◎福建省永安市第三實驗小學 楊丕信
數(shù)學的奧妙,絕非在于計算,計算結果更不是數(shù)學學習的目的,數(shù)學本質(zhì)就是一種應用工具,是一門為問題解決提供基本方法的基礎性學科。然而,數(shù)學能力與數(shù)學成績并不成正比,許多教師更注重學生數(shù)學成績的提高,而忽略了數(shù)學能力的培養(yǎng),尤其是數(shù)學問題解決的基本素養(yǎng)方面的培養(yǎng)。這不符合數(shù)學課程改革的精神和理念,也與提升學生數(shù)學修養(yǎng)和培養(yǎng)數(shù)學能力的長遠目標不一致。
學生只有積累了足夠豐富的問題解決的感性經(jīng)驗,才能實現(xiàn)數(shù)學問題解決由感性認識向理性認識的質(zhì)的飛躍,學生才能真正掌握問題解決的基本思路和方法。
教師不管在數(shù)學知識、數(shù)學基本方法、生活實踐方面,都有豐富的感性認識和直接經(jīng)驗。沒有教師的指導,學生從動手操作中獲取的感性經(jīng)驗可能就會存在偏差,導致數(shù)學問題解決陷入誤區(qū)。因此,加強教師示范操作,有利于將學生解決數(shù)學問題的認識和經(jīng)驗合理化,促使感性認識分化、匯總、升華。
例如,在進行《認識東、西、南、北》(人教版三年級上冊數(shù)學)的教學時,方位數(shù)學問題的教學目的在于:認識東南西北,并能夠準確辨別這四個方向,能根據(jù)實物圖理解平面圖,訓練和培養(yǎng)學生的方向感。教師通常都會傳授同學“上北下南,左西右東”的口令法則,并借助多媒體手段幫助學生理解東南西北方位。這種教學方法幫助學生從平面的角度理解了判斷方位的基本方法,而實際生活中方位的辨識是三維的?!吧媳毕履?,左西右東”口令法則也適用于三維空間范圍,對此,數(shù)學教師就可以利用教室空間進行示范性教學,并進行方向的口令練習,比如說“向左轉(zhuǎn)”“向右轉(zhuǎn)”“向后轉(zhuǎn)”該如何進行,如何在這個過程中活用空間方位口訣,然后組織學生進行方向辨別訓練,規(guī)范引導學生的方向意識,降低學生因平面方向的認知對空間方位判別的干擾,從而培養(yǎng)學生正確的立體空間方向概念。這樣通過教師的示范性操作,幫助學生積累了正確的感性素材,讓學生的經(jīng)驗認識脫離了模糊的階段。
常言道:孩子的智慧總是透過指尖表現(xiàn)出來。學生親自動手操作,不管結果的好與壞,都能積累數(shù)學解決問題的感性經(jīng)驗。自己動手進行操作,形成自己的數(shù)學問題解決思路,正確的操作結果指導學生解決實際問題,而錯誤或是有偏差的操作結果,也能幫助學生積累經(jīng)驗,幫助學生舉一反三。
例如,在進行“烙餅問題”(人教版四年級上冊數(shù)學廣角)教學時,明確數(shù)學的優(yōu)化均衡原理,幫助學生掌握解決這類問題的基本思路和方法。以一道具體的“烙餅問題”的應用題為例,“現(xiàn)在有一口鍋,這口鍋1次可以同時烙2張餅,而1張餅需要烙正反兩面才能熟,每烙1面餅花費3分鐘,試問:一共需要多長時間才能烙好3張餅?”根據(jù)直覺判斷,烙好1張餅需要花費6分鐘,那么,烙好3張餅就需要花費18分鐘,不可否認,這個答案是正確的,但卻不是最優(yōu)的解題方案。這時教師可以讓學生借助硬幣等物品來擺一擺、試一試,看看有沒有更快的方法,記錄下結果,通過操作來發(fā)現(xiàn)更快的組合方法,并動手操作進行驗證。比如,烙好3張餅花費12分鐘的方案(見表烙餅方案一);經(jīng)過反復的實踐操作發(fā)現(xiàn)烙好3張餅最少需要花費9分鐘(見表烙餅方案二),是最優(yōu)的解決方案。解決烙三個餅的問題后,可以讓學生進一步擴展到烙餅4張、5張……10張,讓學生探索奇數(shù)個餅和偶數(shù)個餅的烙餅方案有什么規(guī)律,這實際上是一種重要的解決數(shù)學問題的方法,即數(shù)學推理歸納思想。
烙餅方案一
烙餅方案二(耗時最少,最優(yōu)方案)
數(shù)學問題解決方法的教學,不能依賴于對數(shù)學知識和解題方法的死記硬背,還需要增加學生參與數(shù)學問題探究活動的機會,讓學生自主進行數(shù)學問題解決方法的摸索,以幫助積累數(shù)學活動經(jīng)驗,這也是新的數(shù)學課程標準提出的要求。數(shù)學教材知識,大多是在前人實踐基礎上分析總結得出的,這只能給予學生間接的學習經(jīng)驗,學生要在真正意義上吸收消化這些間接知識經(jīng)驗,還需投身于數(shù)學實踐活動中,不斷去探究數(shù)學問題,尋找和總結出適合自己的數(shù)學問題的解決思路和方法。學生參與數(shù)學問題探究活動,是學生獲得感性認識,并實現(xiàn)由感性認識向理性認識飛躍,增強數(shù)學問題解決能力的最主要途徑。
例如,在進行《找次品數(shù)學問題》(人教版五年級下冊數(shù)學廣角)的教學時,就可以給學生安排小組探究活動,利用學生身邊常見的物品,比如粉筆、餅干、糖果等,結合生活情境,幫助學生認識“找次品”這類數(shù)學問題,讓學生在活動中進行數(shù)學問題的觀察、猜測、試驗、推理,鼓勵學生提出的不同解決方法,掌握解決這類問題的數(shù)學方法和規(guī)律。以五年級“找次品問題”的應用題為例:有4堆糖,每堆都有4塊,其中有一堆中4塊都是次品,正品每塊重5g,次品每塊重4g,能否用天平只稱一次就找出來?寫出過程。
針對這道題所代表的“找次品問題”,教師可以組織一次“找次品”數(shù)學問題的自主探究活動。具體活動過程:第一步,采取學生動手實踐、小組討論和交流的方法,先給學生留有足夠的時間和空間進行問題解決方法的探索,在組織學生以小組為單位進行討論和交流后,可以組織學生進行小組成果展示,比一比誰的解決方案最優(yōu)越,讓學生體會到同一問題的多種解題思路和方法;第二步,對數(shù)學問題的剖析、猜測、歸納、推理的活動過程才是探究活動的重點,通過對比提出的多種解題思路和方法,開展總結、推理等數(shù)學思維活動;最后,教師再適時引導學生逐步脫離具體實物操作,轉(zhuǎn)而運用列表、畫圖等較為抽象的方式進行分析,實現(xiàn)數(shù)學思維從具體到抽象的過渡。
通過教師的活動指導,讓學生探究得出解決過程:從4堆糖中第一堆取1塊,第二堆取2塊,第三堆取3塊,如果稱出的重量為30克,則第四堆是次品;如果稱出的重量為29克,則第一堆是次品;如果稱出的重量為28克,則第二堆為次品;如果稱出的重量為27克,則第三堆為次品。
數(shù)學解決問題能力的培養(yǎng),不在于得到一個正確的解題結果,而在于數(shù)學問題的解題思維的訓練。有些思維誤區(qū),可能影響到整體問題解決過程,對此,教師應及時予以糾正,避免學生在思維誤區(qū)中泥足深陷;有些思維錯誤,不至于影響大局,教師可以暫緩問題反饋,給學生留足思維發(fā)散和問題發(fā)現(xiàn)的時間和空間,引導學生進行問題和思維的反思和總結,這對學生提升數(shù)學問題分析能力是一個重要的補充。
例如,海洋館中要新增一個水箱,這個水箱類似于一個長方體,要求長為2.4米,寬為2.2米,高為1.6米,試問:至少需要準備多少玻璃制作玻璃水箱?(結果保留整數(shù))這類數(shù)學問題本質(zhì)就是長方體的表面積計算,解題思路很簡單,可以輕易得出計算結果為25.28平方米,根據(jù)“四舍五入”法結果保留整數(shù),得出本題答案為:25平方米。對這個結果,教師可以選擇暫緩評價,引導學生再從實際生活角度對這個答案進行反復思考,思考這個答案是否合理,25.28平方米>25平方米,如果只準備25平方米的玻璃,就會留下0.28平方米的缺口,這個玻璃水箱能制作成么?況且,該水箱的長、寬、高都不是整數(shù),裁剪時很容易出現(xiàn)損耗等實際問題,這些都必須納入這道數(shù)學問題解題的考慮范圍。最后再引導學生對“結果保留整數(shù)”這一要求進行深入思考,保留整數(shù),就意味著“四舍五入”么?但如果都采取“四舍五入”的方法明顯與有些現(xiàn)實情況相悖,解題不能一概而論。因此,通過引導學生思考,得出這道問題的答案至少是26平方米(進一法)。想必經(jīng)過這種思維訓練后,學生對于實際問題的數(shù)學解題方法就會有一定認識,對“結果保留整數(shù)”的要求考慮會更實際、更全面,這有利于對解題策略的反思和數(shù)學問題解決能力的全方位提升。
在數(shù)學教學中要從以上三個角度綜合探究數(shù)學問題解決能力的培養(yǎng)方法,幫助學生運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題,提升學生運用數(shù)學知識進行問題解決的能力,培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)。