圓錐曲線離心率的求解

魏源

摘 要：圓錐曲線離心率的求解，是當(dāng)今高考必不可少的一個(gè)考點(diǎn)，在學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)中都存在一些困惑，為此筆者結(jié)合近些年的高考動(dòng)向及各省市的高考試題研究分析，利用方程思想去解決圓錐曲線離心率的問(wèn)題，收到了較為理想的效果。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；離心率；求解

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）08-201-02

圓錐曲線離心率的求解是當(dāng)今高考的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，近些年來(lái)，各地高考對(duì)圓錐曲線的求解的認(rèn)識(shí)及解決策略有著大量的研究，也取得豐碩成果，但筆者就今年高考動(dòng)向及各省市高考試題分析發(fā)現(xiàn)利用方程思想，以及圓錐曲線的幾何性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)于解決圓錐曲線離心率問(wèn)題，起著積極而有效的作用。

一、關(guān)于離心率的考點(diǎn)的幾點(diǎn)認(rèn)知

從近幾年高考動(dòng)向分析，圓錐曲線離心率關(guān)鍵考點(diǎn)在于圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率與準(zhǔn)線方程，結(jié)合個(gè)省市高考試題看，對(duì)圓錐曲線求解的認(rèn)識(shí)及解決的主要問(wèn)題在于求圓錐曲線的離心率的值和求離心率的取值范圍，所以筆者在教學(xué)中，盡力將方程思想與圓錐曲線的幾何性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合起來(lái)，起到良好的教學(xué)效果。

二、離心率問(wèn)題的解決的幾種辦法

從近幾年全國(guó)及各省市高考試卷的分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于圓錐曲線離心率問(wèn)題解決主要由以下幾種辦法：

（1）直接求出a，c.求解e

（2）利用公式，求出整體e

（3）利用第二定義法

（4）構(gòu)造a，c齊次式，解出e

三、抓住圓錐曲線離心率問(wèn)題解決的核心

作為高考重點(diǎn)和難點(diǎn)的圓錐曲線離心率問(wèn)題，理所當(dāng)然的被高中教師及學(xué)生高度關(guān)注，有關(guān)這方面的研究及論文在網(wǎng)上隨處可見(jiàn)，也還有求離心率的相關(guān)資料書(shū)籍可到處查尋，但關(guān)于離心率的求解問(wèn)題一直困擾在同學(xué)們心中，每次的問(wèn)題都不一樣，學(xué)生遇到這類題的時(shí)候，就只得望而生畏，毫無(wú)頭緒，無(wú)法得到準(zhǔn)確而滿意的解答，所以，筆者近年積極加強(qiáng)這方面的研究和思考，主要從相關(guān)省市高考試題入手，努力探尋圓錐曲線離心率問(wèn)題解決的核心，為學(xué)生打開(kāi)思維之門(mén)。比如：從重慶這幾年的高考試卷中分析得到，離心率的常見(jiàn)考法，就是建立方程思想來(lái)解決求值以及范圍。下面我從以下案例來(lái)進(jìn)行分析：

案例1：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線 ﹣ =1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，則該雙曲線的離心率為（ ）

本題來(lái)自2014重慶理科數(shù)學(xué)8題，主要考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，難度屬于中檔題，很多網(wǎng)站考點(diǎn)分析都是說(shuō)用的第二定義來(lái)求離心率，學(xué)生并不熟悉的焦半徑公式。

解：不妨設(shè)右支上P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x

由焦半徑公式有|PF1|=ex﹣a，|PF2|=ex+a，

∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，

∴2ex=3b，（ex）2﹣a2= ab

∴ b2﹣a2= ab

∴a= b，

∴c= = b，

∴e= = .

這類型的題目的主要是讓學(xué)生善于思考問(wèn)題，那么教師應(yīng)該思考的問(wèn)題是離心率的核心是什么，即如何建立a，c之間的關(guān)系，如果找到這個(gè)關(guān)系，也就能解決離心率了，離心率不是一個(gè)雙曲線具體的方程，是刻畫(huà)圓錐曲線的共性的東西，有利于反應(yīng)圓錐曲線的圖像性質(zhì)，所以教師只需要建立方程就把問(wèn)題解決了，而且明顯是第一定義來(lái)建立方程，下面就是方程的思想解法：

解：不妨設(shè)雙曲線上有一點(diǎn)P，那么P點(diǎn)應(yīng)該滿足雙曲線的定義

∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，

∴||PF1|-|PF2||=2a

左右平方，通過(guò)重新配方可得

∴（|PF1|+|PF2|）2﹣4|PF1|·|PF2|=4 a2

將條件代入上式中，可得一個(gè)關(guān)于a，b的方程

∴9b2﹣4a2=9ab然后易得e= = .

案例1的反思：兩種思路去解題，很多老師為了學(xué)生能夠解決，給他們總結(jié)了很多方法，不僅讓問(wèn)題得到解決，還加重了學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，關(guān)鍵在于沒(méi)有從問(wèn)題的核心思考；第二種解題明顯快速切入主題，找準(zhǔn)要害，直接建立方程，得到了答案，所以只要找準(zhǔn)了方程，離心率的值可以很快的求出，根據(jù)這一思想，其實(shí)離心率的范圍也是一樣，把方程的思想推廣到不等式上面即可。

案例2：雙曲線C： 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)， 為 的內(nèi)心，記 的面積分別為 ，若 ，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）

分析：雙曲線的取值范圍的求解和求值有相同的理論基礎(chǔ)，題目中很明顯有一個(gè)不等式，那么離心率的范圍要借助題目中的不等式來(lái)解決，那就得表示出不等式，一切問(wèn)題都解決了。

解 設(shè) ，內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為

則 ，

由題可得

≥ 即 ≥

≥ 即 ≤

.

案例2反思：本題是2015重慶理科二診13題，看起來(lái)本題毫無(wú)頭緒，但是仔細(xì)去雕琢它，發(fā)現(xiàn)其核心思想是把不等式表示出來(lái)，然后通過(guò)去約分，本題就不再那么困難了。

四、探本求源是解決問(wèn)題的關(guān)鍵

通過(guò)以上案例，不難發(fā)現(xiàn)：所有求離心率的方法似乎可以萬(wàn)法歸一，即建立方程，緊密結(jié)合圓錐曲線離心率和數(shù)形特點(diǎn)去解決其求值和取值范圍，能夠取得滿意的效果。同時(shí)，在解決此問(wèn)題時(shí)，告訴人們：任何知識(shí)問(wèn)題的存在，都有其根本原因的，問(wèn)題解答者，不能光去追逐問(wèn)題的解決辦法，應(yīng)更多的去思考產(chǎn)生這個(gè)問(wèn)題的根本原因是什么，探本求源是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，只有挖掘了問(wèn)題產(chǎn)生的根本原因，才會(huì)得到快速解決問(wèn)題的關(guān)鍵因素，及問(wèn)題的核心要素，比如離心率的核心就a，c之間的關(guān)系，找到了問(wèn)題的核心，問(wèn)題就能迎刃而解了。