索－梁耦合結(jié)構(gòu)非線性分析

劉海濤，魏明海，肖儀清，林 坤

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院，廣東 深圳 518055;2.沈陽建筑大學(xué) 營造與工程管理系，沈陽 110168)

索－梁耦合結(jié)構(gòu)應(yīng)用廣泛。對(duì)其進(jìn)行的傳統(tǒng)分析往往局限于單個(gè)結(jié)構(gòu)，即單個(gè)索或梁構(gòu)件［1－5］。索 －梁耦合結(jié)構(gòu)作為整體，系統(tǒng)的非線性行為不僅由索的幾何非線性引起，且亦因索、梁間模態(tài)耦合而產(chǎn)生。將索、梁作為整體用于斜拉結(jié)構(gòu)必存在多種內(nèi)、外共振形式及聯(lián)合形式。因此，對(duì)該耦合結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)進(jìn)行深入研究具有重要意義。

索－梁耦合結(jié)構(gòu)源于Fujino等［6］對(duì)斜拉索參數(shù)振動(dòng)的研究，其對(duì)模型進(jìn)行一定簡化，僅考慮梁面內(nèi)、外及索面內(nèi)位移3個(gè)自由度，將索面外位移通過梁端約束耦合一起。Xia等［7］用解析方法考察拉索在端部隨機(jī)位移激勵(lì)的響應(yīng)，采用文獻(xiàn)［6］的3自由度索橋耦合振動(dòng)簡化模型，由等效線性化方法獲得在主梁上作用豎向白噪聲荷載的系統(tǒng)響應(yīng)。Fung等［8］通過Hamilton原理建立索－梁耦合時(shí)變系統(tǒng)知，拉索張力、長度為隨時(shí)間變化的函數(shù)。Gattulli等［9－11］研究索 －梁組合結(jié)構(gòu)整體、局部與耦合模態(tài)的存在及相互間影響并用試驗(yàn)及有限元進(jìn)行驗(yàn)證。王濤等［12］用拉索非線性解析振動(dòng)方程與有限元非線性動(dòng)力時(shí)程積分結(jié)合方法研究索、梁發(fā)生大幅振動(dòng)的特性表明，拉索局部振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)相關(guān)效應(yīng)較明顯。趙躍宇等［13－14］研究索－梁耦合結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)的內(nèi)共振模式，利用數(shù)值模擬方法研究該系統(tǒng)因內(nèi)共振引起的振動(dòng)行為，并將索－梁耦合結(jié)構(gòu)擴(kuò)展到索－曲梁耦合結(jié)構(gòu)，研究其面內(nèi)振動(dòng)特性。馮維明等［15－16］將索－梁耦合結(jié)構(gòu)作為整體研究其耦合系統(tǒng)振動(dòng)特性。而對(duì)索－梁耦合結(jié)構(gòu)在內(nèi)外共振聯(lián)合激勵(lì)下的非線性分析較少，尤其考慮模態(tài)耦合影響。為此，本文建立考慮模態(tài)相互耦合的索－梁耦合結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)方程;用多尺度法對(duì)耦合運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解耦;并數(shù)值分析索－梁耦合結(jié)構(gòu)在內(nèi)外共振聯(lián)合激勵(lì)下的非線性特性及系統(tǒng)參數(shù)對(duì)非線性影響。

1 理論模型建立

索－梁耦合結(jié)構(gòu)簡化模型見圖1。由于研究耦合結(jié)構(gòu)面內(nèi)非線性特性，故假設(shè)條件為:① 不考慮梁的扭矩及大變形;② 不考慮索的抗剪剛度及抗彎剛度;③ 將索的重力垂度曲線近似為為拋物線;④ 用Lagrangian應(yīng)變描述索軸向伸長;⑤ 索質(zhì)量遠(yuǎn)小于梁質(zhì)量;⑥ 索、梁變形本構(gòu)關(guān)系服從虎克定律且各點(diǎn)受力均勻。

圖1 索－梁耦合結(jié)構(gòu)模型Fig.1 The model of a cable-beam structure

在以上假設(shè)條件下，索－梁耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程組及邊界條件無量綱化后表達(dá)形式［17］為

式中:下標(biāo)1，2分別表示梁、索;ρ，χ，θ分別為索與梁的質(zhì)量比、剛度比及傾角。

考慮梁、索橫向位移關(guān)系，表達(dá)式為

式中:φ1(x)，φ2(x)分別為梁、索模態(tài)，形式為

利用Galerkin方法對(duì)索－梁耦合結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行一階模態(tài)處理，獲得內(nèi)、外共振聯(lián)合激勵(lì)下系統(tǒng)二自由度非線性常微分方程為

式中:fij為激勵(lì)幅值;ai，bi，ci，aij，bij，aijk，bijk為梁、索Galerkin截?cái)嘞禂?shù)。

由式(5)知，由于梁、索模態(tài)相互耦合，即使考慮梁模型是線性的，仍有非線性項(xiàng)(平方項(xiàng)、立方項(xiàng))存在于梁的振動(dòng)方程中;而索的振動(dòng)方程中非線性項(xiàng)較僅考慮索幾何非線性時(shí)多。

2 攝動(dòng)分析

2.1 內(nèi)外共振模式分析

引入多尺度參數(shù)ε，式(5)變換為

設(shè)梁、索解的表達(dá)式為

將式(6)代入式(7)，合并ε同次項(xiàng)且令各項(xiàng)系數(shù)為 0，則有

ε0階:

ε1階:

式(8)解的復(fù)數(shù)形式為

式中:A1，A2為待定函數(shù)分別為A1，A2的復(fù)共軛形式。

將式(10)代入式(9)，得

式中:ω1，ω2為梁、索頻率;cc為式(11)中函數(shù)共扼項(xiàng);NST為式(11)中函數(shù)非長期項(xiàng)。

由式(11)知，索－梁耦合結(jié)構(gòu)存在多種內(nèi)、外共振模式，如 ω1=2ω2，ω1= ω2，ω1=ω2/2 的內(nèi)共振模式;Ω= ω1，Ω =2ω1，…，Ω = ω2，Ω =2ω2，…等外共振模式。通常結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)占據(jù)振動(dòng)的主要響應(yīng)，且模態(tài)階數(shù)越高對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)貢獻(xiàn)越小。因此，本文僅考慮梁、索各自第一階模態(tài)研究索－梁耦合非線性特性。

2.2 振動(dòng)方程近似解與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性

2.2.1 外激勵(lì)與梁主共振

考慮外激勵(lì)與梁主共振時(shí)，內(nèi)、外共振模式關(guān)系為

式中:σ1為調(diào)頻參數(shù);ε為遠(yuǎn)小于1的參數(shù)。

將式(12)代入式(11)，并令長期項(xiàng)等于零，得

為求解式(13)，將A1，A2表示成極函數(shù)形式，即

將式(14)代入式(13)，并分離實(shí)、虛部，整理得

由式(15)知，考慮模態(tài)耦合影響的索－梁耦合結(jié)構(gòu)在不同σ1時(shí)表現(xiàn)出軟、硬化行為，而σ1值取決于系統(tǒng)的平方及立方非線性項(xiàng)，致耦合系統(tǒng)非線性特性更復(fù)雜。

2.2.2 外激勵(lì)與索主參數(shù)共振

考慮外激勵(lì)與索主參數(shù)共振時(shí)，梁由于1∶2內(nèi)共振機(jī)制會(huì)產(chǎn)生亞諧波共振。因此，內(nèi)、外共振模式關(guān)系式可表示為

將式(16)代入式(11)，并令長期項(xiàng)等于零，得復(fù)數(shù)形式的平均方程為

考慮式(17)，并分離實(shí)、虛部，整理得

由式(18)知，外激勵(lì)雖作用在梁上，但通過梁、索間內(nèi)共振機(jī)制作用已轉(zhuǎn)移到索的振動(dòng)方程，梁此時(shí)相當(dāng)于被動(dòng)激勵(lì)。因此，索的響應(yīng)較外激勵(lì)與梁主共振時(shí)大。而在內(nèi)外共振下，由于索的振動(dòng)方程中出現(xiàn)阻尼項(xiàng)，若想激發(fā)外共振則需較大外界激勵(lì)幅值。

3 數(shù)值算例分析

由索－梁耦合結(jié)構(gòu)模型圖1，選具有5組不同系統(tǒng)參數(shù)耦合模型，模型參數(shù)見表1。通過每兩組模型對(duì)比分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)索－梁耦合結(jié)構(gòu)的非線性特性影響。

表1 不同系統(tǒng)參數(shù)的索－梁耦合結(jié)構(gòu)Tab.1 The different system parameters of the cable-beam coupled system

3.1 外激勵(lì)與梁主共振

考慮梁與索的內(nèi)共振關(guān)系為1∶2，研究外激勵(lì)直接作用于梁上且與梁產(chǎn)生1∶1主共振時(shí)，系統(tǒng)不同參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線影響。激勵(lì)幅值f11=0.005時(shí)，系統(tǒng)不同參數(shù)對(duì)梁、索各自幅頻響應(yīng)曲線影響見圖2。由圖2看出，梁、索響應(yīng)在σ1的某些范圍內(nèi)有多個(gè)解，不同系統(tǒng)初始條件均可獲得，但只能是其中的兩個(gè)(圖2(a))，雖本文認(rèn)為梁模型為線性，但其幅頻響應(yīng)曲線卻表現(xiàn)出非線性特征，即隨激勵(lì)頻率變化不同參數(shù)系統(tǒng)分別呈剛度軟(系統(tǒng)A、系統(tǒng)B、系統(tǒng)C)、硬化特征(系統(tǒng)D、系統(tǒng)E);而梁的剛度存在從軟化到硬化的轉(zhuǎn)變現(xiàn)象，盡管該現(xiàn)象僅在系統(tǒng)剛度比參數(shù)增加時(shí)發(fā)生(如系統(tǒng)D、系統(tǒng)E)。值得注意的是，系統(tǒng)剛度比參數(shù)增加使梁的幅頻曲線呈硬化特征時(shí)，剛度比繼續(xù)增加僅對(duì)振幅響應(yīng)有輕微影響。

圖2 索－梁耦合結(jié)構(gòu)不同系統(tǒng)參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線影響Fig.2 Effect of the different system parameters on the frequency-responses of the cable-beam coupled system

外激勵(lì)幅值對(duì)索－梁耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線影響見圖3、圖4。其中，圖3以剛度軟化系統(tǒng)B為研究對(duì)象，圖4則以剛度硬化系統(tǒng)D為研究對(duì)象。與線性結(jié)構(gòu)不同，外激勵(lì)幅值大小只改變系統(tǒng)振動(dòng)幅值，不會(huì)引起跳躍;而對(duì)非線性結(jié)構(gòu)，當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到一定程度時(shí)，系統(tǒng)非線性被激發(fā)，呈明顯跳躍現(xiàn)象。由圖3、圖4可知，無論系統(tǒng)處于剛度軟化狀態(tài)或剛度硬化狀態(tài)，外激勵(lì)幅值增大時(shí)，系統(tǒng)非線性行為均更顯著，且振幅響應(yīng)均有明顯增加。

圖3 激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)B幅頻響應(yīng)曲線影響Fig.3 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system B

圖4 激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)D的幅頻響應(yīng)曲線影響Fig.4 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system D

圖5 索－梁耦合結(jié)構(gòu)不同系統(tǒng)參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線影響Fig.5 Effect of the different system parameters on the frequency-responses of the cable-beam coupled system

3.2 外激勵(lì)與索主參數(shù)共振

外激勵(lì)頻率Ω=2即外激勵(lì)與索產(chǎn)生1∶1主參數(shù)共振時(shí)，系統(tǒng)不同參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線影響見圖5～圖7。

圖6 外激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)B幅頻響應(yīng)曲線影響Fig.6 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system B

圖7 外激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)D激勵(lì)頻率與響應(yīng)幅值關(guān)系影響Fig.7 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system D

由圖5(a)知，梁的幅頻響應(yīng)曲線總處于剛度軟化狀態(tài)，且系統(tǒng)質(zhì)量比及索的軸壓比與等參數(shù)對(duì)梁幅頻響應(yīng)曲線均影響明顯，尤其質(zhì)量比參數(shù)增加最顯著:質(zhì)量比參數(shù)增加不僅使響應(yīng)振幅增大，且使幅頻曲線整體向σ2軸負(fù)方向移動(dòng)(如系統(tǒng)B與系統(tǒng)C對(duì)比)。尤其當(dāng)系統(tǒng)剛度比較大時(shí)(如系統(tǒng)D、系統(tǒng)E)，梁的幅頻響應(yīng)完全消失，說明梁、索作為整體結(jié)構(gòu)應(yīng)用時(shí)，外激勵(lì)與索作主參數(shù)共振情況僅在系統(tǒng)剛度比參數(shù)較小時(shí)發(fā)生。由圖5(b)知，索的幅頻響應(yīng)曲線仍有兩個(gè)尖峰，但不同于圖2(b)內(nèi)容，無論系統(tǒng)參數(shù)如何變化兩個(gè)尖峰均保持同一趨勢，說明索的振動(dòng)行為仍受梁振動(dòng)影響，但其影響程度較弱，使索的振動(dòng)行為支配系統(tǒng)振動(dòng)行為。由圖5看出，系統(tǒng)的質(zhì)量比、索的垂跨比及軸壓比等參數(shù)對(duì)索的幅頻響應(yīng)曲線影響類似梁的影響，區(qū)別在于，增加質(zhì)量比參數(shù)會(huì)使索能在更大共振頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生非線性行為，如系統(tǒng)B與系統(tǒng)C的對(duì)比。此外，對(duì)系統(tǒng)剛度比參數(shù)影響，索的幅頻曲線隨剛度比增加出現(xiàn)從剛度硬化到軟化的轉(zhuǎn)變現(xiàn)象，較圖2(b)內(nèi)容，可清楚發(fā)現(xiàn)兩者的剛度轉(zhuǎn)變現(xiàn)象完全相反，后者隨剛度比增加較大尖峰發(fā)生從剛度軟化到硬化狀態(tài)轉(zhuǎn)變，如系統(tǒng)B與系統(tǒng)D的比較。

基于上述現(xiàn)象，以索的剛度變化趨勢為指向，外激勵(lì)幅值對(duì)索－梁耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線影響見圖6、圖7。其中，圖6以剛度硬化系統(tǒng)B為研究對(duì)象，圖7以剛度軟化系統(tǒng)D為研究對(duì)象。由圖6、圖7知，無論系統(tǒng)中索的剛度處于軟化狀態(tài)或硬化狀態(tài)，當(dāng)外激勵(lì)幅值增大時(shí)，系統(tǒng)中梁與索的非線性行為均趨向于更顯著，且振幅響應(yīng)均有明顯增加。對(duì)比圖4、圖6知，索－梁耦合結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)與索作主參數(shù)共振時(shí)，欲使振幅響應(yīng)達(dá)到與外激勵(lì)與梁主共振級(jí)別，激勵(lì)幅值需增大104倍。

4 結(jié)論

研究內(nèi)、外共振聯(lián)合激勵(lì)下索－梁耦合結(jié)構(gòu)的非線性特性，利用多尺度法分析系統(tǒng)可能存在的多種內(nèi)、外共振模式?？紤]索、梁間模態(tài)具有1:2內(nèi)共振關(guān)系下，對(duì)外激勵(lì)與梁發(fā)生主共振及與索發(fā)生主參數(shù)振動(dòng)時(shí)的對(duì)應(yīng)工況分別進(jìn)行攝動(dòng)分析，獲得系統(tǒng)四維極坐標(biāo)形式的平均方程，結(jié)論如下:

(1)荷載僅作用在梁上時(shí)，索－梁耦合結(jié)構(gòu)由于模態(tài)耦合影響，存在兩種外共振機(jī)制，即荷載與梁外共振及荷載與索外共振，兩種外共振均能使系統(tǒng)振動(dòng)呈非線性行為，后者所需激勵(lì)幅值較前者大104倍。

(2)無論荷載與梁發(fā)生主共振或與索發(fā)生主參數(shù)共振，即使考慮梁為線性模型，由于梁與索相互耦合振動(dòng)影響，梁仍表現(xiàn)出多解、不穩(wěn)定及跳躍等非線性行為;盡管只考慮索的一個(gè)模態(tài)，但其非線性行為呈現(xiàn)雙模態(tài)特征，即兩個(gè)幅頻曲線。對(duì)前者外共振，索的最大響應(yīng)總與梁的響應(yīng)保持一致;而對(duì)后者外共振，該一致性消失，且隨激勵(lì)幅值增加非線性行為愈顯著。

(3)荷載與梁作主共振時(shí)，索的垂跨比及系統(tǒng)質(zhì)量比對(duì)梁的非線性影響微小，但卻能顯著影響索的非線性行為;系統(tǒng)剛度比增加會(huì)使梁發(fā)生從剛度軟化到硬化狀態(tài)轉(zhuǎn)變。此時(shí)索的非線性行為將產(chǎn)生兩次跳躍現(xiàn)象;荷載與索發(fā)生主參數(shù)共振時(shí)系統(tǒng)質(zhì)量比對(duì)索的影響較索的垂跨比影響更顯著;系統(tǒng)剛度比較大時(shí)梁的非線性完全消失，索發(fā)生從剛度硬化到軟化轉(zhuǎn)變。

(4)鑒于剛度比參數(shù)對(duì)索－梁耦合結(jié)構(gòu)有重要影響，建議對(duì)索－梁耦合結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)控制時(shí)應(yīng)避免用增加剛度策略或應(yīng)盡量減小因控制措施造成的系統(tǒng)剛度變化，否則將有可能引起結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的振動(dòng)行為。

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