雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)基座振動(dòng)研究

王斌華

(長(zhǎng)安大學(xué) 道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710064)

管道流固耦合振動(dòng)問(wèn)題蘊(yùn)含豐富、復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)內(nèi)容而備受關(guān)注，研究其振動(dòng)特性具有廣泛的工程背景及重要應(yīng)用價(jià)值。目前，對(duì)懸臂管流固耦合系統(tǒng)振動(dòng)研究大多局限于單節(jié)臂管道振動(dòng)特性［1］，或雖考慮多節(jié)臂管道振動(dòng)，但僅研究剛性輸液管道耦合系統(tǒng)［2］，未考慮管道彈性變形對(duì)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響。工程應(yīng)用中，如噴漿機(jī)、混凝土泵車及高空消防車等均采用流體輸送管道附在多節(jié)柔性臂的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，且節(jié)臂系統(tǒng)常位于振動(dòng)基礎(chǔ)上，因此開(kāi)展多節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)基座振動(dòng)分析有重要工程價(jià)值。已有對(duì)此類機(jī)械多節(jié)臂桿結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究［3－4］及振動(dòng)控制研究［5－7］，但模型中未考慮流固耦合與基座振動(dòng)因素。

本文結(jié)合柔性多體動(dòng)力學(xué)［8－9］與流固耦合動(dòng)力學(xué)理論，利用懸臂輸液管Lagrange方程建立基座振動(dòng)作用時(shí)雙節(jié)柔性懸臂管流固耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，分析節(jié)臂姿態(tài)變化、節(jié)臂長(zhǎng)度及平均流速對(duì)流固耦合系統(tǒng)振動(dòng)影響。

1 耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)基座振動(dòng)模型見(jiàn)圖1。方程建立基于假設(shè):每節(jié)懸臂管全長(zhǎng)范圍內(nèi)具有統(tǒng)一內(nèi)徑及截面屬性，材料各向同性;已知懸臂管材料彈性模量 E，截面慣性矩 I1、I2，單位長(zhǎng)度質(zhì)量 ρp1、ρp2，管長(zhǎng)l1、l2;管內(nèi)為無(wú)粘不可壓縮液體，液體單位長(zhǎng)度質(zhì)量ρf1、ρf2;流速U(t)，任一點(diǎn)流體流速方向相切于該處彈性變形管軸線，平行于單位切矢量;忽略流體－懸臂管系統(tǒng)內(nèi)外結(jié)構(gòu)阻尼及懸臂管剪切變形;懸臂管振動(dòng)時(shí)管軸線不可伸長(zhǎng)。懸臂管位于豎向振動(dòng)基礎(chǔ)上，建立絕對(duì)坐標(biāo)系x0o0y0與連體坐標(biāo)系xioiyi( i=1，2，3)，o1點(diǎn)豎向振動(dòng)位移為v(t)，x1o1y1固定于振動(dòng)基礎(chǔ)上，懸臂管1管單元產(chǎn)生沿x2軸、y2軸位移分別為u1、w1，懸臂管2的管單元產(chǎn)生沿x3軸、y3軸位移分別為u2、w2。

圖1 雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)基座振動(dòng)模型Fig.1 Dynamic model of the two cantilever pipes on vibration foundation

由圖1(b)可知，坐標(biāo)系x2o2y2中，懸臂管1上任意管單元p1位置矢量為

在坐標(biāo)系x0o0y0中，懸臂管1上任意管單元p1位置矢量為

管單元p1速度矢量為

式中:B為從連體坐標(biāo)系x1o1y1到絕對(duì)坐標(biāo)系x0o0y0的平移變換矩陣;A1為動(dòng)坐標(biāo)系 x2o2y2到動(dòng)坐標(biāo)系x1o1y1的方向余弦矩陣，即

式中:β1為x2軸與x1軸夾角。

坐標(biāo)系x0o0y0中懸臂管1內(nèi)流體單元速度矢量為

式中:2τ→f1為流體單元在坐標(biāo)系x2o2y2中的切矢量，即

懸臂管2上管單元速度矢量為

式中:β2為坐標(biāo)系x3o3y3的x3軸與坐標(biāo)系x1o1y1的x1軸夾角。

在坐標(biāo)系x0o0y0中，懸臂管2內(nèi)流體單元的速度矢量為

式中:3τ→f2為流體單元在坐標(biāo)系x3o3y3中切矢量，即

因此，懸臂管1動(dòng)能為

懸臂管1勢(shì)能為

懸臂管1內(nèi)流體動(dòng)能為

懸臂管1內(nèi)流體勢(shì)能為

懸臂管2動(dòng)能為

懸臂管2勢(shì)能為

懸臂管2內(nèi)流體動(dòng)能為

懸臂管2內(nèi)流體勢(shì)能為

用假設(shè)模態(tài)法，兩節(jié)柔性臂在各自連體坐標(biāo)系橫向位移可表示為里茲基函數(shù)的線性組合［10－11］，即

式中:qkr(t)為對(duì)應(yīng)φkr(x)的廣義坐標(biāo)，φkr(x)為k節(jié)臂桿r階基函數(shù);N為里茲基函數(shù)階數(shù)，據(jù)研究對(duì)象的固有頻率、激擾頻率確定此處N=2即可獲得滿意的近似。前兩階基函數(shù)［12］為

據(jù)文獻(xiàn)［1］，懸臂輸液管系統(tǒng)Lagrange方程為

式中:→r 為懸臂管末端位置矢量(圖1(a))，即

且

將式(9)～式(16)及式(20)、(21)代入式(19)，采用里茲基函數(shù)線性化表示節(jié)臂的橫向變形，整理得懸臂管流固耦合動(dòng)力學(xué)方程為

式中:M，C，K，F(xiàn)分別為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣及載荷列陣;q為廣義坐標(biāo)列陣。

對(duì)時(shí)變系數(shù)微分方程組一般采用逐步積分的數(shù)值方法求解，本文用Newmark－β法，用MATLAB編寫(xiě)程序，通過(guò)數(shù)值計(jì)算求得任意時(shí)刻廣義坐標(biāo)q(t)，代入式(17)即可獲得懸臂管動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

2 數(shù)值仿真

雙節(jié)懸臂管參數(shù)為:臂長(zhǎng)l1=l2=0.75 m，節(jié)臂1慣性矩 Ip1=5.208 ×10－10m4，節(jié)臂2 慣性矩 Ip2=3.125×10－10m4，節(jié)臂1 密度 ρp1=0.675kg/m，節(jié)臂 2 密度ρp2=0.405kg/m，彈性模量 E=6.895 ×1010Pa，流體密度 ρf1= ρf2=0.154kg/m。

選取節(jié)臂的3種姿態(tài)進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析，姿態(tài)角分別為:姿態(tài)1(β1=0°，β2=0°)，姿態(tài) 2(β1=52°，β2=－28°)，姿態(tài)3(β1=80°，β2=0°)。

2.1 流體平均流速影響分析

基座振動(dòng)位移為 v(t)=0.0015 sin(0.6πt)(m)，選取流體流速分別為 U1(t)=2+0.1sin(0.6πt)(m/s)、U2(t)=5+0.1sin(0.6πt)(m/s)及 U3(t)=10+0.1sin(0.6πt)(m/s)進(jìn)行分析，結(jié)果見(jiàn)圖3。由圖3可知，①平均流速相同時(shí)節(jié)臂系統(tǒng)姿態(tài)變化使系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)變化較大，說(shuō)明姿態(tài)角變化對(duì)雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)影響顯著;②節(jié)臂系統(tǒng)姿態(tài)不變時(shí)，隨平均流速增加姿態(tài)1動(dòng)態(tài)響應(yīng)幅值逐漸減小，姿態(tài)2、3動(dòng)態(tài)響應(yīng)幅值減小后再增大，但平均流速的提高會(huì)增加流體流動(dòng)產(chǎn)生的激勵(lì)作用，使3種姿態(tài)的振動(dòng)響應(yīng)均值提高，且對(duì)水平姿態(tài)1可達(dá)較高的工作流速不使振動(dòng)響應(yīng)幅值過(guò)大。

圖3 不同平均流速時(shí)節(jié)臂振動(dòng)響應(yīng)Fig.3 Vibration response of arms with different flow velocity

2.2 節(jié)臂長(zhǎng)度影響分析

基座振動(dòng)位移為 v(t)=0.0015 sin(0.6πt)(m)，選取節(jié)臂長(zhǎng)度參數(shù)分別為:① 臂長(zhǎng)參數(shù)1(L1=0.5 m，L2=1.0 m);② 臂長(zhǎng)參數(shù)2(L1=0.75 m，L2=0.75 m);③ 臂長(zhǎng)參數(shù) 3(L1=1.0 m，L2=0.5 m)，姿態(tài)變化后節(jié)臂動(dòng)態(tài)響應(yīng)見(jiàn)圖4。由圖4可知，① 在每種固定姿態(tài)下，改變節(jié)臂長(zhǎng)度使其末端振動(dòng)響應(yīng)變化顯著。因節(jié)臂長(zhǎng)度變化會(huì)改變振動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量分布，引起系統(tǒng)固有頻率變化，因此振動(dòng)響應(yīng)幅值、頻率均發(fā)生變化;② 由圖4(b)知，L1=1.0 m，L2=0.5 m 時(shí)節(jié)臂間彎矩振動(dòng)幅值最小。因此，采用節(jié)臂間彎矩作為主動(dòng)控制力時(shí)該系統(tǒng)所需控制力較小，說(shuō)明進(jìn)行節(jié)臂系統(tǒng)振動(dòng)控制設(shè)計(jì)時(shí)，優(yōu)化臂架長(zhǎng)度可降低系統(tǒng)控制能量。

圖4 不同節(jié)臂長(zhǎng)度時(shí)節(jié)臂振動(dòng)響應(yīng)Fig.4 Vibration response of arms with different arm length

3 試驗(yàn)研究

為驗(yàn)證理論模型的正確性，在振動(dòng)臺(tái)上進(jìn)行雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)試驗(yàn)，對(duì)比研究節(jié)臂2末端實(shí)測(cè)振動(dòng)加速度與仿真計(jì)算值。為控制設(shè)定的基座振動(dòng)參數(shù)，將雙節(jié)懸臂管模型夾持在SDS－500型液壓伺服動(dòng)靜試驗(yàn)機(jī)上，由工控機(jī)控制伺服油缸振動(dòng)位移為 v(t)=0.0015 sin(0.6πt)(m)，加速度傳感器選ARF－20A，采集系統(tǒng)為DH5927。通過(guò)定量泵控制流速為U=3.82 m/s。試驗(yàn)照片見(jiàn)圖5，試驗(yàn)、仿真結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖6。由圖6對(duì)比分析可知，姿態(tài)變化時(shí)測(cè)試曲線與仿真曲線的峰谷出現(xiàn)時(shí)刻基本對(duì)應(yīng)，且曲線變化規(guī)律及幅值基本相同，說(shuō)明該理論模型合理。

圖5 試驗(yàn)照片F(xiàn)ig.5 Test photos

圖6 加速度計(jì)算與測(cè)試結(jié)果對(duì)比圖Fig.6 Acceleration results comparison between calculation and test

4 結(jié)論

基于柔性多體動(dòng)力學(xué)與流固耦合動(dòng)力學(xué)理論，利用懸臂輸液管Lagrange方程建立雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)基座振動(dòng)力學(xué)方程，研究節(jié)臂姿態(tài)、平均流速及節(jié)臂長(zhǎng)度對(duì)流固耦合系統(tǒng)振動(dòng)影響。結(jié)論如下:

(1)節(jié)臂姿態(tài)與長(zhǎng)度變化對(duì)雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)影響顯著。

(2)提高平均流速可增加流體產(chǎn)生的激勵(lì)作用，提高雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)均值，且對(duì)水平姿態(tài)，具有較高的穩(wěn)定工作流速。

(3)節(jié)臂長(zhǎng)度變化影響節(jié)臂2約束端振動(dòng)彎矩，因此進(jìn)行節(jié)臂系統(tǒng)振動(dòng)控制設(shè)計(jì)時(shí)，優(yōu)化臂架長(zhǎng)度可降低系統(tǒng)控制能量。

(4)通過(guò)雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)與仿真分析對(duì)比，驗(yàn)證所建動(dòng)力學(xué)模型的正確性，該模型可用于雙節(jié)懸臂管系統(tǒng)主動(dòng)控制研究。

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