開展有效類比 提升學生思維

張鳴麗

【內(nèi)容摘要】通過有效類比進行分析和引入相關(guān)數(shù)學內(nèi)容，不僅能夠幫助學生順應(yīng)認知結(jié)構(gòu)，有利于弄清知識點在知識系統(tǒng)中的地位，而且能夠促進學生正遷移學習。因而類比既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想方法。本文結(jié)合教學實踐，從運用類比，溝通知識；巧用類比，探索發(fā)現(xiàn)；運用類比，提升方法等方面闡述了運用類比教學的相關(guān)問題，并且深入思考了有關(guān)的運用問題。

【關(guān)鍵詞】類比教學 提升方法 注意事項

類比法是指由一類事物所具有的某種屬性推測出與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的推理方法。在數(shù)學中它曾與歸納法一起被人們稱為發(fā)現(xiàn)真理的主要工具。在數(shù)學的發(fā)展史上，很多重要的結(jié)論都是通過巧妙的類比，從一個比較簡單的結(jié)論出發(fā)，對一些相似的對象在某些方面的一致性進行類比得到的。同樣，初中數(shù)學教學中的任何一個知識點都有其形成過程，或是對實際問題的數(shù)學抽象，或是對舊知識進行歸納、類比后推理得出的結(jié)論，這種數(shù)學抽象或推理的過程就是知識的形成過程。如果學生能掌握這些知識的形成過程，就能從整體上把握知識結(jié)構(gòu)，溝通知識的聯(lián)系，弄清知識的來龍去脈，將知識學“活”。教師把學生比較熟悉的材料介紹給他們，以幫助學生把新知識與以前學過的知識結(jié)合在一起，把零散的知識系統(tǒng)化，不僅有助于建立完整的認知結(jié)構(gòu)，而且通過遷移可以使學生發(fā)現(xiàn)新的知識系統(tǒng)。因此，如果教師能夠經(jīng)常性地、恰當?shù)貞?yīng)用類比法揭示數(shù)學命題之間的相互聯(lián)系，學生得到的將不僅是命題的結(jié)論本身，而是一種數(shù)學思維方法，進而將內(nèi)化成一種數(shù)學意識和觀念。波利亞說過：“類比和其他類型的相似性之間的本質(zhì)區(qū)別，在我看來在于思考者的意圖?！睆倪@個意義來說，教師有意識地在教學中應(yīng)用類比的方法不僅可以開拓學生的數(shù)學視野，還能夠提高學生的數(shù)學思維能力，使其在學習中得到更多的“發(fā)現(xiàn)”和結(jié)論。

一、運用類比，溝通知識

1.巧用類比，化枯燥為形象

運用類比可以使數(shù)學中枯燥乏味的知識變得形象易懂。比如在教完全平方公式時，學生很容易忘掉公式中的第二項2ab，于是我作這樣的類比：a代表男孩，b代表女孩，2次方代表結(jié)婚了，（）就表示是一家人了，那結(jié)婚后，男孩a就變成了父親a2，女孩b變成了母親b2，而2ab就是他們的寶寶啊，有著他們的基因ab，享受著來自父母雙倍的愛——2。你們能隨便把寶寶扔掉嗎？學生頓時興趣高漲，印象深刻。

2.巧用類比，溫故而知新

在類比中進行對比分析，聯(lián)系舊知，提示新知。這種比較有利于學生明白前后知識的聯(lián)系與區(qū)別，而教師引導學生比較的知識的各個側(cè)面，揭示了教學的重點和難點，對前后聯(lián)系密切的知識教學具有溫故知新的特殊作用。例如教學“平方差公式”，教材首先給出了探究問題：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

①（x+1）（x-1）

②（x+2）（x-2）

③（2x+1）（2x-1）

學生通過多項式逐項相乘的方法得出結(jié)果后，我進行引導：像這類特殊形式的多項式相乘，可以直接運用公式寫出結(jié)果，上面的三個例子寫成公式就是（a+b）（a-b）=a2-b2，從而類推出“平方差公式”新知識。因此，教師引導學生在學習時如果能夠?qū)π聠栴}與舊知識進行類比，大膽猜想，可以發(fā)現(xiàn)新知識，達到溫故而知新的效果。

3.巧用類比，突破教學難點

學生往往難以理解和接受某些數(shù)學概念，倘若教師在講授新知識時能夠密切聯(lián)系舊知識，有效地對新舊知識進行類比分析，就能讓學生更加容易理解新知識，同時也能順利突破難點，從而降低教學難度。例如教師可以指導學生從代數(shù)，幾何圖形之間進行類比轉(zhuǎn)化突破學習難點。

原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G。若 =3，求 的值。

圖1

圖2

圖3

（1）嘗試探究。在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是___，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是_____， 的值是____。

（2）類比、延伸。如圖2，在原題的條件下，若 =m（m>0）；則 的值是____（用含有m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程。

（3）拓展遷移。如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上的一點，AE和BD相交于點F。若 =a， =b （a>0，b>0），則 的值是___（用含a、b的代數(shù)式表示）。

可見，類比是人們思維過程中最常用的方法，它的基本作用在于根據(jù)題設(shè)條件，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已知的熟悉問題，通過類比，尋找解決問題的入口處，把握類比雙方的區(qū)別，從而看是否能轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題之目的。正如法國哲學家康德說的“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進”，因此，在教學中加強對學生的類比和轉(zhuǎn)化的訓練是十分必要的。

4.巧用類比，獲得結(jié)構(gòu)性啟發(fā)

類比，既可以體現(xiàn)知識方面的遷移，還可以是方法上的遷移。因為同類題型的比較學習是有其相同的本性。教師幫助學生尋找到學習數(shù)學的規(guī)律，指導學生運用類比、類推的數(shù)學學習方法，學習效果就會事半功倍。

例1：如下圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時，在它北偏東40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B，貨輪C和海島D。仿照表示燈塔方位的方法畫出表示客輪B，貨輪C和海島D方向的射線。

例2：下圖中A，B，C三點分別代表郵局、商店和學校。郵局和商店分別在學校的北偏西方向，郵局又在商店的北偏東方向。那么，圖中A點應(yīng)該是____，B點應(yīng)該是___，C點應(yīng)該是____。

例3：如何表示乙地對甲地的方位角

這三個習題共同的方法就是要先找準基點，畫出十字坐標，如果基點沒找準，十字坐標不畫出，做起來就費勁，像例1找準了基點A，例2找準了基點學校，例3找準了基點甲地。從基點畫出十字坐標，那么這三題就不用吹灰之力，迎刃而解了。解答這三題的共同規(guī)律是找出基點、畫出十字坐標，規(guī)律找到了，那么我們教師在指導學生就不必對三題都進行一一分析，只要講好一題，指明規(guī)律即可，可把大量的時間還給學生，學生就會運用類比的方法，觸類旁通，輕松學習，效果倍增。

二、運用類比，探索發(fā)現(xiàn)

在數(shù)學知識的延伸拓展中常會借助類比思維進行比較、聯(lián)想，啟發(fā)誘導以尋求思維的變異和發(fā)散。教師的講解代替不了學生的思維，教師只能是一個重要的“引導者”。這就要求教師善于考慮學生的已有經(jīng)驗、認知特點和認知規(guī)律，把形式的、演繹的數(shù)學返璞歸真，回歸到數(shù)學的本來面目，讓學生體驗數(shù)學知識的形成過程，體會一個問題、一個概念是怎樣提出來的，它的發(fā)展和延伸是什么，有什么具體應(yīng)用。例如，學生在學習含有絕對值不等式的解法時感覺比較困難，但學生對含有絕對值的方程是比較熟悉的，我們可以引導學生從含有絕對值的方程│x│=2開始探索：它表示在數(shù)軸上表示數(shù)x的點到原點的距離是2，由此，可得x=2或x=-2；那么│x│>2和│x│<2又有什么樣的幾何意義呢？滿足條件的x值有哪些，怎樣表示？進而再推廣到一般的不等式│x│>2或│x│<2的不等式的解法。通過這樣的類比分析，可以調(diào)動學生思維的積極性，而且在探索結(jié)果的同時，既深化了知識，又貫徹了課堂教學精講和學生自主探索的教學原則，從而使學生在探索中獲得“再發(fā)現(xiàn)”的體驗。

教師應(yīng)該引導學生利用“嫁接、滲透、代換”等方法使一個數(shù)學問題變成另一個（類）數(shù)學問題。然后，引導學生通過觀察、分析、類比、聯(lián)想、猜想等數(shù)學方法去探究解決問題的方法。例如：習題1：經(jīng)過點0的四條射線與一條直線分別相交于A、B、C、D。

（1）①請用字母表示出圖中直線AD上所有線段；②當經(jīng)過點0有五條射線時，在AD上共有幾條線段？有n條射線經(jīng)過點0，在AD上又有幾線段？（2）再由上圖去觀察，探索角和三角形等問題：如經(jīng)過點0的四條射線與一條直線相交于A、B、C、D，請用字母表示圖中所有的角，所有的三角形……由此還可以聯(lián)想到：平面內(nèi)有兩條直線相交的交點？n條直線兩兩相交，最多有幾個交點？再將這個問題反過來思考，即已知平面內(nèi)直線相交的交點數(shù)，求相交直線的條數(shù)？對頂角的對數(shù)等。

再如習題2：一次家庭宴會有16人參加，若參加宴會的賓客都相互握手，共有幾次握手？教師在引導學生解這類問題時，要緊緊抓住共同的特點，在n個的元素中，任何兩個元素的組成都完成了某一事件，所以都可以用式子 計算。

可見，通過類比引發(fā)聯(lián)想可以開闊學生的眼界，拓寬他們的思路，達到舉一反三，觸類旁通。并促進學生創(chuàng)新思維和問題解決能力的發(fā)展。

三、運用類比，提升方法

任何數(shù)學思想方法的學習，必須經(jīng)歷“解決具體問題——反思和總結(jié) ——歸納與提煉——應(yīng)用與發(fā)展”的基本過程，學生不能從“告知”中體會和掌握數(shù)學思想方法，只能從體驗解決問題過程、反思和總結(jié)解決問題過程中產(chǎn)生數(shù)學思想方法。數(shù)學教學中注意類比思想的應(yīng)用，可以啟發(fā)學生領(lǐng)悟知識間的關(guān)聯(lián)性，因為類比思維的認識依據(jù)就是事物之間具有的相似性。學生通過類比推理、類比猜想和類比發(fā)現(xiàn)，可以理解數(shù)學問題的產(chǎn)生背景以及數(shù)學問題的相關(guān)性，領(lǐng)悟數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，幫助學生完成對抽象數(shù)學知識的意義建構(gòu)。比如類比方程模型可以建立不等式模型，這不僅可以使學生的學習變得更輕松，更有興趣，而且更能使學生體會這二者知識之間的聯(lián)系，為學生運用新學知識解決實際問題創(chuàng)造條件和機會。又如在特殊平行四邊形的學習中，老師可以讓學生類比平行四邊形的學習思路，分別從定義、性質(zhì)、判定三個方面進行探究，它們的性質(zhì)都分別從邊、角、對角線三個角度進行歸納整理，它們的判定都可以從定義和它們特有性質(zhì)的逆命題入手思考。在這樣的學習過程中，學生能夠提升類比思想，可以輕松地由一類通各類。退一步講，就是在平時學習中積累和掌握一些典型的問題及解決方法，在遇到新問題時，也可以利用類比思想來解決。

初中數(shù)學的學習中還有許多運用類比數(shù)學思想方法的地方，像單項式與多項式相乘一節(jié)，運用提公因式法分解因式一節(jié)均可用小學學過的分配律類比學習，再如，一次函數(shù)與正比例函數(shù)用類比方法學習等。數(shù)學中的許多發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新首先是通過類比和歸納得出猜想，然后才加以證明的。因此，在數(shù)學教學過程中，積極鼓勵學生、引導學生進行類比、聯(lián)想、歸納與猜想，參與概念的引入過程，公式、定理、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程和解題方法的探究過程，讓他們在掌握知識的過程中，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。這樣面對陌生的數(shù)學問題，學生就能將它和熟悉問題進行分析比較，從而發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，進而獲得新的知識?？傊惐葦?shù)學思想方法的運用可以使已學知識得到鞏固和提高，使新知識的學習更豐富多彩。

四、有效運用類比進行數(shù)學教學的深度思考

1.類比要有方向性。要盡量從本質(zhì)上類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑。

2.運用方法時要注意盡可能類比得貼切、恰當，只有兩種知識之間有很強的可類比性，才能使學生同中求異、異中求同，深刻理解并掌握知識。

3.類比同歸納法一樣，更多的時候還僅僅是猜想，須用演繹法嚴格地證明才能說明類比結(jié)論正確與否。類比法所獲得的結(jié)論是對兩個研究對象的觀察比較、分析聯(lián)想以至形成猜想來完成的，是一種由特殊到特殊的推理方法，其結(jié)論的可靠程度，依賴于兩個研究對象的共有屬性，一般說來，共有屬性愈多，結(jié)論的可靠程度就愈大；共有屬性愈是本質(zhì)的，結(jié)論的可靠程度就愈高。盡管類比法結(jié)論的真實性不一定得到保證，但它在人們的認識活動中仍有著重要意義。在數(shù)學教學中，我們可以通過類比學習新知識。

總之，正確運用類比教學可以有效幫助學生理清概念、原理等，弄清知識間的異同，提高分析能力，獲得規(guī)律性認識，從而形成良好的認知結(jié)構(gòu)，有利于提高學生的學習效率，培養(yǎng)學生的自主學習能力和創(chuàng)造性思維能力。

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