是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的等量關(guān)系，建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題，達(dá)到轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的，從而使問(wèn)題獲得解決的思想。

方程思想，就是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型—方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決的思想。

1、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的思想方法之一，在高考中有非常重要的地位。數(shù)學(xué)中很多函數(shù)的問(wèn)題需要用方程的知識(shí)和方法來(lái)支持，很多方程的問(wèn)題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法去解決，即函數(shù)與方程可相互轉(zhuǎn)化。

下面來(lái)看這樣一道例題：

例1：和 的定義域都是非零實(shí)數(shù)集，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且求的取值范圍。

分析：已知兩個(gè)函數(shù)的和，求商，好象從未見(jiàn)過(guò)。我們不能只看符號(hào)，不注重文字，其實(shí)這一題的關(guān)鍵在于“是偶函數(shù)，是奇函數(shù)”，于是就有，又有再把換成。這時(shí)不能再把 當(dāng)函數(shù)解析式來(lái)看了，知道了+，-就可以把它們當(dāng)成兩個(gè)未知數(shù)，只需去解一個(gè)二元一次方程組問(wèn)題就解決了。

由于函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的舉足輕重的地位，因而函數(shù)與方程的思想一直是高考要考察的重點(diǎn)，它在解析幾何、立體幾何、數(shù)列等知識(shí)中都有廣泛應(yīng)用。

2、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合思想就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)圖形的描述，代數(shù)論證來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)和形的關(guān)系是非常密切的。把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，能夠使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，把數(shù)學(xué)題目中的一些抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，在具體的幾何圖形中尋找數(shù)量之間的聯(lián)系，由此可以達(dá)到化難為簡(jiǎn)、化繁為易的目的。

看一道數(shù)形結(jié)合的例題：

例2：已知關(guān)于x 的方程=px，有4個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。

分析：設(shè)y = = 與y=px這兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)， 畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖像

（1）直線(xiàn)y= px與y=-（x-4x+3），x[1，3]相切時(shí)原方程有3個(gè)根。

（2）y=px與x軸重合時(shí)， 原方程有兩個(gè)解， 故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)y=px應(yīng)介于這兩者之間，由：得x+（p -4）x+3=0，再由△=0得，p=4±2，當(dāng)p=4+2時(shí)， x=-[1，3]舍去， 所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是0在數(shù)學(xué)中只要我們注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，既可增加同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)又能提高對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解力和解題能力，也是提高數(shù)學(xué)素質(zhì)不可缺少的因素之一。

3、轉(zhuǎn)化與化歸的思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，把待解決的問(wèn)題或未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題或者容易解決的問(wèn)題的一種重要思想方法。通過(guò)不斷轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

轉(zhuǎn)化與化歸的思想貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)中，掌握這一思想方法，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法分析問(wèn)題、處理問(wèn)題有著十分重要意義

看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：

例3：求函數(shù)的最值

分析：若平方、移項(xiàng)等，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些嘗試都是徒勞無(wú)功的。我們注意到：可以把換成什么？有了，也是在上的！

從某種意義上講，解答每一道題都是通過(guò)探索而找到解題思路，通過(guò)轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。轉(zhuǎn)化時(shí)，一般是把一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題；把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；把陌生繁復(fù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉，簡(jiǎn)單的問(wèn)題等。

4、分類(lèi)討論的思想

所謂分類(lèi)討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)問(wèn)題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)，然后逐類(lèi)進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解決，這一思想方法，我們稱(chēng)之為“分類(lèi)討論的思想”。

分類(lèi)討論時(shí)，必須遵循兩個(gè)原則：（1）對(duì)存在總域的各個(gè)子域分類(lèi)做到“既不重復(fù)，又不遺漏”；（2）每次分類(lèi)必須按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。數(shù)學(xué)分類(lèi)思想的關(guān)鍵在于正確選擇分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，要找到適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，就必須運(yùn)用辨證的邏輯思維，就必須對(duì)具體事物具體分析，在表面上極為相似的事物之間看出它們本質(zhì)上的差異點(diǎn)，在表面上差異極大的事物之間看出它們本質(zhì)上的相同點(diǎn)。這樣才能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行有意義的分類(lèi)。

分類(lèi)討論難免會(huì)有點(diǎn)繁瑣，看似一道題，卻相當(dāng)于幾道題的工作量。但當(dāng)目標(biāo)不明確時(shí)，分類(lèi)討論就是開(kāi)門(mén)鑰匙了！

分類(lèi)討論思想是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，這種思想在簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類(lèi)討論的思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位。

以上四種數(shù)學(xué)思想方法對(duì)認(rèn)知數(shù)學(xué)活動(dòng)的一般規(guī)律；對(duì)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神、思想和方法，建立正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教育觀；對(duì)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)、提高學(xué)業(yè)成績(jī)、提高數(shù)學(xué)素質(zhì)、培養(yǎng)智能型、創(chuàng)新型人才都能起到積極的推動(dòng)作用，所以在今后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要不斷進(jìn)行歸納和總結(jié)，不斷體會(huì)這四種重要數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的作用。