淺談數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)思想方法的傳授

吳義茍

數(shù)學(xué)思想方法主要包括：數(shù)形結(jié)合、歸納概括、轉(zhuǎn)化化歸、分類討論、函數(shù)與方程、演繹推理等。這些數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象與概括，它不僅蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，而且也滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的過程中。它反應(yīng)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對(duì)提高學(xué)生的解題能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)起著關(guān)鍵的作用。下面就在教學(xué)過程中如何傳授數(shù)學(xué)思想方法談幾點(diǎn)自己的做法。

一、認(rèn)真鉆研教材，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)地研究

1.要通過對(duì)教材的完整分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡(luò)，站在數(shù)學(xué)思想的高度，總攬教材全局。然后建立各知識(shí)點(diǎn)或章節(jié)之間的相互聯(lián)系，歸納和揭示內(nèi)在的一般規(guī)律。例如，在學(xué)習(xí)“解一元二次方程”這一章時(shí)，我們接觸到許多數(shù)學(xué)方法——配方法、公式法、因式分解法等，這是學(xué)習(xí)這一章的重點(diǎn)，只要我們學(xué)會(huì)了這些方法，按知識(shí)（解一元二次方程）—方法（前述幾種方法）—思想（降次轉(zhuǎn)化）的順序提煉數(shù)學(xué)思想方法，就能利用它們?nèi)ソ鉀Q所有的一元二次方程。

2.要在制訂本學(xué)期教學(xué)計(jì)劃時(shí)，綜合考慮數(shù)學(xué)思想方法的傳授，要明確每一個(gè)階段的載體內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)程序和操作要點(diǎn)。數(shù)學(xué)教案則要就每一節(jié)課的概念、命題、公式、法則甚至單元結(jié)構(gòu)等教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行滲透思想方法的設(shè)計(jì)。要求通過目標(biāo)設(shè)計(jì)、創(chuàng)設(shè)情境、程序演化、歸納總結(jié)等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在知識(shí)的發(fā)生和運(yùn)用過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的一體化。

二、在概念教學(xué)中讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

概念教學(xué)不應(yīng)只是給出簡(jiǎn)單的定義，而要引導(dǎo)學(xué)生感受及領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學(xué)思想。比如，絕對(duì)值概念的教學(xué)，我們除了要通過“數(shù)形結(jié)合”的思想方法讓學(xué)生理解“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”，還要通過“正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零”，讓學(xué)生領(lǐng)悟“分類討論”的思想方法。這對(duì)今后解決與絕對(duì)值有關(guān)的計(jì)算是大有作用的。

又如，“函數(shù)”這一概念對(duì)初中生來說是比較抽象的，僅僅通過幾個(gè)例子告訴學(xué)生：“在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，其中y隨變量x的變化而變化，每當(dāng)x取定一個(gè)值，變量y就有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，就稱y是x的函數(shù)”，這樣是不夠的！還要與函數(shù)的解析式和圖像進(jìn)行聯(lián)系，從而加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，這一過程恰好就慘透了“符號(hào)化思想”與“數(shù)形結(jié)合思想”，不但幫助學(xué)生理解了概念本身，而且還讓學(xué)生知道：解決抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以采取“符號(hào)化”和“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

三、在法則、定理和公式教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)定理、公式、法則等結(jié)論，都是具體的判斷，其形成大致是兩種情況：一是經(jīng)過觀察和分析用不完全歸納法或類比等方法得出猜想，然后進(jìn)行邏輯證明；二是從邏輯推理出發(fā)得出結(jié)論。這些結(jié)論的取得都是數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的結(jié)果，因此，在定理、公式、法則的教學(xué)中不要過早地給出結(jié)論，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，搞清其中的因果關(guān)系，領(lǐng)悟它與其他知識(shí)的關(guān)系，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中親自揭示充滿活力的數(shù)學(xué)思想和方法。

例如，在教學(xué)“多邊形內(nèi)角和定理”時(shí)，先讓學(xué)生回顧三角形和四邊形的內(nèi)角和，再提出“n邊形的內(nèi)角和如何表示？”就體現(xiàn)了由“特殊到一般”的思想。由利用連對(duì)角線把四邊形和五邊形分成兩個(gè)和三個(gè)三角形來求其內(nèi)角和，類比到n邊形中去探究求n邊形內(nèi)角和的公式體現(xiàn)了“類比”的思想。通過連線將n邊形分割成幾個(gè)三角形，將n邊形內(nèi)角和的問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)三角形總和的問題，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的思想。通過討論點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系知道轉(zhuǎn)化的辦法有三種，這三種轉(zhuǎn)化的辦法分別對(duì)應(yīng)三種不同的解法，體現(xiàn)了“分類討論”的思想。引導(dǎo)學(xué)生分析（n-2）180°、（n-1）180°-180°、n180°-360°三個(gè)式子，學(xué)生就容易明白這三個(gè)式子分別對(duì)應(yīng)前面的三個(gè)轉(zhuǎn)化方法，這里就揭示了“數(shù)形結(jié)合”的思想。即由“數(shù)的特征”聯(lián)想“形的表現(xiàn)”。

四、在解題教學(xué)中激活與應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常出現(xiàn)一聽就懂，一做就懵的現(xiàn)象。學(xué)生盡管做了大量的題目，但解題能力還是提不高。究其原因就是教師在教學(xué)中僅僅就題解題，沒有注重指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題前的思路探究和解題后的反思，不善于激活與應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，因此，要提高解題能力，教師就應(yīng)充分暴露思維過程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的全過程，讓全體學(xué)生能在自主探索中理解知識(shí)、掌握方法，真正領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問題探究中的充滿靈活性的數(shù)學(xué)思想方法。解題前要激活相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對(duì)發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和判斷功能，舉一反三，觸類旁通，以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題、解決問題。解題之后要通過反思活動(dòng)，從具體數(shù)學(xué)問題和范例中總結(jié)、歸納解題方法，提煉出數(shù)學(xué)思想。

例如，在“二元一次方程組解法復(fù)習(xí)”一節(jié)課中，提出一個(gè)這樣的問題：根據(jù)方程組的特點(diǎn)，你能用什么方法去解？

（1）2x=3y+133y=4x-17 （2）2x+3y=133x+2y=17

在什么情況下，你會(huì)用代入消元法，什么情況下你會(huì)用加減消元法？

學(xué)生回答第（1）題用整體代入消元法，第（2）題用加減消元法。此時(shí)老師提問，第（2）題能不能利用更簡(jiǎn)單的方法來解呢？老師提示，在這個(gè)方程組中，能否分別求出x+y與x-y的值，于是，學(xué)生分別求出了x+y=6和x-y=4，接著老師強(qiáng)調(diào)，我們可以利用數(shù)學(xué)的整體思想把方程組（2）化歸為x+y=6x-y=4為了強(qiáng)化整體思想，老師再補(bǔ)充下面兩個(gè)練習(xí)：

（1）若5x-6y=0，且xy≠0，的值是多少？

（2）若2x+3y=16，且3x+2y=19，則=_________。

從練習(xí)情況來看，大多數(shù)同學(xué)由于有了前面的思想準(zhǔn)備，從而非常快捷地把這兩個(gè)練習(xí)完成了，都能自覺運(yùn)用整體的思想來解決問題。

五、在知識(shí)的歸納總結(jié)中概括數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)教材是采用蘊(yùn)含披露的方式將數(shù)學(xué)思想融于數(shù)學(xué)知識(shí)體系之中，因此，適時(shí)地對(duì)數(shù)學(xué)思想方法做出歸納、概括是十分必要的。教師應(yīng)有計(jì)劃、有目的、有意識(shí)、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思想的提煉與概括過程，尤其是在單元復(fù)習(xí)中要將有統(tǒng)率性的數(shù)學(xué)思想方法概括出來。這樣就可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識(shí)和能力，也使其對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于活化所學(xué)知識(shí)，有利于優(yōu)化思維品質(zhì)，有利于形成獨(dú)立分析問題、解決問題的能力。由于同一數(shù)學(xué)知識(shí)可表現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)思想方法，而不同數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在許多不同的知識(shí)點(diǎn)里，所以要通過課堂小結(jié)，單元總結(jié)或總復(fù)習(xí)這些環(huán)節(jié)系統(tǒng)歸納與概括出數(shù)學(xué)思想方法，濃縮數(shù)學(xué)知識(shí)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高思維品質(zhì)。

例如，前面舉例中的“二元一次方程組解法復(fù)習(xí)”一節(jié)課中，概括起來，全章的核心思想就是“消元轉(zhuǎn)化”，具體方法就是“代入消元法”和“加減消元法”。

總之，數(shù)學(xué)思想方法是伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立而確立，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的靈魂，是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題的策略和程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映；數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法的載體。把思維能力培養(yǎng)要落到實(shí)處，用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的靈活運(yùn)用，進(jìn)行一題多解、引申推廣、反思評(píng)估、解法簡(jiǎn)捷、不斷優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性、深刻性、抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性。

編輯 黃 龍