一種改進(jìn)牛頓-拉夫遜ERT絕對圖像重建算法

肖理慶

(1. 天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，天津 300072；2. 徐州工程學(xué)院信電工程學(xué)院，徐州 221111)

一種改進(jìn)牛頓-拉夫遜ERT絕對圖像重建算法

肖理慶1,2

(1. 天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，天津 300072；2. 徐州工程學(xué)院信電工程學(xué)院，徐州 221111)

為了提高電阻層析成像重建圖像分辨率，提出一種改進(jìn)牛頓-拉夫遜絕對圖像重建算法．在算法迭代過程中，采取靈敏度矩陣自動更新的策略，同時結(jié)合圖像重建結(jié)果自動選取閾值，并根據(jù)閾值修正電阻率．仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：相比單純采用靈敏度矩陣自動更新策略的改進(jìn)牛頓-拉夫遜算法，在無噪聲干擾下，新算法圖像相對誤差平均降低了35.620%，在1%幅度噪聲干擾下，新算法圖像相對誤差平均降低了31.962%，在實(shí)現(xiàn)絕對圖像重建的同時，有效提高了圖像重建質(zhì)量．

電阻層析成像；絕對圖像重建；靈敏度矩陣；閾值；圖像相對誤差

電學(xué)層析成像技術(shù)包括電磁層析成像[1-5]、電容層析成像[6-11]、電阻抗層析成像[12-14]以及電阻層析成像[15-19]，是近年來發(fā)展速度最快、應(yīng)用最為廣泛的過程成像技術(shù)之一．

圖像重建算法是電學(xué)層析成像技術(shù)研究中的難點(diǎn)與熱點(diǎn)．文獻(xiàn)[20]為提高電阻抗圖像重建質(zhì)量，提出閾值修正法，并應(yīng)用于高斯牛頓算法和等位線濾波反投影算法．仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用閾值修正法可有效減少偽影，提高重建圖像分辨率，但只適用于背景電導(dǎo)率大于目標(biāo)電導(dǎo)率的情況，且閾值的選取具有一定的主觀性與隨機(jī)性．文獻(xiàn)[21]提出一種用于電阻層析成像的快速自適應(yīng)硬閾值算法，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法在提高圖像空間分辨率方面的有效性，并研究了噪聲對其影響，但計(jì)算圖像相對誤差時，人為修正重建圖像電導(dǎo)率分布值，使其介于背景電導(dǎo)率與介質(zhì)電導(dǎo)率之間，并沒有真正實(shí)現(xiàn)絕對圖像重建．文獻(xiàn)[22]利用改進(jìn)粒子群算法對牛頓-拉夫遜算法中包含正則化因子的Hessian矩陣離線預(yù)處理，改善其病態(tài)程度，同時算法迭代過程中，采取靈敏度矩陣自動更新的策略．實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法在提高圖像重建質(zhì)量與算法收斂速度方面的有效性，但算法并沒有實(shí)現(xiàn)絕對圖像重建．本文在其基礎(chǔ)上結(jié)合算法迭代過程中的圖像重建結(jié)果，自動選取閾值以修正電阻率，不僅實(shí)現(xiàn)了絕對圖像重建，且相比文獻(xiàn)[22]提出的改進(jìn)牛頓-拉夫遜算法，有效提高了重建圖像分辨率．

1 電阻層析成像數(shù)學(xué)描述

典型電阻層析成像系統(tǒng)主要包括3個單元：電阻傳感器單元，測量及數(shù)據(jù)采集單元，計(jì)算機(jī)圖像重建單元．假定ERT敏感場內(nèi)部無電流源，物體所在空間區(qū)域?yàn)?，電導(dǎo)率分布為σ，電勢分布函數(shù)為Φ，根據(jù)Maxwell理論，σ與Φ應(yīng)滿足Laplace方程[18]，即

式中：·?為散度；?為梯度．

ERT滿足第2類邊界條件

所謂ERT正問題即根據(jù)敏感場邊界條件與敏感場內(nèi)電導(dǎo)率分布σ求解敏感場內(nèi)電勢分布Φ．本文求解ERT正問題時采用有限元法，從而將方程(1)的求解轉(zhuǎn)化為線性方程組求解，該方程組為

式中：Y為導(dǎo)納分布矩陣；C為注入電流矩陣．

所謂ERT逆問題即根據(jù)測得的敏感場邊界電壓值與敏感場內(nèi)電勢分布函數(shù)Φ，利用圖像重建算法求取敏感場內(nèi)電導(dǎo)率分布σ并以圖像的形式表示，是ERT技術(shù)的關(guān)鍵．目前ERT存在2種不同的圖像重建方式：動態(tài)成像與靜態(tài)成像．動態(tài)成像是以敏感場內(nèi)電阻率分布的相對值為成像目標(biāo)，利用2個不同時刻的測量數(shù)據(jù)，通過圖像重建算法獲得這2個時刻敏感場電阻率分布的差值，重構(gòu)出一幅差分圖像．靜態(tài)成像是以敏感場電阻率分布的絕對值為成像目標(biāo)，利用某一時刻的測量數(shù)據(jù)，通過圖像重建算法直接獲得該時刻敏感場電阻率分布的絕對值，重構(gòu)出一幅真值圖像．本文提出的改進(jìn)牛頓-拉夫遜絕對圖像重建算法便屬于靜態(tài)成像算法．

目前研究表明，同一生物組織在相同的生理狀態(tài)與相同測量頻率下，發(fā)生病變時與正常時的阻抗變化十分顯著，提高反映生物組織電阻率絕對值分布的靜態(tài)成像分辨率，可為生物醫(yī)學(xué)臨床診斷提供更有力的依據(jù)．

2 改進(jìn)牛頓-拉夫遜絕對圖像重建算法

作為具有最優(yōu)化思想的靜態(tài)ERT圖像重建算法，牛頓-拉夫遜算法是通過計(jì)算ERT正問題實(shí)現(xiàn)求解ERT逆問題的，是目前公認(rèn)的理論上較完備、應(yīng)用效果較好的算法[22]．本文提出的改進(jìn)牛頓-拉夫遜ERT絕對圖像重建算法，是在文獻(xiàn)[22]提出的改進(jìn)牛頓-拉夫遜算法基礎(chǔ)上，引入改進(jìn)粒子群算法中慣性權(quán)重遞減策略，并在算法迭代過程中，結(jié)合圖像重建結(jié)果自動選取閾值以修正電阻率，新算法具體流程如下所述.

步驟1設(shè)置有限元模型層數(shù)、改進(jìn)牛頓-拉夫遜絕對圖像重建算法最大迭代次數(shù)maxt、正則化因子最小值minμ及初始值(0)μ、maxk、mink、ξ、允許算法振蕩最大次數(shù)N、算法當(dāng)前振蕩次數(shù)η(初始值為0)．

步驟2根據(jù)設(shè)置的有限元模型層數(shù)，計(jì)算ρ(0)(敏感場均勻分布)對應(yīng)的靈敏度矩陣

步驟3利用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化對角陣M，完成降低包含正則化因子Hessian矩陣條件數(shù)的離線預(yù)處理．

步驟4根據(jù)敏感場邊界電壓測量值，利用線性反投影算法完成圖像重建．

步驟5將線性反投影重建結(jié)果中的負(fù)值與零元素以其最小正值代替，將修正后的重建結(jié)果作為改進(jìn)牛頓-拉夫遜算法初始電阻率分布ρ(1)與電阻率分布最優(yōu)值bestr，計(jì)算ERT正問題獲得邊界電壓計(jì)算值v(1)，代入

式中：0v為敏感場邊界電壓測量值；k為比例因子，其值按改進(jìn)粒子群算法中慣性權(quán)重遞減策略變化，即

kmax、kmin分別為k最大值與最小值；t為算法當(dāng)前迭代次數(shù)．

求得(1)

E并將其作為最小誤差值estfb．

步驟6從算法迭代次數(shù)與誤差兩方面判斷是否滿足算法結(jié)束條件，若滿足，保存電阻率分布最優(yōu)值bestr并進(jìn)入步驟14，否則進(jìn)入步驟7．

步驟7判斷算法所使用的靈敏度矩陣是否仍為敏感場均勻分布時對應(yīng)的靈敏度矩陣，若是，則按

步驟8 對(1)k+

ρ進(jìn)行修正，計(jì)算式為

步驟9根據(jù)(1)k+ρ生成一行向量A，并將其元素按升序排列，將A中負(fù)值與零元素以其最小正值代替，生成B向量的計(jì)算式為

式中n為三角形有限元數(shù)目．

步驟10找出B中m個極大值所在位置，并計(jì)算ρα和ρβ，其計(jì)算式為

式中p、q分別為向量B第1個與第m個極大值所在位置．

步驟11修正(1)k+ρ，其計(jì)算式為

步驟12根據(jù)式(14)修正后的ρ(k+1)計(jì)算ERT正問題，所得敏感場邊界電壓值為v(k+1)，并根據(jù)式(5)計(jì)算E、電阻率分布最優(yōu)值代替，并將η值清零，否則η值增

步驟13判斷算法當(dāng)前振蕩次數(shù)η是否達(dá)到允許振蕩最大次數(shù)N，若達(dá)到，則按電阻率分布最優(yōu)值bestr更新靈敏度矩陣[22]，并按式(15)調(diào)整kmax，同時將算法當(dāng)前振蕩次數(shù)η清零，返回步驟6，否則直接返回步驟6．

步驟14根據(jù)電阻率分布最優(yōu)值estrb，按式(12)和式(13)估算敏感場內(nèi)介質(zhì)電阻率值．

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)條件與算法參數(shù)設(shè)置

本文仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境為MATLAB 7.0版本、Duo T8100,CPU、3.00,GB內(nèi)存、2.10,GHz，所采用的有限元模型如圖1(a)所示，有限元模型層數(shù)設(shè)置為8層，包含537個節(jié)點(diǎn)、880個三角形有限元．電極數(shù)目為16，采取相鄰激勵數(shù)據(jù)采集模式，所施加的激勵電流強(qiáng)度I＝1,mA，算法最大迭代次數(shù)tmax＝400，正則化因子初始值μ(0)＝0.5，正則化因子最小值μmin＝1× 10-8，kmax＝5，kmin＝1，ξ＝2，允許算法振蕩最大次數(shù)N＝5．

圖1 有限元模型示意Fig.1 Sketch of different finite element models

3.2 不同算法圖像重建結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證新算法在提高重建圖像質(zhì)量方面的有效性，設(shè)置如圖2所示的8種模型，介質(zhì)電阻率1ρ＝2,mΩ·、2ρ＝80,mΩ·，利用如圖1(b)所示有限元模型(包含3,697個節(jié)點(diǎn)、6,944個三角形有限元)獲取對應(yīng)的邊界電壓值，各種算法重建結(jié)果如圖3～圖5和表1～表3所示．其中1?ρ、2?ρ分別為算法按式(12)和式(13)估算的敏感場內(nèi)介質(zhì)電阻率值；算法1為文獻(xiàn)[22]提出的采取靈敏度矩陣自動更新策略的改進(jìn)牛頓-拉夫遜圖像重建算法，算法2在算法1的基礎(chǔ)上，將每次重建結(jié)果中負(fù)值與零元素以其最小正值代替，算法3為本文提出的新算法；圖像相對誤差e的表達(dá)式[10]為

式中g(shù)、?g分別為設(shè)置的模型電阻率分布以及算法重建結(jié)果．在計(jì)算圖像相對誤差e時，本文將設(shè)置的模型電阻率分布g與算法重建結(jié)果?g均進(jìn)行了歸一化處理．

圖2 不同模型設(shè)置Fig.2 Different models

圖3 算法1重建結(jié)果Fig.3 Image reconstruction results with algorithm 1

圖4 算法2重建結(jié)果Fig.4 Image reconstruction results with algorithm 2

圖5 算法3重建結(jié)果Fig.5 Image reconstruction results with algorithm 3

由圖3～圖5和表1可知，相同實(shí)驗(yàn)條件下，本文提出的改進(jìn)牛頓-拉夫遜絕對圖像重建算法有效提高了圖像重建質(zhì)量．算法1、2、3圖像相對誤差的平均值分別為43.613%、41.374%、28.078%，本文提出的新算法相比文獻(xiàn)[22]提出的采取靈敏度矩陣自動更新策略的改進(jìn)牛頓-拉夫遜圖像重建算法及其改進(jìn)算法，圖像相對誤差平均降低了35.620%、32.136%，且新算法按式(12)和式(13)估算的敏感場內(nèi)介質(zhì)電阻率值更接近真實(shí)值(如表2和表3所示)．

由于實(shí)際中存在不可避免的噪聲干擾，因此，本文將仿真實(shí)驗(yàn)中利用如圖1(b)所示有限元模型獲取的邊界電壓值加入1%幅度噪聲．各種算法重建結(jié)果如圖6～圖8和表4～表6所示．

表1 不同算法e比較Tab.1 Comparison of e between different algorithms %

表2 不同算法?1ρ比較Tab.2 Comparison of ?1ρ between different algorithms

表3 不同算法?2ρ比較Tab.3 Comparison of ?2ρ between different algorithms

圖6 噪聲干擾下算法1重建結(jié)果Fig.6Image reconstruction results with algorithm 1 in the presence of noise

圖7 噪聲干擾下算法2重建結(jié)果Fig.7Image reconstruction results with algorithm 2 in the presence of noise

由表4可知，在1.0%幅度噪聲干擾下，算法1、2、3圖像相對誤差的平均值分別為44.915%、44.003%、30.559%，本文提出的新算法相比算法1和算法2圖像相對誤差平均降低了31.962%、30.552%，結(jié)合圖6～圖8可知，本文提出的新算法有效提高了圖像重建質(zhì)量，且3種算法所估算的敏感場內(nèi)介質(zhì)電阻率值，新算法更接近真實(shí)值(如表5和表6所示)，與無噪聲干擾時的結(jié)論相同．由于ERT圖像重建屬于多極值問題，本文提出的新算法結(jié)合算法迭代過程中的圖像重建結(jié)果自動選取閾值，并根據(jù)閾值修正電阻率，相比算法1和算法2，新算法相當(dāng)于壓縮了逆問題解空間，從而更有利于提高重建圖像分辨率．

圖8 噪聲干擾下算法3重建結(jié)果Fig.8 Image reconstruction results with algorithm 3 in the presence of noise

表4 噪聲干擾下不同算法e比較Tab.4 Comparison of e between different algorithms in the presence of noise %

表5 噪聲干擾下不同算法?1ρ比較Tab.5 Comparison of ?1ρ between different algorithms in the presence of noise mΩ·

表6 噪聲干擾下不同算法?2ρ比較Tab.6Comparison of ?2ρ between different algorithms in the presence of noise mΩ·

雖然本文提出的新算法增加了計(jì)算量，但影響3種圖像重建算法實(shí)時性的主要因素包括計(jì)算機(jī)配置、正問題計(jì)算與逆問題求解所采用的有限元模型包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)目以及有限元數(shù)目、圖像重建算法最大迭代次數(shù)、靈敏度矩陣更新次數(shù)等．在上述主要因素相同的情況下，本文提出的新算法相比文獻(xiàn)[22]提出的算法1，耗時僅增加了0.012,5～0.016,0,s，基本不影響算法實(shí)時性．

4 結(jié) 語

為了提高ERT重建圖像分辨率，本文提出一種可實(shí)現(xiàn)絕對圖像重建的改進(jìn)牛頓-拉夫遜算法．新算法在迭代過程中采取靈敏度矩陣自動更新的策略，并結(jié)合算法迭代過程中的圖像重建結(jié)果自動選取閾值，根據(jù)閾值修正電阻率．仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相同實(shí)驗(yàn)條件下，相比單純采取靈敏度矩陣自動更新策略的改進(jìn)牛頓-拉夫遜算法及其改進(jìn)算法，本文提出的改進(jìn)牛頓-拉夫遜算法在實(shí)現(xiàn)絕對圖像重建的同時，有效降低了圖像相對誤差．

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(責(zé)任編輯：孫立華)

A Modified Newton-Raphson Absolute Image Reconstruction Algorithm for ERT

Xiao Liqing1,2
(1. School of Electrical Engineering and Automation，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Department of Information and Electrical Engineering，Xuzhou Institute of Technology，Xuzhou 221111，China)

A modified Newton-Raphson absolute image reconstruction algorithm was proposed to improve the space resolution of the reconstructed image in electrical resistance tomography(ERT). In the iteration process，the sensitivity matrix was updated automatically；meanwhile，the resistivity was corrected according to a threshold determined by referring to the reconstruction result. Simulation experimental results demonstrate that compared to the modified Newton-Raphson method with sensitivity matrix updating，the proposed method reduces the relative image error by 35.620% in the noise-free case. With the existence of 1% noise，the proposed method reduces the relative image error by 31.962%. The proposed method enhances the imaging quality effectively while realizing absolute image reconstruction.

electrical resistance tomography；absolute image reconstruction；sensitivity matrix；threshold；relative image error

TK39

A

0493-2137(2015)08-0734-08

10.11784/tdxbz201402019

2014-02-17；

2014-03-28.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61201350，61302122)；徐州工程學(xué)院校科研資助項(xiàng)目(XKY2013318).

肖理慶（1981— ），男，博士研究生，講師.

肖理慶，lqx1981@tju.edu.cn.

時間：2014-05-16.

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.11784//tdxbz201402019.html.