基于B樣條空間等距線的機器人軌跡優(yōu)化算法

胡繩蓀，庹宇鯤，申俊琦，陳昌亮，谷 文，李 堅

(1. 天津大學(xué)天津市現(xiàn)代連接技術(shù)重點實驗室，天津 300072；2. 天津大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300072；3. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222；4. 中國第一重型機械集團核電石化事業(yè)部，大連 116113)

基于B樣條空間等距線的機器人軌跡優(yōu)化算法

胡繩蓀1,2，庹宇鯤1,2，申俊琦1,2，陳昌亮3，谷 文4，李 堅4

(1. 天津大學(xué)天津市現(xiàn)代連接技術(shù)重點實驗室，天津 300072；2. 天津大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300072；
3. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222；4. 中國第一重型機械集團核電石化事業(yè)部，大連 116113)

針對J形坡口焊接機器人軌跡示教中理論軌跡與實際軌跡偏差較大的問題，利用實際軌跡的空間等距線逼近下一道焊接軌跡，并設(shè)計了相貫線軌跡等距線的B樣條逼近算法. 算法主要包括：基于等曲線弧長準(zhǔn)則對原B樣條曲線取樣；利用向心算法計算取樣點的等距點；計算插值于該等距點的3次B樣條曲線；在給定的全局誤差限內(nèi)去除多余控制頂點. 試驗結(jié)果表明：等距點的向心算法可以有效解決相貫線曲線局部修改后主法向量發(fā)散的問題；全局插值方法可以保留原曲線修改特征；全局誤差限下去除多余控制頂點可以減少B樣條曲線控制頂點數(shù)目.

J形坡口；球管相貫線；B樣條；等距線；逼近

焊接作為核電設(shè)備制造的關(guān)鍵技術(shù)之一，不僅關(guān)系到核電站建造的質(zhì)量與安全，而且明顯影響核電站建造的調(diào)度與周期[1]. 針對核電壓力容器封頭與圓管相貫形成的J形坡口焊接特點，建立了其自動化焊接設(shè)備及相貫線軌跡數(shù)學(xué)模型[2-3]. 而由于工件的裝配誤差等影響，J形坡口焊接機器人在焊前需要操作人員對相貫線軌跡進(jìn)行局部修改[4]，其修改過程比較耗時. 雖然理論軌跡與實際軌跡偏差較大，但試驗表明，相鄰兩道焊接軌跡的修改特征相似. 因此可以利用當(dāng)前焊接軌跡的等距線逼近下一道焊接軌跡，從而保留當(dāng)前道焊接軌跡的修改特征，減少下一道軌跡的修改點數(shù)目，進(jìn)而提高焊接效率.

等距線在很多工業(yè)領(lǐng)域都有重要應(yīng)用，如數(shù)控切削軌跡生成、機器人路徑規(guī)劃、鐵路設(shè)計等[5]. 由于自由曲線的等距線不存在封閉解，故通常使用低階樣條曲線對離散等距點進(jìn)行插值，進(jìn)而逼近等距線[6-7].但是當(dāng)取樣點分布不均勻或等距點的計算存在誤差時，利用插值方法將產(chǎn)生較大誤差. 而利用逼近算法求取等距線不僅可以降低取樣點的噪聲對等距線的影響，而且可以獲得較少的控制頂點[8-10].

現(xiàn)有等距線算法多集中于平面等距線，對空間等距線的研究較少. 為此，筆者針對J形坡口焊接軌跡特點，研究了其空間等距線的逼近算法.

1 空間B樣條曲線等距點

給定一條B樣條曲線C(u)，

式中：Ni,p(u)為B樣條基函數(shù)；p為該B樣條曲線的階次；U為節(jié)點向量；Pi為控制頂點．該B樣條曲線的等距線定義為

式中：N(u)為參數(shù)為u時曲線的單位法向量；d為等距量；C(u)offset為C(u)的等距線.

1.1 空間B樣條曲線等距點向心算法

平面曲線的等距點可以直接根據(jù)式(2)求解，但空間曲線等距點的求解更為復(fù)雜．圖1(a)為對相貫線的B樣條逼近曲線進(jìn)行局部修改后曲線上各點的主法向量示意，局部修改點的引入將使修改點附近各點的主法向量發(fā)散．若沿著該方向計算等距點將使等距線產(chǎn)生較大波動．

本文利用向心算法計算空間曲線等距點．給定J形坡口相貫線軌跡參數(shù)方程，首先計算相貫線的中心點Mc，

圖1 等距點算法比較Fig.1 Comparison of offset points calculation algorithms

式中：Mi為相貫點坐標(biāo)；Mc為中心點坐標(biāo)；n＋1為相貫點數(shù)量．則等距點的計算式為

式中：Moffset為等距點坐標(biāo)；|Mi－Mc|為相貫點與中心點距離．利用向心算法，對圖1(a)相貫線軌跡求取等距點，結(jié)果如圖1(b)所示，圖中黑色球體即等距點.該算法可以避免空間曲線主法向量發(fā)散問題，即使對相貫線進(jìn)行局部修改，等距點也能保持原曲線特征.

1.2 基于等曲線弧長的等距點采樣

等距點數(shù)量及采樣方法對等距線形狀及算法效率有重要影響．過多采樣點將降低算法效率，而過少采樣點無法保留曲線修改特征．一般而言，對曲線的平滑區(qū)域稀疏采樣，局部修改區(qū)域密集采樣可以在曲線形狀和算法效率上取得很好的平衡．

與基于二階導(dǎo)數(shù)的采樣準(zhǔn)則[9]相比，基于等曲線弧長的采樣方法計算量很?。矣捎谇€在修改點附近曲率較大，相對于未進(jìn)行局部修改的區(qū)域，利用等曲線弧長準(zhǔn)則將在相同弦長內(nèi)對曲線進(jìn)行更為密集的采樣，這有利于保存曲線的修改特征．該采樣準(zhǔn)則的計算式為

式中：L為原曲線總弧長；Ni為相貫點；Mj為采樣點；m＋1為采樣點數(shù)目.

2 基于最少控制頂點的B樣條曲線逼近

2.1 全局插值

對于曲線擬合問題，普遍采用的是插值或逼近的算法．插值算法計算速度快，而且保證插值曲線經(jīng)過數(shù)據(jù)點，但數(shù)據(jù)點的噪聲會給曲線帶來誤差．逼近算法計算量大，但對數(shù)據(jù)點的噪聲有很好的魯棒性，并且可以在限定條件下去除部分控制頂點，使曲線的形式更為簡單．每個核電壓力容器封頭上需要安插數(shù)十個圓管，每個圓管與封頭的連接需要數(shù)十條焊道，每條焊道軌跡都要存入數(shù)據(jù)庫，若能減少每條軌跡的控制頂點數(shù)量，則所需存儲容量將大大減小.

如果對密集采樣得到的等距點進(jìn)行全局插值將產(chǎn)生大量控制頂點，本文采用固定全局誤差限下最少控制頂點的逼近算法來去除冗余的控制頂點．通過與全局插值和固定控制頂點數(shù)目的逼近算法比較，該算法在控制頂點數(shù)量、逼近精度以及算法效率上均有很好的效果，算法流程如圖2所示．

圖2 節(jié)點去除算法流程Fig.2 Flowchart of knot removal algorithm

圖3 為對101個等距點進(jìn)行3次B樣條全局插值的效果圖，圖中曲線為插值得到的B樣條曲線，球體為控制頂點.

圖3 全局插值Fig.3 Global interpolation

2.2 去除多余節(jié)點

去除多余節(jié)點需要計算去除節(jié)點后新的控制頂點坐標(biāo)．給定節(jié)點向量U，若去除某一節(jié)點u一次，當(dāng)且僅當(dāng)曲線在該節(jié)點的連續(xù)性高于Cp-s時，消除該節(jié)點不會改變曲線形狀，否則消除該節(jié)點將改變曲線在節(jié)點u附近的形狀，其中s為該節(jié)點重復(fù)次數(shù). 去除該節(jié)點后新的控制頂點[11]為

式中：P0為原控制頂點；P1為消去節(jié)點u一次后的控制頂點；r為消去節(jié)點下標(biāo). 去除節(jié)點后，新曲線誤差限[12]為

則

其中

式中?()C u為去除節(jié)點后曲線各點坐標(biāo). 以去除節(jié)點后等距點的誤差作為該節(jié)點是否可被去除的判據(jù)，因此需要計算等距點在B樣條曲線上的投影. 在p≤4條件下，等距點的投影可用解析形式精確求解，求解的步驟[12]如下：

(1) 利用B樣條曲線的強凸包性確定可能包含數(shù)據(jù)點Qk投影的候選C(u)段；

(2) 利用節(jié)點插入，提取出各候選段，并將其轉(zhuǎn)化為Bezier曲線形式；

(3) 對每一段Bezier曲線，列出包含一個未知數(shù)的3個多項式方程，若這3個方程具有一個共同的解，則Qk位于這一段上.

求出每個等距點的投影坐標(biāo)后便可以根據(jù)式(7)和式(8)求出去除某一節(jié)點后每個等距點的誤差值.進(jìn)而求取曲線的最大模偏差，即

最大模偏差對應(yīng)的節(jié)點便是待刪除的節(jié)點. 若最大模偏差小于全局誤差值，表明該節(jié)點及對應(yīng)的控制頂點可以刪除，否則該節(jié)點不可刪除.

圖4為對圖3曲線進(jìn)行節(jié)點去除的結(jié)果，在全局誤差限為0.5,mm條件下，曲線的控制頂點由101個降低到18個.

圖4 節(jié)點去除曲線Fig.4 Spline after knot removed

3 結(jié)果分析及比較

利用基于等曲線弧長的取樣準(zhǔn)則對原曲線密集取樣，利用向心算法計算取樣點的等距點，對等距點進(jìn)行全局插值并在全局誤差限內(nèi)去除多余控制頂點，最終等距線如圖5所示.

圖5 等距線效果Fig.5 Renderings of offset splines

表1為對101個相貫點利用不同擬合方法進(jìn)行曲線擬合的參數(shù)對比. 為比較不同擬合方法的效果，首先計算201個相貫點，將奇數(shù)下標(biāo)的101個相貫點用于曲線擬合，偶數(shù)下標(biāo)的100個相貫點用于計算擬合參數(shù). 擬合參數(shù)中最大誤差為100個相貫點與擬合曲線的投影誤差最大值，全局誤差和為100個相貫點與擬合曲線投影誤差和. 固定控制頂點數(shù)量逼近方法的控制頂點數(shù)設(shè)為18，固定全局誤差限逼近方法的全局誤差限設(shè)為0.5,mm.

表1 不同擬合方法的擬合參數(shù)Tab.1 Fitting parameters of different fitting methods

可以看出，固定全局誤差限的逼近方法在全局誤差值和控制頂點數(shù)目上相對全局插值和固定控制頂點數(shù)量的全局逼近方法有很好的平衡.

全局插值方法雖然保證曲線經(jīng)過數(shù)據(jù)點，但無法保證數(shù)據(jù)點間曲線的擬合效果，尤其在數(shù)據(jù)點存在噪聲條件下，數(shù)據(jù)點之間曲線的誤差很大. 固定控制頂點數(shù)量的全局逼近方法雖然在最大誤差和全局誤差和與固定全局誤差限的逼近方法有相似的表現(xiàn)，但是在缺乏一定先驗知識的條件下很難指定合理的控制頂點數(shù)量，而且其最大誤差值難以保證．相對控制頂點數(shù)量而言，全局誤差限是更合理的限定條件.

表2為數(shù)據(jù)點數(shù)量為101時，在不同全局誤差限下對數(shù)據(jù)點進(jìn)行逼近得到的B樣條曲線控制頂點數(shù)量. 為了保持原曲線的修改特征，局部修改點的引入將增加控制頂點數(shù)量，誤差限的增大將減少控制頂點數(shù)量. 但在不同的全局誤差限下，控制頂點數(shù)量相對全局插值B樣條曲線控制頂點數(shù)量都有大幅度降低.

表2 不同全局誤差限下控制頂點數(shù)量Tab.2Number of control points under different global error bounds

圖6為理論軌跡與實際軌跡以及等距線軌跡與實際軌跡局部細(xì)節(jié)對比. 由于等距線保留了前一道焊接軌跡的修改特征，所以等距線軌跡更貼合實際軌跡，逼近效果優(yōu)于理論軌跡.

圖6 理論軌跡和等距線軌跡與實際軌跡的比較Fig.6Comparison of theoretical trajectory and offset trajectory with real trajectory

在對前一道焊接軌跡進(jìn)行示教時，共插入23個修改點，記錄修改點坐標(biāo)及其相對起始點的旋轉(zhuǎn)角度，并分別利用理論軌跡和等距線逼近下一道焊接軌跡. 在與前一道軌跡修改點旋轉(zhuǎn)角度相同的位置計算理論軌跡點、等距線軌跡點和實際軌跡點的坐標(biāo)，部分坐標(biāo)如表3所示.

計算理論軌跡和等距線軌跡相對于實際軌跡的投影誤差得出：理論軌跡相對實際軌跡的投影誤差和為13.92,mm，等距線軌跡相對于實際軌跡的投影誤差和為4.68,mm.

表3 實際軌跡、理論軌跡與等距線軌跡部分?jǐn)?shù)據(jù)點Tab.3 Part of data points on the real trajectory，theoretical trajectory and offset trajectory

4 結(jié) 論

(1) 利用等距點的向心算法，可以解決空間曲線主法向量發(fā)散問題，利用等曲線弧長準(zhǔn)則對原曲線進(jìn)行密集采樣可以保證算法效率，同時保留原曲線的修改特征．

(2) 采用固定全局誤差限的方法去除多余控制頂點，可以降低等距點噪聲對等距線的影響，同時減少曲線的控制頂點數(shù)量，該方法可在曲線的控制頂點數(shù)目以及全局誤差方面有很好的效果.

(3) 試驗表明，相比理論計算相貫線軌跡，利用等距線逼近J形坡口相貫線軌跡能夠大幅度降低軌跡的全局誤差和，提高機器人軌跡示教效率.

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(責(zé)任編輯：田 軍)

Robot Trajectory Optimization Algorithm Based on Spatial Offset B-Spline

Hu Shengsun1,2，Tuo Yukun1,2，Shen Junqi1,2，Chen Changliang3，Gu Wen4，Li Jian4
(1. Tianjin Key Laboratory of Advanced Joining Technology，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Materials Science and Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；3. Tianjin Key Laboratory of High Speed Cutting and Precision Machining，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China；4. Nuclear Power and Petro-Chemical Business Group，China First Heavy Industries，Dalian 116113，China)

For the problem of the large deviation between the theoretical trajectory and the real trajectory of the J-groove joint welding robot during trajectory teaching, a solution is proposed using the offset spline of the real trajectory to approximate the next welding trajectory. An approximation algorithm for offset B-spline of intersecting splines is designed, which includes the following steps: sampling the original B-spline with the uniform curve arc length criterion; calculating the offset points of the sample points with the centripetal algorithm; fitting a cubic B-spline with global interpolation; removing most control points under the global error bound. The experimental results are as follows: the centripetal algorithm could solve the problem of the divergence of the principal normal vectors after local modification on the intersecting curve; the algorithm of global interpolating could retain the modification features of the original trajectory; the algorithm of removing control points under global error bound could remove most control points effectively and reduce the number of control points of B-spline.

J-groove joints；sphere-tube intersecting line；B-spline；offset spline；approximation

TG409

A

0493-2137(2015)08-0723-05

10.11784/tdxbz201404089

2014-04-22；

2014-05-20.

國家自然科學(xué)基金資助項目(50975195)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計劃資助項目(10JCYBJC06500).

胡繩蓀（1956— ），男，教授，huss@tju.edu.cn.

申俊琦，shenjunqi@tju.edu.cn.

時間：2014-09-16.

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.11784/tdxbz201404089.html.