用方程的觀點(diǎn)看一次函數(shù)

關(guān)永健

摘 要：本文從幾方面簡(jiǎn)述如何用二元一次方程組來(lái)理解一次函數(shù)的問(wèn)題，從而有機(jī)地把一次函數(shù)和二元一次方程（組）結(jié)合起來(lái)使用，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：二元一次方程 一次函數(shù) 圖象 方程組解

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）08-187-02

如果我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，注意引導(dǎo)學(xué)生用二元一次方程的知識(shí)和觀點(diǎn)來(lái)看待一次函數(shù)，往往會(huì)收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函數(shù)圖象

一個(gè)二元一次方程 （m、n都是常數(shù)，且m、n都不為0）是一個(gè)不定方程，有無(wú)數(shù)組解。如果把x看作橫坐標(biāo)、y看作縱坐標(biāo)，那么每一組解就是一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。以二元一次方程組 的解為坐標(biāo)的所有的點(diǎn)集中在一起，就構(gòu)成了直線 。也就是說(shuō)，直線 的點(diǎn)與二元一次方程 的解是一一對(duì)應(yīng)的。這樣理解后，下面的問(wèn)題就容易理解了。

求直線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。這問(wèn)題相當(dāng)于知道x（或y）的值為0，求y（或x）的值。

例：直線 與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求A、B的坐標(biāo)。

解：當(dāng)y=0時(shí)，代入直線解析式方程 ，得 ，解得 所以A點(diǎn)的坐標(biāo)是 。

當(dāng)x=0時(shí)，代入直線解析式方程 ，得 ；所以B點(diǎn)的坐標(biāo)是 。

二、利用二元一次方程組來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖象的位置

設(shè)二元一次方程組的一般形式為 ，可轉(zhuǎn)化為 ，令 ，則上述形式又可以寫(xiě)成 。這就對(duì)應(yīng)著兩個(gè)一次函數(shù)。

（1）當(dāng) 時(shí)，二元一次方程組 有唯一解，此時(shí)直線 和直線 相交。

（2）當(dāng) 時(shí)，方程組 無(wú)解，此時(shí)直線 和直線 平行，沒(méi)有公共點(diǎn)。

（3）當(dāng) 時(shí)，方程組 有無(wú)數(shù)組解，此時(shí)直線 和直線 重合，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)。

三、二元一次方程組解決一次函數(shù)問(wèn)題

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，不少一次函數(shù)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的問(wèn)題來(lái)解決，下面這種題型就是很好的例子。

如何求兩個(gè)一次函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)。這個(gè)交點(diǎn)，同時(shí)在這兩個(gè)函數(shù)圖象上，所以同時(shí)滿足這兩個(gè)函數(shù)解析式方程。我們可以通過(guò)解這兩個(gè)解析式組成的方程組來(lái)解決問(wèn)題。

例：求兩個(gè)一次函數(shù) 和 圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)。

解：由題意可得： ；解方程組得： ；所以交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）。

四、二元一次方程與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

實(shí)際問(wèn)題一直是個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)具體情況把一次函數(shù)和二元一次方程組有機(jī)地結(jié)合，靈活運(yùn)用，從而順利解決問(wèn)題。

例：中國(guó)移動(dòng)公司開(kāi)設(shè)兩種通訊業(yè)務(wù)，“全球通”使用者先繳50元月租費(fèi)，每通話1分鐘再付0.4元；“神州行”不繳月租費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.6元?，F(xiàn)在小明想開(kāi)通其中一種通訊業(yè)務(wù)，請(qǐng)問(wèn)他應(yīng)該開(kāi)通哪一種更省錢(qián)？

分析：每月付話費(fèi)的多少與小明每月通話時(shí)間有關(guān)，我們可設(shè)小明每月通話x分鐘，付的話費(fèi)為y元，分別建立起兩種通訊業(yè)務(wù)方案的函數(shù)模型，然后再進(jìn)行比較。

解：設(shè)小明每月通話x分鐘，付的話費(fèi)為y元。

全球通每月付款為y=0.4x+50；神州行通每月付款為y=0.6x

在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象

解方程組 ；解之得： ；所以兩圖象交于點(diǎn)（250，150）

由圖象易知：

當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)選擇神州行更省錢(qián)；

當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)兩種方案沒(méi)有區(qū)別；

當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)選擇全球通更省錢(qián)。

總之，在一次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把一次函數(shù)和二元一次方程有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間來(lái)體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，適當(dāng)?shù)木毩?xí)來(lái)熟練應(yīng)用各知識(shí)點(diǎn)。這樣，相信學(xué)生學(xué)好一次函數(shù)不成問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李亞軍.關(guān)于初中一次函數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].湖南教育（數(shù)學(xué)教師）

[2] 高正峰.直角坐標(biāo)系與一次函數(shù)的內(nèi)容分析與教學(xué)探究[J].學(xué)周刊