低信噪比突發(fā)信號載波頻偏估計(jì)算法

趙陸文，張北江，繆志敏，李廣俠，劉 波

（1.解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院，江蘇南京210007；2.解放軍理工大學(xué)指揮信息系統(tǒng)學(xué)院，江蘇南京210007）

低信噪比突發(fā)信號載波頻偏估計(jì)算法

趙陸文1，張北江1，繆志敏2，李廣俠1，劉 波1

（1.解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院，江蘇南京210007；2.解放軍理工大學(xué)指揮信息系統(tǒng)學(xué)院，江蘇南京210007）

快速準(zhǔn)確的載波頻偏估計(jì)在突發(fā)信號的相干解調(diào)中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。目前的載波頻偏估計(jì)算法很難同時(shí)兼顧估計(jì)精度、信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）門限以及估計(jì)范圍等指標(biāo)。針對這一問題，提出了一種數(shù)據(jù)輔助的基于接收信號自相關(guān)序列離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT）的載波頻偏估計(jì)算法。該算法通過對接收信號的自相關(guān)進(jìn)行加窗處理，借助離散傅里葉變換來實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)。仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典的M＆M算法相比，該算法具有更低的信噪比工作門限，在低信噪比情況下具有更低的差錯(cuò)概率和更寬的估計(jì)范圍，非常適合低信噪比突發(fā)信號的載波頻偏估計(jì)。

載波頻偏估計(jì)；低信噪比；突發(fā)信號；M＆M算法

0 引 言

在無線通信中，由于多普勒效應(yīng)以及收發(fā)信機(jī)本振不同源，使得接收信號載波與本地載波之間不可避免地存在一定的頻差，致使相干解調(diào)無法建立，因此對接收信號載波頻偏進(jìn)行估計(jì)就顯得至關(guān)重要。尤其是在突發(fā)通信中，為了提高幀效率，需要盡可能壓縮導(dǎo)頻信號的長度，因此往往需要在極短的時(shí)間內(nèi)完成載波頻偏估計(jì)。此外，在遠(yuǎn)距離（比如衛(wèi)星通信、深空通信）、遮蔽、室內(nèi)以及干擾條件下，接收到的信號極其微弱［1］。隨著高效編碼技術(shù)的發(fā)展，信號的解調(diào)門限已越來越低，精確的載波同步技術(shù)已成為實(shí)現(xiàn)相干解調(diào)的一個(gè)瓶頸。因此，研究低信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）條件下，突發(fā)信號載波頻偏估計(jì)（也稱為“頻差估計(jì)”）就具有非?，F(xiàn)實(shí)的意義。

基于參數(shù)估計(jì)的前向頻率估計(jì)法由于直接對接收信號進(jìn)行處理，因此估計(jì)速度快，而且沒有反饋支路，不會出現(xiàn)掛起現(xiàn)象，很適合突發(fā)信號載波頻偏估計(jì)。經(jīng)典的前向頻率估計(jì)算法有Kay算法、Fitz算法、L＆R算法、M＆M算法等。Kay算法采用了信號相位差加窗進(jìn)行估計(jì)的方法，僅能在高SNR條件下獲得較高的估計(jì)精度［2］。文獻(xiàn)［3］對Kay算法進(jìn)行了改進(jìn)，通過對相位差加權(quán)平均，降低了SNR閾值。但隨著平均次數(shù)的增加，其估計(jì)精度會顯著降低。Fitz算法［4］和L＆R算法［5］估計(jì)精度高、估計(jì)門限低，但其估計(jì)范圍小，因此僅適合于小頻偏精確估計(jì)。文獻(xiàn)［6］通過相位展開，引入Fitz算法，擴(kuò)大了Fitz算法的估計(jì)范圍，不過其SNR門限依然在0 dB以上。文獻(xiàn)［7］提出了一種基于離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT）的估計(jì)方法，利用“三點(diǎn)法”實(shí)現(xiàn)快速頻率估計(jì)。這種方法簡單易實(shí)現(xiàn)，但在小樣本條件下，估計(jì)精度和頻率分辨率較低，且在低SNR下，其性能惡化嚴(yán)重。文獻(xiàn)［8- 9］分析了相關(guān)運(yùn)算對估計(jì)誤差的影響，并給出了較高SNR時(shí)的相關(guān)長度最優(yōu)值。文獻(xiàn)［10- 11］給出了基于分段累加的快速傅里葉變換（fast Fourier transform，F(xiàn)FT）算法。由于突發(fā)信號本身較短，分段累加的優(yōu)勢無法體現(xiàn)。文獻(xiàn)［12］依據(jù)SNR的不同，選擇不同的DFT運(yùn)算點(diǎn)數(shù)，提高了低SNR條件下的估計(jì)性能，該算法前提是已知接收信號的SNR。對于突發(fā)信號，SNR變化范圍較大，且無法在很短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)SNR估計(jì)。因此，此算法同樣不適用于突發(fā)信號。文獻(xiàn)［13- 14］都是基于接收信號自相關(guān)差分對頻率估計(jì)器進(jìn)行改進(jìn)，獲得了較大的估計(jì)范圍大和較高的估計(jì)精度。不過其SNR門限依然在－3 dB左右。文獻(xiàn)［15］結(jié)合導(dǎo)頻數(shù)據(jù)的自相關(guān)和互相關(guān)值，提出了一種應(yīng)用于醫(yī)療體域網(wǎng)設(shè)備的低復(fù)雜度、低成本的頻偏估計(jì)算法，不過該算法SNR門限要超過4 d B。文獻(xiàn)［16］提出了一種改進(jìn)的編碼輔助迭代載波同步算法，大幅提高了頻偏估計(jì)范圍。但是迭代過程需要較長的估計(jì)時(shí)間，不適合突發(fā)信號。文獻(xiàn)［17］針對二進(jìn)制相移鍵控調(diào)制信號，提出了一種低計(jì)算復(fù)雜度的頻偏估計(jì)算法，能夠獲得較大的估計(jì)范圍，達(dá)到較低的SNR門限。經(jīng)典的M＆M算法［18］因其實(shí)現(xiàn)簡單、估計(jì)精度高、估計(jì)范圍寬，在工程實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用。但是其在低SNR條件下的估計(jì)精度急劇降低，估計(jì)范圍也隨之迅速縮小，在低SNR突發(fā)情況下應(yīng)用受限。文獻(xiàn)［19］利用DFT內(nèi)插技術(shù)，能夠達(dá)到與M＆M算法相當(dāng)?shù)墓烙?jì)性能。

為了克服現(xiàn)有方法普遍存在估計(jì)精度、估計(jì)范圍、SNR門限之間的矛盾，本文提出了一種有數(shù)據(jù)輔助的接收信號自相關(guān)序列離散傅里葉變換（auto correlation DFT，ACDFT）的載波頻偏估計(jì)算法。

1 問題建模

1.1 信號模型

假設(shè)接收信號為多進(jìn)制相移鍵控（M-ary phase shift keying，MPSK）調(diào)制信號，信道為理想的高斯白噪聲信道，其雙邊功率譜密度為N0／2，符號定時(shí)能夠理想同步。接收機(jī)本地參考頻率與載波頻率的偏差為Δf Hz。那么經(jīng)過匹配濾波和正確的采樣，得到的第k個(gè)符號為

式中，｛ck｝為幅度為1的符號序列；Δf為殘留載波頻偏；Ts為符號周期；θ為載波初始相位；｛n（k）｝為0均值、獨(dú)立同分布的復(fù)高斯隨機(jī)變量。假定符號SNR為Es／N0，則噪聲方差為1／（Es／N0）。在有數(shù)據(jù)輔助的情況下，｛ck｝為已知序列。在符號同步的情況下，顯然可以將x（k）乘以（為ck的共軛），去除符號帶來的影響，記

則

換言之，載波頻率估計(jì)也就是利用混有噪聲的L個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)｛z（k），1≤k≤L｝，得到頻偏估計(jì)值Δ^f。

1.2 性能指標(biāo)

評價(jià)一個(gè)載波頻偏估計(jì)算法性能優(yōu)劣，通常包括估計(jì)精度、估計(jì)范圍以及計(jì)算量等指標(biāo)。估計(jì)精度常用歸一化方差var（ΔTs）或者歸一化均方根誤差（normal root mean square error，NRMSE）來衡量。其中NRMSE定義如下：

式中，Ne為實(shí)驗(yàn)次數(shù)；Δ表示第i次實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

對于低SNR情況下突發(fā)信號的載波頻偏估計(jì)，還應(yīng)考慮算法適用的SNR門限SNRth（也可以用門限Eb／N0衡量）、差錯(cuò)概率pr等指標(biāo)。所謂差錯(cuò)概率就是估計(jì)結(jié)果誤差絕對值超過一定門限Δfth（取決于具體的應(yīng)用，比如數(shù)倍克拉美羅界）的概率，定義如下：

SNR門限就是在差錯(cuò)概率不超過一定的門限prth的前提下，算法能夠正常工作的最低SNR，定義如下：

2 算法描述

2.1 基于自相關(guān)的頻率估計(jì)算法性能分析

作為前向頻率估計(jì)方法的一個(gè)重要類型，基于自相關(guān)函數(shù)的頻率估計(jì)方法被廣泛應(yīng)用于突發(fā)信號載波頻偏估計(jì)。首先對樣點(diǎn)序列｛z（k）｝計(jì)算其部分自相關(guān)，如下：

式中，N為參與頻率估計(jì)的自相關(guān)樣點(diǎn)數(shù)。通常情況下，N≤L／2，在Fitz、L＆R、M＆M等算法中，N＝L／2時(shí)算法性能最優(yōu)。

將式（2）代入式（7），重新寫為

式中

由此可見，接收序列的自相關(guān)序列中包含了載波頻偏信息和噪聲。Fitz、L＆R、M＆M等經(jīng)典算法都是對該序列進(jìn)行不同的處理而得到的。相較其他算法，M＆M算法具有較寬的估計(jì)范圍、較高的估計(jì)精度和較低的SNR門限。在下文中，重點(diǎn)對M＆M算法進(jìn)行分析，本文提出的算法也主要與其進(jìn)行性能比較。M＆M算法在一定的SNR要求下，忽略掉式（8）中最后一項(xiàng)，得到頻偏估計(jì)值為

式中，ω（m）為平滑函數(shù)［18］，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)權(quán)重因子，其在M＆M算法中起著非常關(guān)鍵的作用。

M＆M算法在SNR較高時(shí)，其估計(jì)結(jié)果能夠接近或者達(dá)到修正的克拉美羅界（modified Cramer-Rao bound，MCRB）［20］。當(dāng)SNR降低至某一閾值時(shí)，估計(jì)性能急劇惡化。如圖1所示，對正交相移鍵控（quadrature phase shift keying，QPSK）調(diào)制信號，在L＝128、N＝64、fs＝4 k Hz條件下，當(dāng)Eb／N0≤－5.5 d B時(shí)，算法性能急劇惡化。

圖1 低SNR情況下M＆M算法頻偏估計(jì)性能

2.2 AC-DFT算法描述

M＆M算法的基本思想與其他基于相位差分頻率估計(jì)的算法相似，在SNR較高的條件下，把復(fù)加性噪聲等效到相位中去，從而忽略噪聲對頻率估計(jì)的影響。正如前面分析，這種算法在低SNR情況性能將急劇惡化，甚至根本無法使用。為了提高低SNR下的估計(jì)性能，本文直接對自相關(guān)值進(jìn)行DFT分析（在實(shí)際使用中可用FFT來實(shí)現(xiàn)），得到頻偏估計(jì)結(jié)果，將這種算法稱為基于自相關(guān)序列離散傅里葉變換的載波頻偏估計(jì)算法——AC-DFT算法。由于本算法直接從式（8）進(jìn)行頻偏估計(jì)，在低SNR情況下，能夠獲得比M＆M算法更好的估計(jì)性能。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1對樣點(diǎn)序列｛z（k）｝計(jì)算其自相關(guān)，得到長度為2L－1的自相關(guān)序列R（n）

步驟2 將｛R（n）｝向右平移L個(gè)點(diǎn)，進(jìn)行加窗處理，取中間的M個(gè)相關(guān)值（M≤2L－1，且為偶數(shù)），并對幅度進(jìn)行歸一化處理，得到長度為M的部分自相關(guān)序列｛R（m）｝

式中，ω（m）為m＝0，1，…，M。

窗函數(shù)定義如下：

步驟3對｛R（m）｝做M點(diǎn)的DFT，得到｛R（k）｝

步驟4進(jìn)行頻偏估計(jì)，得到頻偏估計(jì)值為

式中，kpeak＝k＋δ，k＝arg max（｜R（k）｜），表示｛R（k）｝峰值對應(yīng)的序號，δ為修正因子［6］，定義如下：

式中，Re［·］表示取實(shí)部。

由于該算法也是基于式（8）進(jìn)行估計(jì)，其估計(jì)范圍同樣為｜Δ｜≤0.5fs。

2.3 自相關(guān)樣點(diǎn)數(shù)的選擇

對于M＆M等算法，自相關(guān)樣點(diǎn)數(shù)N＝L／2時(shí)性能最優(yōu)，且樣點(diǎn)數(shù)的選擇對算法性能有較大的影響［18］。由于自相關(guān)值呈三角形分布，也就意味著m值越大的自相關(guān)值受噪聲影響越大，因此，過多的樣點(diǎn)數(shù)，會導(dǎo)致SNR門限升高。而為了獲得較高的估計(jì)精度，需要足夠多的樣點(diǎn)數(shù)。而越多的樣點(diǎn)數(shù)，意味著更高的計(jì)算復(fù)雜度。圖2給出了AC-DFT算法在不同自相關(guān)樣點(diǎn)數(shù)下的估計(jì)性能。由圖可見，對于AC-DFT算法，隨著自相關(guān)樣點(diǎn)數(shù)的增加，估計(jì)精度不斷提高。不過當(dāng)M≥L以后，性能提升將不太明顯。在低SNR情況下，M＝5L／4時(shí)能夠獲得更低的SNR門限和更高的估計(jì)精度。因此，在實(shí)際使用中，樣點(diǎn)數(shù)的選擇需要綜合考慮估計(jì)精度、SNR門限和計(jì)算復(fù)雜度。

圖2 AC-DFT算法在不同自相關(guān)樣點(diǎn)數(shù)下的NRMSE曲線

3 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

3.1 仿真條件

為了考察AC-DFT算法的性能，利用Matlab軟件進(jìn)行仿真，重點(diǎn)將其與M＆M算法以及MCRB進(jìn)行比較。其中，MCRB［20］計(jì)算方式如下：

仿真過程中，假設(shè)接收到的突發(fā)信號采用QPSK調(diào)制，真實(shí)的載波頻偏Δf＝200 Hz，用于載波頻偏估計(jì)的信號時(shí)長T＝32 ms，默認(rèn)符號速率fs＝4 k Hz，部分相關(guān)樣點(diǎn)數(shù)N＝L／2、M＝5L／4。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)

利用Matlab軟件對M＆M算法和AC-DFT算法進(jìn)行10 000次蒙特卡羅仿真，實(shí)驗(yàn)結(jié)果及性能分析如下。

（1）估計(jì)精度

在上述仿真條件下，L＝128，N＝64，與文獻(xiàn)［18］選擇的參數(shù)完全相同。圖3給出了M＆M算法和AC-DFT算法在不同SNR下NRMSE。由圖可見，在Eb／N0≥－5.5 dB時(shí)，兩種算法基本都能接近或者達(dá)到MCRB。換言之，在SNR較高的時(shí)候，AC-DFT算法具有與M＆M算法相當(dāng)?shù)墓烙?jì)精度。當(dāng)Eb／N0≤－5.5 dB時(shí)，M＆M算法的估計(jì)性能隨SNR的降低急劇惡化，而AC-DFT算法可低至－9.5 dB，比M＆M算法低4 dB。

圖3 不同信噪比下的NRMSE曲線

（2）錯(cuò)差率和SNR門限

圖4給出了不同估計(jì)誤差門限下，差錯(cuò)率與SNR的關(guān)系。由圖4可見，在低SNR情況下，對相同的誤差門限，AC-DFT算法的差錯(cuò)率明顯低于M＆M算法。此外，在誤差門限和差錯(cuò)概率一定的條件下，比如，Δfth＝2MCRB、prth＝10%，由圖可見，對M＆M算法和AC-DFT算法的門限Eb／N0分別為－8 dB和－12.5 dB。改變誤差門限和差錯(cuò)概率的約束條件，也能得到類似的結(jié)果。也就是說，AC-DFT算法的工作門限比M＆M算法低4 dB以上。

圖4 不同載噪比下的差錯(cuò)率曲線

（3）估計(jì)范圍

M＆M算法和AC-DFT算法的理論估計(jì)范圍均為｜Δ^f｜≤0.5fs，且在SNR較高的情況下，兩種算法都能達(dá)到最大的估計(jì)范圍。由于兩種算法的SNR門限不一致，所以在低于M＆M算法門限SNR下，比較二者的估計(jì)范圍將沒有實(shí)際意義。為了衡量算法的實(shí)際估計(jì)范圍，分別在二者的SNR門限上進(jìn)行仿真。圖5給出了兩種算法在各自的門限SNR下的歸一化頻差Δf／fs與歸一化估計(jì)頻差Δ^f／fs之間的關(guān)系曲線。由圖可見，M＆M算法在門限SNR附近，實(shí)際的估計(jì)范圍降低為0.4fs，而AC-DFT算法依然能達(dá)到0.5fs。意味著在各自的門限SNR附近，AC-DFT算法能夠獲得理論上估計(jì)范圍，而M＆M算法的實(shí)際估計(jì)范圍要小于理論值。

圖5 估計(jì)范圍

（4）符號速率對估計(jì)范圍的影響

對于特定的突發(fā)信號，用于載波頻偏估計(jì)的信號時(shí)長以及載噪比是確定的，符號速率也往往是確定的。但在某些場合下，可以自主設(shè)置符號速率。由于不同的符號速率對應(yīng)不同的采樣點(diǎn)數(shù)，符號速率的選擇將對估計(jì)性能產(chǎn)生一定的影響。圖6給出了不同符號速率下，NRMSE與載噪比的關(guān)系。由圖6可見，在低載噪比情況下，兩種算法估計(jì)精度都隨著符號速率的增加而降低，但是高符號速率下，AC-DFT算法具有更低的SNR門限，且符號速率對估計(jì)精度的影響不如M＆M算法明顯。由于算法的估計(jì)范圍與符號速率成正比。因此，在低SNR情況下，AC-DFT算法可以通過提高符號速率fs來進(jìn)一步擴(kuò)大估計(jì)范圍。如圖6所示，在門限SNR附近，AC-DFT算法能夠獲得數(shù)倍于M＆M算法的估計(jì)范圍。

圖6 不同符合速率下的NRMSE曲線

4 結(jié) 論

相比其他算法，本文提出的AC-DFT算法雖然計(jì)算復(fù)雜度有所增加，不過隨著硬件處理能力的提高，利用FPGA等完成FFT已經(jīng)非常便捷，計(jì)算復(fù)雜度已不是制約算法性能的瓶頸。該算法能夠獲得更低的SNR門限、更低的差錯(cuò)概率、更寬的估計(jì)范圍，非常適合低SNR突發(fā)信號載波頻偏估計(jì)。該算法除了應(yīng)用于突發(fā)通信信號載波頻偏估計(jì)外，也可用于低SNR情況下導(dǎo)航以及雷達(dá)信號處理等領(lǐng)域的頻偏估計(jì)。

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Carrier frequency offset estimation algorithm for burst and low SNR signal

ZHAO Lu-wen1，ZHANG Bei-jiang1，MIAO Zhi-min2，LI Guang-xia1，LIU Bo1
（1.Communication Engineering College，PLA University of Science and Technology，Nanjing 210007，China；2.Command Information System College，PLA University of Science and Technology，Nanjing 210007，China）

Fast and accurate carrier frequency offset estimation is very important in the coherent demodulation for the burst signal.There are some dilemmas in the traditional carrier frequency estimation algorithm，such as estimation accuracy，signal-to-noise ratio（SNR）threshold and estimation range，etc.Aim to these problems，a data aided carrier frequency offset estimation algorithm for burst and low SNR signal is put forward based on the discrete Fourier transform（DFT）of the auto correlation of the

signal.The carrier frequency offset can be estimated by windowing to the received signal autocorrelation and DFT.The simulation results show that，compared with the M＆M algorithm，the lower SNR threshold，lower error probability and higher estimation range in the low SNR conditions are achieved for the algorithm.It is very suitable for carrier frequency offset estimation for the burst and low SNR signal.

carrier frequency offset estimation；low signal to noise ratio（SNR）；burst signal；M＆M algorithm

N 911

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.28

趙陸文（1977- ），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航、衛(wèi)星通信。

E-mail：zhaoluwen＠163.com

張北江（1977- ），男，講師，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航、衛(wèi)星通信。

E-mail：zhang_bei_jiang＠163.com

繆志敏（1978-- ），女，講師，博士，主要研究方向?yàn)槿斯ぶ悄堋⒛Ｊ阶R別。

E-mail：oilvermiao＠126.com

李廣俠（196-4- ），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航、衛(wèi)星通信。

E-mail：13905177686＠189.com

劉 波（1967- ），男，教授，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航、衛(wèi)星通信。

E-mail：liubo＠163.com

1001-506X（2015）12-2848-05

2015- 01- 11；

2015- 03- 09；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015- 05- 20。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150520.1210.002.html

中國博士后科學(xué)基金（2013M542485）資助課題