小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題的成因及解決策略

黃朝峰

(長樂市教師進(jìn)修學(xué)校，福建 長樂 350200)

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》出臺，修訂教材不但在各內(nèi)容領(lǐng)域增加了許多新的內(nèi)容，而且對許多傳統(tǒng)內(nèi)容的處理方式也發(fā)生了理念上的變化，這就對小學(xué)數(shù)學(xué)教師的素養(yǎng)提出了新的挑戰(zhàn)，許多教學(xué)疑難問題也因此“應(yīng)運(yùn)而生”。為此，福州市小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教研工作室進(jìn)行廣泛征集和深入探討，發(fā)現(xiàn)有很大一部分疑難問題是由于教師的數(shù)學(xué)本體性知識缺失，以及對數(shù)學(xué)學(xué)科的特性認(rèn)識不足而造成的。

一、關(guān)注數(shù)學(xué)知識的抽象性，把握好直觀與抽象之間的關(guān)系

抽象是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)抽象是簡約而理想化的，所以當(dāng)事物經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象的符號化表示后，得到的數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)原型未必完全符合。當(dāng)你忽視了數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)，以具體代替抽象，以形式代替本質(zhì)來理解和判斷時，就會走入“指鹿為馬”“李代桃僵”的誤區(qū)。

1.謹(jǐn)防具體代替抽象

數(shù)學(xué)抽象舍棄了現(xiàn)實(shí)對象的所有具體性質(zhì)而只保留量的關(guān)系和空間形式，即只著眼于事物存在的數(shù)量關(guān)系和空間形式。所以經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象的符號化表征與具體事物還是存在本質(zhì)的區(qū)別。

問題1 線段的對稱軸是1條還是2條?

簡析:線段的對稱軸是1條(如圖1)。因?yàn)辄c(diǎn)、線、面是幾何中高度抽象化的、不加定義的原始概念，點(diǎn)無大小，線無粗細(xì)，面無厚薄。即在幾何線的概念中舍棄了所有性質(zhì)，只留下在一定方向上的伸長。如圖2，畫出2條對稱軸的顯然是被畫出的具體的線有粗細(xì)所迷惑，忘了它表征的抽象對象是沒有粗細(xì)的，所以不存在橫貫線段中間的這條對稱軸。

圖1

圖2

2.謹(jǐn)防形式代替本質(zhì)

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，具有一定的抽象性、簡約性和明確性。所以每個符號以及由符號組成的關(guān)系式的表征細(xì)節(jié)和定義前提都是表示內(nèi)涵的重要部分。切不可忽視具體表征細(xì)節(jié)或定義前提，斷章取義地以形式代替本質(zhì)來誤讀數(shù)學(xué)概念或關(guān)系。

問題2 圓的直徑一定，周長和圓周率成正比例。正方體的體積一定，它的底面積和高成反比例。對嗎?

教師應(yīng)當(dāng)對變量、函數(shù)的數(shù)學(xué)意義有深入理解，引導(dǎo)自己的數(shù)學(xué)思維從靜態(tài)向動態(tài)發(fā)展。著變化。按問題中所述

二、關(guān)注數(shù)學(xué)知識的整體性，把握好階段與整體之間的關(guān)系

數(shù)學(xué)作為科學(xué)具有相對嚴(yán)密、完整的知識體系，但作為教育學(xué)科卻要根據(jù)學(xué)段年級以及對象的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律制定相應(yīng)的階段目標(biāo)。因此，只有把握整體認(rèn)識和階段定位之間的關(guān)系，才能做到既不超越階段越俎代庖，又不囿于階段以管窺天，為將來的學(xué)習(xí)發(fā)展留有余地。

1.避免整體苛求階段

考慮到不同學(xué)段孩子的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，小學(xué)數(shù)學(xué)的范疇中對于同一個內(nèi)容、分階段教學(xué)目標(biāo)定位理應(yīng)有所區(qū)別，教師應(yīng)該研讀教材，理解教材的編排特點(diǎn)，準(zhǔn)確把握不同學(xué)段和課時目標(biāo)教學(xué)的度，避免超越階段拔高要求，還要避免各自為政，狹思短視，限制了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)發(fā)展的空間。

問題3 數(shù)圖形時，“哪些是角”該如何計(jì)算?

簡析:爭議的焦點(diǎn)一是平角、周角以及介于兩者之間的“優(yōu)角”要不要計(jì)入?二是只計(jì)“圖形內(nèi)”的角，還是圖形“內(nèi)”“外”的角都要計(jì)入?

首先，“從一個頂點(diǎn)引出兩條射線，就組成一個角”已經(jīng)明確角的組成部分。但根據(jù)學(xué)生的年齡特征，對不同度數(shù)的角，教材要求的程度是有不同的。二年級教材中介紹了直角、銳角、鈍角，在數(shù)角時應(yīng)只限大于0度而小于180度的角。右圖中角3和角4合起來算一個新的角，那角1和角2合起來的平角先不要算，到四年級，教材中講到了平角、周角等知識，則可以將右圖中角1和角2組合而成的平角計(jì)入。應(yīng)當(dāng)指出，隨著學(xué)段升高，到了中學(xué)，對角的認(rèn)識還會繼續(xù)拓展到任意角(正角、負(fù)角、零度角)。

又如配套練習(xí)中出現(xiàn)的習(xí)題如下:

左圖爭議的是角1和角2要算哪一個，角1是鈍角，但卻在“圖形外”;角2是在“圖形內(nèi)”，但卻是個小學(xué)階段不介紹的“優(yōu)角”。

從教學(xué)參考書給出的答案中，可以看出其并不區(qū)分“圖形內(nèi)”“圖形外”，筆者認(rèn)為這樣的定位是合適的。一個圖形的歸類應(yīng)當(dāng)由其結(jié)構(gòu)特征所確定，而與其所在的位置無關(guān)。例如一個正方形，無論它在其他圖形內(nèi)還是外，都改變不了它是一個正方形的事實(shí)。

因此，在對相應(yīng)年級的小學(xué)生講解角的時候，還是應(yīng)當(dāng)根據(jù)所要判斷的圖形自身的特征，并結(jié)合學(xué)生對角的認(rèn)識的發(fā)展水平來確定。有了這樣的明確標(biāo)準(zhǔn)，這類問題的爭議就可以得到一個相對完滿而又富有教學(xué)操作性的解決。

2.避免片面臆測整體

德國數(shù)學(xué)家斯泰因梅茨認(rèn)為:所有的數(shù)學(xué)真理都是相對的、有條件的。數(shù)學(xué)發(fā)展的三次危機(jī)和重構(gòu)已經(jīng)證明了這一點(diǎn)，每一次跨越都是由一種“舊真理”的打破和“新真理”的重建來實(shí)現(xiàn)。所以我們在數(shù)學(xué)教學(xué)時要樹立辯證發(fā)展的數(shù)學(xué)觀，既不能割裂部分與整體的聯(lián)系，盲人摸象，也不能機(jī)械地將階段片面的結(jié)論生搬硬套到整體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容上，鬧出古代《訓(xùn)子》所諷刺的以為寫“三”是三橫，寫“萬”就是要劃一萬橫的“學(xué)三寫萬”的笑話。

問題4 直線比射線長，直線比線段長。這兩句話對嗎?

簡析:這兩句話都不對。主要是混淆了有限與無限的區(qū)別，誤以有限臆測無限。

數(shù)學(xué)中的有限與無限既有聯(lián)系又有區(qū)別，其辯證發(fā)展的密切聯(lián)系在此不予贅述，其質(zhì)的區(qū)別主要有二:一是無限集合中“部分可以等于整體”(如德國著名數(shù)學(xué)家康托爾認(rèn)為正整數(shù)集和正偶數(shù)集的元素可以建立“一一對應(yīng)”關(guān)系);二是“有限”情況成立的許多命題，對于“無限”情況不再成立。

這兩個命題都涉及“無限”，所以不能機(jī)械的以“有限”的眼光來判斷。首先，有限長才有長度，才可比長短。而直線和射線都是無限長的，不存在誰長誰短的問題。其次，比長短要有確定長度，直線可無限延伸屬于無限的量，線段在未確定長度之前也是“無限的量”(如不存在最長的線段)，所以直線與未確定的線段之間也是無法比較長短的。

三、關(guān)注數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性，把握好生活與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系

數(shù)學(xué)源于生活，高于生活，又應(yīng)用于生活。所以要理性地看待數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，既不能盲目地將數(shù)學(xué)等同于生活，將生活中習(xí)以為常的俗稱俚語當(dāng)做科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念來誤用。又不能將數(shù)學(xué)游離于生活現(xiàn)實(shí)背景之外，斷章取義、生搬硬套，純粹的鉆牛角尖。

1.勿將數(shù)學(xué)等同于生活

數(shù)學(xué)概念多源于生活語言，但是有些數(shù)學(xué)概念經(jīng)數(shù)學(xué)上重新定義后，其意義存在差異甚至截然不同。例如，生活中的高具有“鉛垂效應(yīng)”，單指豎直方向的頂點(diǎn)到某個水平方向的平面的距離，而數(shù)學(xué)概念中的高不以方向?yàn)榕袛嘁?。所以，切不可因?shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系而簡單地將數(shù)學(xué)等同于生活。

問題5 質(zhì)量與重量，路程與距離，有區(qū)別嗎?

簡析:從科學(xué)定義嚴(yán)謹(jǐn)來說，兩者有區(qū)別。

質(zhì)量和重量是完全不同的兩個物理量，區(qū)別如下:(1)定義不同。質(zhì)量是物體慣性的量度，它是任何物體都固有的一種屬性。重量則反映了物體所受重力的大小，它是受地球的吸引而引起的。(2)質(zhì)量是標(biāo)量，重量是矢量。(3)牛頓力學(xué)中的質(zhì)量是一個恒量，重量則隨物體所處的緯度和高度的不同而變化。(4)質(zhì)量和重量的單位在國際單位制里，質(zhì)量的單位是千克，重量的單位是牛頓。

雖然在生活和學(xué)習(xí)中，我們常常遇到對“質(zhì)量”和“重量”兩種說法混淆的情況，但是作為教師對這二者的區(qū)別應(yīng)有理性的認(rèn)識，由于在小學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生還沒有了解到更多關(guān)于力學(xué)的知識，所以教材上盡量不使用“重量”這個說法，而統(tǒng)一使用“質(zhì)量”及相應(yīng)的克、千克、噸等質(zhì)量單位來計(jì)量。

同樣，路程與距離也是有區(qū)別的。(1)距離是描寫空間的不同位置兩點(diǎn)的數(shù)學(xué)量或者物理量。因此，如果距離不與物體聯(lián)系，那么這個距離就不是路程。(2)現(xiàn)實(shí)中，距離是最短的路程，路程不一定等于距離。(3)如果路程是對運(yùn)動體而言的，那么距離就是對靜止體而言的。因此，沒有運(yùn)動也就沒有路程。

但是，同樣出于此時學(xué)生認(rèn)知限制，設(shè)計(jì)題目時要注意，對小學(xué)生不要太苛求，更不要去考查學(xué)生對其中區(qū)別的掌握。

2.勿將數(shù)學(xué)游離于現(xiàn)實(shí)

數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)性不容忽視，很多數(shù)學(xué)問題的都隱含有具體的現(xiàn)實(shí)背景而存在，當(dāng)你脫離了現(xiàn)實(shí)背景這個前提，斷章取義，就會對一些數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生誤識。這種脫離了現(xiàn)實(shí)背景，以純粹代替指定的誤識常見于概率問題。

問題6 如何讓學(xué)生理解“世界上每天都有人出生”等生活中的可能性事件?

簡析:上述問題必須基于數(shù)學(xué)應(yīng)用與客觀現(xiàn)實(shí)來理解。這里所說的“一定”“不可能”“可能”是概率論中的術(shù)語，是指當(dāng)我們多次觀察自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象后，會發(fā)現(xiàn)在一定的條件下，許多事情必然會發(fā)生，許多事情必然不會發(fā)生，還有許多事情是可能發(fā)生的。所以，我們討論的事件一般指的是客觀事件，同時，又是在我們經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)發(fā)生的事件。如學(xué)生提出的“如果太陽系爆炸了，‘地球每天都在轉(zhuǎn)動’這句話就不是一定的?！睂儆诔鋈祟愓J(rèn)識經(jīng)驗(yàn)的說法，教師應(yīng)予以正確引導(dǎo)。又如，“世界上每天都有人出生”是一定的。這樣的事件超出了學(xué)生的認(rèn)識范圍而無法理解，這時教師應(yīng)提供一些證據(jù)幫助學(xué)生理解。如可以通過本地區(qū)或全國、全世界每天有多少嬰兒出生的數(shù)據(jù)使學(xué)生認(rèn)識到世界上每天一定有人出生。

實(shí)踐證明，這些超越小學(xué)生認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)的客觀事件對于他們來說理解有困難，所以修訂版教材先選取了一些學(xué)生熟悉的、操作性強(qiáng)的生活情境作為教學(xué)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷可能性知識的形成過程，豐富對不確定現(xiàn)象的體驗(yàn)，初步了解現(xiàn)實(shí)世界中存在著的不確定現(xiàn)象。然后將這些問題放在本單元末的“生活中的數(shù)學(xué)”中，一方面可以加深學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解，另一方面也使他們感受到可能性知識與生活的聯(lián)系，以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

綜上所述，很多數(shù)學(xué)教學(xué)疑難問題是由于對數(shù)學(xué)知識的抽象性、整體性和應(yīng)用性認(rèn)識不足造成的，教師只有認(rèn)真研讀教材，提升自身素養(yǎng)，把握好直觀與抽象、階段與整體、生活與數(shù)學(xué)之間的辨證關(guān)系，才能悠然地?fù)巍袄硇浴敝荩驍?shù)學(xué)疑難更深處漫溯。

［1］全國中小學(xué)教師繼續(xù)教育網(wǎng).2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)解讀(小學(xué)數(shù)學(xué))［M］.北京:中國輕工業(yè)出版社，2012.

［2］丁國忠.三年級上冊教學(xué)疑難問題解答［EB/OL］.http://wenku.baidu.com/view/6e284d78102de2b d960588b4.html.