基于加速度反饋的柔性系統(tǒng)機(jī)械諧振抑制研究*

金 杰， 王 爽， 黃蘇融

(1.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072;2.山東工商學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，山東煙臺(tái) 264005)

0 引言

伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)通常由伺服電機(jī)、聯(lián)軸器、傳動(dòng)軸和機(jī)械負(fù)載組成。為提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和節(jié)約能源，驅(qū)動(dòng)部件通常采用小型輕量化設(shè)計(jì)，但該設(shè)計(jì)會(huì)減小傳動(dòng)裝置剛度，降低固有頻率，當(dāng)固有振蕩頻率位于調(diào)速系統(tǒng)的工作頻帶范圍內(nèi)，軸系就有可能出現(xiàn)機(jī)械振蕩［1］。機(jī)械諧振帶來(lái)諸多不利影響，如:縮短機(jī)械設(shè)備壽命，甚至損壞機(jī)械系統(tǒng);降低驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)性能，嚴(yán)重時(shí)導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩;產(chǎn)生噪聲污染，降低環(huán)境舒適性［2］。因此，機(jī)械諧振抑制已成為高性能伺服驅(qū)動(dòng)的重要研究課題之一。

機(jī)械諧振抑制在機(jī)器人伺服驅(qū)動(dòng)、太空機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)、探測(cè)天線(xiàn)驅(qū)動(dòng)、風(fēng)力發(fā)電、鋼廠(chǎng)軋輥驅(qū)動(dòng)等領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注和深入研究［2-8］。眾多研究方案大致可分為主動(dòng)方式與被動(dòng)方式兩大類(lèi)。被動(dòng)方式主要有:(1)改進(jìn)傳動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)，提高傳動(dòng)裝置固有頻率;(2)在速度調(diào)節(jié)器后串接陷波濾波器，濾除固定的諧振頻率分量［2］。主動(dòng)方式即主動(dòng)改變控制器參數(shù)或結(jié)構(gòu)來(lái)消除系統(tǒng)諧振。主動(dòng)方式可以分為:(1)基于負(fù)載側(cè)傳感器信息的諧振抑制［3］;(2)采用觀(guān)測(cè)器方法的狀態(tài)估計(jì)諧振抑制［4-7］;(3)采用智能算法的諧振抑制［8］。現(xiàn)有的研究方案主要是通過(guò)采用傳感器方法或狀態(tài)估計(jì)方法，將獲得擾動(dòng)力矩或加速度信息反饋到電流環(huán)進(jìn)行諧振抑制。文獻(xiàn)［9］對(duì)比分析了負(fù)載速度、加速度和柔性軸轉(zhuǎn)矩等9類(lèi)反饋補(bǔ)償方法，研究結(jié)論表明加速度反饋也能取得與軸轉(zhuǎn)矩反饋相同的效果。文獻(xiàn)［10］指出加速度反饋能抑制系統(tǒng)諧振的同時(shí)無(wú)需增加速度環(huán)帶寬，并給出了加速度反饋設(shè)計(jì)原則。文獻(xiàn)［11］分析了 IP(integral-proportional)、m-IP(modified IP)和m-IPD(modified integral-proportional-derivative)三類(lèi)低階控制器對(duì)提高系統(tǒng)魯棒性和擴(kuò)大負(fù)載慣量比的影響，研究結(jié)論表明m-IPD能有效擴(kuò)大負(fù)載慣量比，但微分環(huán)節(jié)正反饋降低了系統(tǒng)魯棒性。文獻(xiàn)［12］采用極點(diǎn)配置的方法研究了負(fù)載慣量的匹配范圍，研究結(jié)論表明當(dāng)慣量比在2～4之間，系統(tǒng)具有理想的阻尼。當(dāng)慣量比＜1時(shí)，普通PI調(diào)節(jié)器已經(jīng)不能滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)性能要求。采用電機(jī)側(cè)轉(zhuǎn)速微分反饋雖然能將極點(diǎn)配置到合適位置，同理，微分正反饋也會(huì)降低系統(tǒng)的魯棒性。

本文在文獻(xiàn)［11-12］的基礎(chǔ)上，分析了不同端口加速度反饋對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)分布的影響。根據(jù)慣量比的不同范圍，采用不同端口的加速度反饋，實(shí)現(xiàn)電機(jī)慣量與負(fù)載慣量的合理匹配，達(dá)到抑制系統(tǒng)機(jī)械諧振和擴(kuò)大負(fù)載慣量比的目的，同時(shí)，避免了速度微分正反饋所帶來(lái)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題。

1 柔性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

由電機(jī)與柔性負(fù)載構(gòu)成的傳動(dòng)系統(tǒng)框圖如圖1所示，其中JM為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、JL為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、KS為柔性聯(lián)結(jié)彈性系數(shù)、KB為阻尼系數(shù)，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，電機(jī)端與負(fù)載端轉(zhuǎn)速分別為 ωM和 ωL。

圖1 柔性系統(tǒng)框圖

在電磁轉(zhuǎn)矩Te作用下，柔性聯(lián)結(jié)產(chǎn)生彈性形變，形變轉(zhuǎn)矩為KS× ( θM－ θL)。根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，導(dǎo)出傳動(dòng)系統(tǒng)的矩陣方程為

由于 sθM=ωM，sθL=ωL，根據(jù)式(1)得到負(fù)載轉(zhuǎn)速ωL到電磁轉(zhuǎn)矩Te的傳遞函數(shù)為

式(2)右邊第1項(xiàng)為剛體運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)，第2項(xiàng)為柔性傳動(dòng)非線(xiàn)性傳遞函數(shù)。由于阻尼系數(shù)KB通常很小，對(duì)諧振頻率的影響有限，因此不妨設(shè)阻尼系數(shù)KB=0。不難得到式(2)非線(xiàn)性傳遞函數(shù)的反諧振頻率和諧振頻率分別為

式中:R——負(fù)載慣量比，R=JL/JM。

由式(3)可知反諧振頻率ωar只與彈性系數(shù)和負(fù)載慣量有關(guān)，與電機(jī)慣量無(wú)關(guān);諧振頻率ωr與彈性系數(shù)和負(fù)載慣量比有關(guān)，減小慣量比R諧振頻率向反諧振頻率點(diǎn)移動(dòng)，有利于抑制系統(tǒng)諧振。

2 控制策略分析

基于多機(jī)械端口加速度反饋的柔性系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。速度控制器采用IP結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)速反饋取自于電機(jī)端口，加速度信號(hào)考慮取自于如下端口:電機(jī)側(cè)機(jī)械輸出端口(Case A);負(fù)載側(cè)機(jī)械輸出端口(Case B);柔性軸系兩端的機(jī)械端口(Case C)。

圖2 基于加速度反饋的柔性系統(tǒng)控制框圖

2.1 無(wú)加速度反饋補(bǔ)償

由于電流環(huán)帶寬遠(yuǎn)高于速度環(huán)帶寬，不妨設(shè)電流環(huán)傳遞函數(shù)Gi(s)=1。無(wú)加速度反饋時(shí)的傳遞函數(shù)，負(fù)載側(cè)輸出轉(zhuǎn)速到轉(zhuǎn)速指令的傳遞函數(shù)為

其中:a1=KSkp;a2=JLki+JLKS+JMKS;a3=JLkp;a4=JLJM。

對(duì)應(yīng)的特征方程為

為使閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的動(dòng)態(tài)性能，設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

式中:ω1、ω2——自然諧振角頻率;

ζ1、ζ2——阻尼比。

將式(7)展開(kāi)，并與式(6)對(duì)比得到的IP控制器參數(shù)和約束條件分別為

由于IP調(diào)節(jié)器僅有一對(duì)可調(diào)節(jié)的參數(shù)(kp，ki)，因此不能對(duì)特征方程(7)的4個(gè)極點(diǎn)進(jìn)行任意配置。假設(shè)諧振系統(tǒng)具有相同的阻尼比，即有ζ1= ζ2= ζ，則約束條件式(9)可簡(jiǎn)化為

通常要求系統(tǒng)的阻尼為0.7≤ζ≤1，因此對(duì)應(yīng)的慣量比2≤R≤4?？梢?jiàn)在無(wú)加速度反饋的條件下，系統(tǒng)匹配的慣量范圍小，限制了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的應(yīng)用范圍。

2.2 電機(jī)側(cè)加速度反饋補(bǔ)償

采用電機(jī)側(cè)機(jī)械端口加速度反饋補(bǔ)償(Case

考慮到ω1，ω2是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，所以有:A)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

對(duì)比式(12)與期望特征方程式(7)的系數(shù)，得IP控制器參數(shù)和約束條件為

其中:RM=JL/(JM+k1)。

同理，假設(shè)系統(tǒng)阻尼比ζ1=ζ2=ζ，則約束條件式(14)可簡(jiǎn)化為

進(jìn)而可導(dǎo)出阻尼比約束條件為

當(dāng)阻尼比0.7≤ζ≤1時(shí)，電機(jī)匹配的慣量比范圍為

可見(jiàn)，采用電機(jī)側(cè)加速度反饋，相當(dāng)于增加了電機(jī)轉(zhuǎn)子慣量，減小了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比，增加了電機(jī)帶大慣量負(fù)載的能力，所以該反饋方式適用于驅(qū)動(dòng)大慣量負(fù)載的場(chǎng)合。

2.3 負(fù)載側(cè)加速度反饋補(bǔ)償

采用負(fù)載側(cè)機(jī)械端口加速度反饋補(bǔ)償(Case B)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

對(duì)比式(18)與期望特征方程式(7)的系數(shù)，得IP控制器參數(shù)和約束條件分別分布為

其中:RL=( JL+k2)/JM。

假設(shè)阻尼比ζ1=ζ2=ζ，則約束條件式(20)可簡(jiǎn)化為

同理，可推得系統(tǒng)阻尼比的約束條件為

當(dāng)期望的阻尼比0.7≤ζ≤1時(shí)，則對(duì)應(yīng)慣量比范圍為

可見(jiàn)通過(guò)反饋負(fù)載端口加速度，相當(dāng)于增加了負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，增大了系統(tǒng)的慣量比。對(duì)于小慣量負(fù)載驅(qū)動(dòng)，采用該端口加速度反饋有利于機(jī)械諧振抑制。

2.4 軸系兩端加速度反饋補(bǔ)償

采用柔性軸系兩端速度差加速度反饋補(bǔ)償(Case C)時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為

對(duì)比式(24)和期望特征方程式(7)的系數(shù)，得IP控制器參數(shù)表達(dá)式和約束方程分別為

假設(shè)阻尼比ζ1=ζ2=ζ，則約束條件式(18)可簡(jiǎn)化為

進(jìn)而可推得阻尼比范圍為

當(dāng)阻尼比0.7≤ζ≤1時(shí)，系統(tǒng)的負(fù)載慣量比范圍為

可見(jiàn)，采用柔性軸系兩端的加速度差反饋時(shí)，相當(dāng)于在減小負(fù)載慣量的同時(shí)增加電機(jī)轉(zhuǎn)子慣量，大大減小了傳動(dòng)系統(tǒng)負(fù)載慣量比。對(duì)于相同的反饋系數(shù)，軸系兩端加速度差反饋效果強(qiáng)于電機(jī)端口加速度反饋，適合于驅(qū)動(dòng)更大慣量的負(fù)載。

通過(guò)上述分析可知，采用不同端口加速度反饋等效于改變傳動(dòng)系統(tǒng)電機(jī)和/或負(fù)載的機(jī)械慣量，針對(duì)不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的機(jī)械負(fù)載，按表1選擇不同端口加速度反饋方式，實(shí)現(xiàn)電機(jī)與負(fù)載慣量的合理匹配，進(jìn)而達(dá)到抑制柔性系統(tǒng)機(jī)械諧振的目的。

由于IP調(diào)節(jié)器只有一對(duì)可調(diào)參數(shù) ( kp，ki)，不能任意配置系統(tǒng)的四個(gè)極點(diǎn)，因此在采用加速度反饋時(shí)，需要對(duì)系統(tǒng)的阻尼作一個(gè)約束ζ1=ζ2=ζ，然后再調(diào)節(jié)加速度反饋系數(shù) (ki，i=1，2，3)，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有理想動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

表1 不同端口加速度反饋的阻尼比與慣量比之間的關(guān)系

3 仿真試驗(yàn)

為驗(yàn)證不同機(jī)械端口加速度反饋對(duì)不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量柔性負(fù)載的諧振抑制，搭建基于MATLAB/Simulink的柔性負(fù)載伺服驅(qū)動(dòng)仿真模型。其仿真參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)表

當(dāng)慣量比R=0.2，即所帶負(fù)載為小慣量負(fù)載，采用Case B所示的負(fù)載端口加速度反饋，得到系統(tǒng)極點(diǎn)分布如圖3(a)所示，極點(diǎn)分布于ζ=0.7的線(xiàn)上，且遠(yuǎn)離虛軸。柔性軸系上的輸出轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)速如圖3(b)和圖3(c)所示，可見(jiàn)采用負(fù)載端口加速度反饋，有利于提高轉(zhuǎn)速響應(yīng)，減少轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，抑制系統(tǒng)諧振。

圖3 R=0.2時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)、轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩響應(yīng)圖

當(dāng)慣量比R=4，即所帶負(fù)載為中慣量負(fù)載，采用Case A所示的電機(jī)端口加速度反饋，得到系統(tǒng)極點(diǎn)分布如圖4(a)所示，極點(diǎn)分布于ζ=0.7的線(xiàn)上，且遠(yuǎn)離虛軸。柔性軸系上的輸出轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)速如圖4(b)和圖4(c)所示，可見(jiàn)采用電機(jī)端口加速度反饋，減少了負(fù)載慣量比，有利于提高轉(zhuǎn)速響應(yīng)，減少轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，抑制系統(tǒng)諧振。

圖4 R=4時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)、速度和轉(zhuǎn)矩響應(yīng)圖

當(dāng)慣量比R=8，即驅(qū)動(dòng)大慣量負(fù)載，分別采用Case A和Case C兩種加速度反饋，得到系統(tǒng)極點(diǎn)分布如圖5(a)所示，采用兩種反饋方式均能使極點(diǎn)分布在ζ=0.7的線(xiàn)上，但Case A的主導(dǎo)極點(diǎn)較Case C的極點(diǎn)離虛軸近，因此采用Case C加速度反饋的動(dòng)態(tài)響應(yīng)較Case A加速度反饋快，軸上的輸出轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)速分別如圖5(b)和圖5(c)所示?？梢?jiàn)兩種反饋方式均能使得閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的阻尼比，都能抑制系統(tǒng)的諧振，但軸系兩端的加速度反饋效果較電機(jī)端口加速度反饋強(qiáng)，適合更大負(fù)載慣量比的場(chǎng)合。

圖5 R=8時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)、轉(zhuǎn)矩和速度階躍響應(yīng)圖

通過(guò)對(duì)仿真結(jié)果分析可知，對(duì)于小慣量負(fù)載，采用Case B所示的負(fù)載端口加速度反饋，增加等效的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，實(shí)現(xiàn)慣量的合理匹配;對(duì)于中、大慣量負(fù)載，采用Case A和Case C所示的加速度反饋，增效增加電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，達(dá)到減小負(fù)載慣量比的目的，使得諧振頻率向反諧振頻率點(diǎn)移動(dòng)，抑制系統(tǒng)諧振。此外，綜合IP調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)，合理配置系統(tǒng)極點(diǎn)，提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能，在抑制系統(tǒng)諧振的前提下提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)比研究不同機(jī)械端口加速度反饋對(duì)柔性系統(tǒng)諧振的影響，加速度反饋等效于改變負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，根據(jù)不同的負(fù)載慣量比采用不同端口的加速度反饋，合理匹配轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，縮小諧振頻率與反諧振頻率的頻帶，達(dá)到抑制系統(tǒng)諧振的目的。同時(shí)綜合IP調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)，合理配置系統(tǒng)極點(diǎn)，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有理想的動(dòng)態(tài)性能。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文結(jié)論的有效性，為采用加速度反饋方法抑制柔性系統(tǒng)機(jī)械諧振提供了理論指導(dǎo)。

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