圓盤形壓電陶瓷復合變壓器的等效電路和特性

倪 浩，林書玉

（陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西西安710119）

圓盤形壓電陶瓷復合變壓器的等效電路和特性

倪 浩，林書玉＊

（陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西西安710119）

研究了由壓電陶瓷圓盤，金屬環(huán)，壓電陶瓷環(huán)組成的圓盤形壓電陶瓷復合變壓器。推導了這種壓電變壓器的等效電路，輸入阻抗，共振、反共振頻率方程和電壓增益方程。分析計算了壓電變壓器尺寸變化對頻率、有效機電耦合系數的影響。研究了負載變化對壓電變壓器頻率、有效機電耦合系數的影響，探討了電壓增益與負載的關系。研究表明，變壓器隨壁厚比的升高共振和反共振頻率皆升高，有效機電耦合系數降低；隨負載的升高，共振、反共振頻率及電壓增益升高，有效機電耦合系數降低。

復合壓電變壓器；等效電路；優(yōu)化設計

PACS：43.35.+d；72.55.+s

壓電變壓器是一種新型的固體超聲功率電子器件，其利用壓電陶瓷材料的正壓電效應和逆壓電效應完成機械能與電能的相互轉換，從而實現電壓的高低變換。它具有許多傳統(tǒng)的電磁式變壓器所不具有的優(yōu)點如：體積小、重量輕、升壓比大、轉換效率高，價格便宜、安全可靠、適合大批量生產、高效節(jié)能等，故具有很高的應用價值。目前，壓電變壓器主要分為三類：Rosen型、厚度振動型及徑向振動型［1－3］。

Rosen型壓電變壓器結構簡單，制作容易，升壓比高，特別適合于驅動高電壓小功率器件，比如驅動冷陰極熒光燈CCFL可為手機、筆記本電腦的LCD顯示器提供背光源。厚度振動型壓電變壓器的特點是功率較大、工作頻率高，能夠降低電壓，多用于高頻開關電源中。徑向振動型壓電變壓器是一種處于發(fā)展中的新型壓電變壓器，這種壓電變壓器的突出優(yōu)點是結構簡單，制作方便，能以很小的尺寸實現低頻和大功率，可用在電子整流器、適配器及DC／DC變換器中［4－8］。

本文針對徑向振動壓電式變壓器，提出了一種新型的復合式壓電陶瓷變壓器系統(tǒng)，通過推導復合徑向壓電變壓器的等效電路，得到了壓電變壓器的共振、反共振頻率方程以及電壓增益方程，并且討論了壓電變壓器尺寸、負載的變化對壓電變壓器共振、反共振頻率，有效機電耦合系數、電壓增益的影響關系。依照本文方法，可以研究多層徑向復合圓環(huán)壓電變壓器的特性，對徑向振動壓電變壓器的設計及實際應用起到一定的指導作用。

1 復合壓電陶瓷變壓器理論分析

圖1 圓盤形復合壓電陶瓷變壓器Fig.1 Piezoelectric ceramic composite disk transformer

復合新型壓電變壓器如圖1所示，內外層分別是縱向極化。半徑為R1的壓電陶瓷圓盤和半徑為R3的壓電陶瓷圓環(huán)，中間層為半徑為R2的金屬鋁環(huán)。壓電變壓器高度h?R1、R2、R3，在內層施加一個縱向的驅動電場E3來激勵此壓電變壓器，其中Vo為輸出端，Vi為輸入端，PZT為壓電陶瓷材料。

1.1 壓電陶瓷圓盤的等效電路

復合壓電陶瓷變壓器的內層壓電陶瓷圓盤如圖2所示，h、R1分別為其厚度和半徑，Fr1、vr1分別為壓電圓盤徑向外力和振動速度，P為極化方向，當h?R1時，壓電陶瓷圓盤可看作薄圓盤。在此條件下可以得到電學參量和機械參量的關系［9］：

圖2 厚度極化壓電陶瓷圓盤Fig.2 Diagram of thickness polarized piezoelectric ceramic disk

圖3 壓電陶瓷圓盤徑向振動機電等效電路Fig.3 Electro－mechanical equivalent circuit of piezoelectric ceramic disc in radial vibration

1.2 金屬環(huán)的等效電路

圖4為金屬圓環(huán)的示意圖，其中h、R1、R2分別表示金屬環(huán)的高度和內外半徑，Fr1、Fr2、vr1、vr2分別為金屬圓環(huán)徑向振動內外表面徑向應力和內外表面振動速度，在平面徑向振動條件下，可以得到徑向應力和徑向速度的關系［10］：

圖4 徑向振動的金屬環(huán)Fig.4 Diagram of a metal thin circular disc in radial vibration

其中，Z1m，Z2m，Z3m分別為機械阻抗。Zr1＝ρVrSr1，Zr2＝ρVrSr2，Sr1＝2πR1h，Sr2＝2πR2h，其中Sr1、Sr2分別是金屬環(huán)內表面積和外表面積。Vr＝，Vr是聲波在金屬環(huán)中傳播的速度，E和v分別是金屬環(huán)的楊氏模量和泊松比，波數k＝ω／r，ω是角頻率。由（3）—（4）可以得到金屬環(huán)的徑向振動等效電路如圖5所示，其中的阻抗表達式為（5）—（7）。

圖5 徑向振動的金屬環(huán)機電等效電路Fig.5 Electro－mechanical equivalent circuit of a thin metal circular disc in radial vibration

1.3 壓電陶瓷圓環(huán)的等效電路

復合壓電陶瓷變壓器的外層壓電陶瓷圓環(huán)如圖6所示，其中P表示極化方向，其中h、R1、R2分別表示金屬環(huán)的高度和內外半徑，Fr2、vr2和Fr3、vr3分別表示壓電陶瓷圓環(huán)徑向振動內表面徑向應力、振動速度和外表面應力和振動速度。在平面徑向振動條件下可以得到電學參量和機械參量的關系［11］：

圖6 厚度極化壓電陶瓷圓環(huán)Fig.6 Diagram of thickness polarized piezoelectric ceramic ring

其中，I31和V31是縱向通過的電流和電壓，Fr2＝n1Fr2，Fr3＝n1Fr3，vr2＝vr2／n1，vr3＝vr3／n2，n1＝（πkr0R3／2），n2＝（πkr0R2／2），V31＝E3h，kr0＝， ω＝2πf；Vr0＝是聲波在壓電陶瓷圓環(huán)中徑向傳播的速度，；壓電陶瓷圓環(huán)機械轉換系數是壓電陶瓷圓環(huán)的靜態(tài)電容，是壓電陶瓷圓環(huán)的表面積。Z1p、Z2p、Z3p是三個機械阻抗，具體表達式為

其中Z02＝ρ0Vr0Sr2，Z03＝ρ0Vr0Sr3，Sr2＝2πR2h，Sr3＝2πR3h。由（8）、（9）、（10）可以得到壓電陶瓷圓環(huán)的等效電路如圖7所示。

圖7 壓電陶瓷圓環(huán)徑向振動機電等效電路Fig.7 Electro－mechanical equivalent circuit of piezoelectric ceramic disc in radial vibration

1.4 壓電陶瓷復合變壓器的機電特性分析

根據徑向應力和速度連續(xù)的邊界條件和圖3、圖5、圖7所示等效電路，可以得到在開路條件下復合式壓電變壓器等效電路如圖8所示。

從圖8中可知，有2個電學終端和4個機械終端，兩條粗實線將壓電變壓器分為三部分：壓電陶瓷圓盤部分，金屬圓環(huán)部分，壓電陶瓷圓環(huán)部分。當壓電陶瓷圓環(huán)處于自由狀態(tài)，即Fr3＝0，此時該端口機械自由，電學短路。選取壓電陶瓷圓環(huán)為輸入端，壓電陶瓷圓盤為輸出端，假設輸出端負載為Z0＝R+jX。從圖中我們可以得到此壓電變壓器的輸入電阻抗為

圖8 壓電陶瓷復合變壓器等效電路Fig.8 Electro－mechanical equivalent circuit of piezoelectric ceramic composite disk transformer in radial vibration

其中復合壓電變壓器的機械阻抗Zm＝Z3p+，帶負載的壓電陶瓷圓盤和金屬圓環(huán)的總機械阻抗，帶負載的壓電陶瓷圓盤的輸入阻抗當R＝∞時，即輸出端開路，由式（13）可以得到復合徑向振動壓電變壓器的共振頻率方程和反共振頻率方程分別為

結合圖8可以得到徑向振動壓電陶瓷變壓器的電壓增益為

其中，Z1＝Zr+Z1m，Z2＝Zmr。

2 復合壓電陶瓷變壓器的特性參數與其幾何尺寸及負載的關系

壓電陶瓷變壓器是一種頻率選擇性器件。當系統(tǒng)共振時，變壓器的性能處于最佳狀態(tài)。壓電變壓器的機電性能與其工作頻率、幾何形狀和尺寸以及負載狀態(tài)等有關。利用上面分析中得到的壓電陶瓷變壓器的參數表達式，對壓電陶瓷變壓器的共振頻率、有效機電耦合系數以及電壓增益比與其幾何尺寸和負載的依賴關系進行了分析及探討。在以下的分析中，選取壓電材料為PZT－4，金屬材料為鋁，它們的具體參數如下

2.1 金屬環(huán)壁厚對復合壓電變壓器的影響

固定復合式徑向振動壓電變壓器內部壓電圓盤的半徑R1＝0.01m，外部壓電陶瓷圓環(huán)的外半徑R3＝0.03m，厚度h＝0.005m。令半徑比τ＝，τ變化區(qū)間為［0，1］，在負載開路（R＝∞時），得出τ與一階，二階共振，反共振頻率的關系圖如圖9、圖10所示，從圖可以得到，在負載開路的條件下，隨著金屬環(huán)壁厚的增加，復合式壓電變壓器的共振頻率和反共振頻率呈上升趨勢。這也意味著，相同半徑下，這種帶有金屬環(huán)的壓電變壓器共振頻率大于沒有金屬環(huán)的變壓器。

圖9 一階模態(tài)頻率隨τ的變化曲線Fig.9 Relationship between the fundamental radial resonance and anti－resonance frequencies and the radius ratio

圖10 二階模態(tài)頻率隨τ的變化曲線Fig.10 Theoretical relationship between the second radial resonance and anti－resonance frequencies and the radius ratio

壓電器件的有效機電耦合系數是反映壓電材料機械能與電能相互轉化的重要參量，根據有效機電耦合系數的定義

其中fa是反共振頻率，fr是共振頻率?？梢缘玫接行C電耦合系數隨金屬環(huán)壁厚變化的趨勢如圖11、12所示。

圖11 一階模態(tài)有效機電耦合系數隨τ的變化曲線Fig.11 The relationship between the effective electro－mechanical coupling coefficient and the radius ratio in first－order model

圖12 二階模態(tài)有效機電耦合系數隨τ的變化曲線Fig.12 The relationship between the effective electro－mechanical coupling coefficient and the radius ratio in second－order model

從圖中可知，隨著τ的增加，一階模態(tài)下機電耦合系數呈下降趨勢，而對于二階模態(tài)，變壓器的有效機電耦合系數存在一個最大值。

2.2 負載對復合壓電變壓器的影響

固定復合式壓電陶瓷變壓器的尺寸，R1＝0.01 m，R2＝0.02m，R3＝0.03m，h＝0.005m。在負載開路的條件下（R＝∞時），由式（14）—（16）可以得到輸入阻抗和頻率的關系（圖13）以及電壓增益與頻率的曲線（圖14）。

圖13 開路時電阻抗與頻率的關系Fig.13 The relationship between electrical impedance and resonance frequency under open circuit conditions

圖14 開路時電壓增益與頻率的關系Fig.14 The relationship between transformer ratio and resonance frequencyunder open circuit conditions

從圖13和圖14中可以看出，在負載開路的條件下，電壓增益的最大值對應開路時的共振頻率。

圖15是共振頻率、反共振頻率隨負載變化的趨勢，從圖中可以看到隨負載的增大，共振頻率、反共振頻率均升高。圖16表示有效機電耦合系數與負載的關系，隨著負載的增大，有效機電耦合系數減小。在尺寸確定的條件下，可以得到在共振條件下電壓增益和負載R之間的變化曲線如圖17所示。

圖15 共振反共振頻率和負載變化的關系Fig.15 The relationship between the resonance，anti－resonance frequencies and the load

圖16 有效機電耦合系數和負載變化的關系Fig.16 The relationship between effective electro－mechanical coupling coefficient and the load

圖17 在共振條件下電壓增益和負載R之間的變化曲線Fig.17 The relationship between transformer ratio and load under resonance conditions

可以看出隨著負載的升高，復合式徑向振動壓電變壓器的電壓增益逐漸升高。

3 結論

本文研究了由壓電陶瓷圓盤、金屬鋁環(huán)以及壓電陶瓷圓環(huán)組成的復合式壓電陶瓷變壓器的等效電路，推導出電壓增益、共振、反共振頻率方程。研究了金屬環(huán)壁厚和負載對變壓器共振頻率，反共振頻率，有效機電耦合系數，電壓增益的影響。結果表明，在開路條件下，隨著金屬壁厚的增加，復合壓電變壓器的頻率升高，有效機電耦合系數降低；當金屬環(huán)尺寸確定，復合變壓器在共振頻率附近獲得最大電壓增益。在負載條件下，隨著負載的增大，復合變壓器頻率升高，電壓增益升高，有效機電耦合系數降低，所以存在一個最佳尺寸使得有效機電耦合系數和電壓增益達到一個最佳狀態(tài)，這為復合壓電變壓器的設計提供了理論基礎。同時，本文提供了一種研究復合壓電變壓器的方法，為研究不同形狀的復合壓電陶瓷變壓器提供了理論依據。

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〔責任編輯 李 博〕

Research on radial vibration of piezoelectric ceramic composite disk transformer

NI Hao，LIN Shuyu＊
（School of Physics and Information Technology，Shaanxi Normal University，Xi′an 710119，Shaanxi，China）

The radial vibration of piezoelectric ceramic composite disk transformer is studied.The piezoelectric transformer is composed of three concentric piezoelectric ceramic disk，metal ring，and piezoelectric ceramic ring.Based on the electro－mechanical equivalent theory，the electro－mechanical equivalent of the piezoelectric transformer，input impedance，the resonance frequency equation，anti－resonance frequency equation and the equation of transformer ratio are obtained. The dependency of the frequency and effective electro－mechanical coupling coefficient on the geometrical dimensions are obtained by using the analytical and numerical methods.The influence of load on frequency，effective electro－mechanical coupling coefficient，transformer ratio on the piezoelectric ceramic transformer are analyzed.It is shown as the increase of ratio of wall thickness，the resonance frequency and anti－resonance frequency increase and the effective electro－mechanial coupling coefficient decreases.The frequency and transformer ratio are all increased with the load increasing，but the effective electro－mechanial coupling coefficient is decreased with the load.

piezoelectric transformer；electro－mechanical equivalent；optimization design

O426.1；TM433

：A

1672－4291（2015）05－0033－06

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.05.253

2014－12－25

國家自然科學基金（11174192）；高等學校博士學科點專項科研基金（2011020211010）

倪浩，男，碩士研究生，研究方向為壓電變壓器。E－mail：louisnh＠sina.com

＊通信作者：林書玉，男，教授，博士生導師。E－mail：sylin＠snnu.edu.cn