淺水岸壁條件下脈沖荷載引起的粘彈性浮冰層位移響應(yīng)

鹿飛飛，張志宏，胡明勇，劉巨斌

(海軍工程大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430033)

作為自然現(xiàn)象的冰凌普遍存在于寒冷地區(qū)。凌汛則為冰凌對水流運(yùn)動產(chǎn)生的阻礙作用。黃河內(nèi)蒙古河段每年會有3～5個(gè)月的結(jié)冰封航期，春季來臨時(shí)極易造成凌汛災(zāi)害［1－3］，甚至導(dǎo)致潰堤。

因此，凌汛災(zāi)害發(fā)生前及時(shí)破冰除險(xiǎn)非常必要。由于黃河河道水淺無法用破冰船破冰，目前主要以爆破方式為主，如空投炸彈、炮轟、人工拋投炸藥包等。

為分析爆炸沖擊荷載的破冰效果及能力，需先進(jìn)行沖擊荷載作用下浮冰層響應(yīng)研究。Kozin等［4－7］基于積分變換法、有限元及有限差分混合法對沖擊荷載作用下冰層位移響應(yīng)問題進(jìn)行求解，分析荷載強(qiáng)度、冰層厚度、均勻水深等因素對冰層位移響應(yīng)影響。胡明勇等［8－10］采用積分變換法求解沖擊荷載、三角荷載、簡諧荷載引起的冰層響應(yīng)問題。劉巨斌等［11－12］用邊界元及有限差分混合法，數(shù)值計(jì)算移動氣墊荷載的興波阻力及引起的冰層變形;盧再華等［13］用有限元方法對氣墊船的破冰過程進(jìn)行數(shù)值模擬。

本文針對黃河水淺、深度不均勻且存在岸壁等實(shí)際情況，建立淺水緩坡岸壁及陡坡岸壁條件下脈沖荷載引起粘彈性浮冰層位移響應(yīng)的理論模型與計(jì)算方法，分析、揭示冰層位移響應(yīng)影響因素及變化規(guī)律。為進(jìn)一步開展爆炸破冰工程應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

1 理論模型

設(shè)浮冰層厚度h，密度ρ1，冰層均勻且各向同性，本構(gòu)關(guān)系采用Kelvin-Voigt粘彈性模型。水密度ρ2，沖擊荷載作用下水為理想不可壓縮流體作無旋運(yùn)動，存在速度勢 Φ(x，z，t)。建立坐標(biāo)系見圖1，ox軸與冰 － 水交界面重合、指向右邊，oz軸垂直向上，坐標(biāo)原點(diǎn)o為過脈沖荷載作用點(diǎn)垂線與冰－水交界面交點(diǎn)，o'為過o點(diǎn)垂線與固體壁面交點(diǎn)。設(shè)o'至水面高度為H1，o'至冰－水交界面高度為 H=H1－b，其中 b=ρ1h/ρ2為冰層浸入深度。針對兩種岸壁情況進(jìn)行理論建模、求解:即① 緩坡岸壁情況(圖1(a))，α為水底與水平面夾角;② 陡坡岸壁情況(圖1(b))，β為岸壁與垂直面夾角。

圖1 坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system

脈沖荷載沖擊作用下粘彈性浮冰層位移響應(yīng)動力學(xué)方程為

式中:w(x，t)為冰層垂向位移;G=0.5E/(1+ μ)為冰層剪切模量，其中E為冰層彈性模量，μ為泊松比;τφ為冰層松弛時(shí)間;Y0為脈沖荷載強(qiáng)度;δ為狄拉克函數(shù);t為時(shí)間;g為重力加速度。

流體運(yùn)動應(yīng)滿足Laplace方程，即

冰層位移響應(yīng)初始條件為

在冰－水交界面處運(yùn)動學(xué)條件為冰－水垂向速度連續(xù)，即

在淺水岸壁表面應(yīng)滿足固壁不可穿透條件，即?Φ/?n=0，其中n為固壁單位法向矢量。岸壁傾斜角度α較小時(shí)對應(yīng)緩坡岸壁情況，水底不可穿透條件可近似為

岸壁傾斜角度β較小時(shí)對應(yīng)陡坡岸壁情況，岸壁不可穿透條件近似寫為

2 模型求解

運(yùn)用Fourier、Laplace積分變換方法對以上理論數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

所用Fourier變換對形式為

所用Laplace變換對形式為

設(shè)勢函數(shù) Φ(x，z，t)的 Fourier變換式為 ΦF(ξ，z，t)，則對Laplace方程關(guān)于變量x進(jìn)行Fourier變換有

上式通解為式中:

系數(shù)C1，C2由邊界條件確定。

對邊界條件式(4)、式(5a)、式(5b)分別關(guān)于變量x進(jìn)行Fourier變換，得

對緩坡岸壁，聯(lián)立式(9)、式(10)、式(11)，解得

對陡坡岸壁，聯(lián)立式(9)、式(10)、式(11)，解得:

對式(1)關(guān)于x進(jìn)行Fourier變換，得

利用 Fourier變換的微分性質(zhì)和式(12a)、式(12b)，整理得

式中:

已知 wF(ξ，t)的 Laplace 變換式為 F(p，ξ)，對式(14)關(guān)于變量t進(jìn)行Laplace變換，并利用其微分性質(zhì)得

對式(16)進(jìn)行Laplace逆變換，得

進(jìn)一步求解得

對式(18)進(jìn)行Hankel變換，得冰層垂向位移為

式中:J0(ξx)為零階第一類貝塞爾函數(shù)。

式(19)對緩坡岸壁、陡坡岸壁情況均適用，區(qū)別僅在于用式(18)計(jì)算wF時(shí)，所用式(15)中m(ξ)不同而已。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文理論模型及計(jì)算方法的正確性，采用文獻(xiàn)［8］中計(jì)算參數(shù)，即 ρ1=900kg/m3，E=5 ×109Pa，μ =1/3，τφ=0.69 s，ρ2=1000kg/m3，Y0=107kg/s，h=0.5 m，H=30 m。令 α=0，使本文理論模型蛻化為均勻水深情況。取載荷作用點(diǎn)位置x=0，通過式(19)計(jì)算冰層位移響應(yīng)見圖2，可見與文獻(xiàn)［8］結(jié)果一致。

圖2 均勻水深位移響應(yīng)結(jié)果比較Fig.2 Comparison of results for displacement response in uniform depth

3.2 冰層位移響應(yīng)分析

針對黃河冰層與水深實(shí)際情況，按均勻水深、緩坡岸壁、陡坡岸壁三種情況分別計(jì)算脈沖荷載作用下冰層位移響應(yīng)。冰層厚 h=0.2、0.5、0.8 m，深 H=1、3、5 m，緩坡傾斜角 α =0°、10°、15°。對陡坡岸壁，由于 cos(2/β)為振蕩函數(shù)，且β角越小函數(shù)振動越劇烈，因此取 cos(2/β)= －1、－0.5、0、0.5、1 五種典型值進(jìn)行計(jì)算。其余計(jì)算參數(shù)同前。

3.2.1 均勻水深影響

水深均勻即α=0°時(shí)，按不同冰厚、深度情況計(jì)算脈沖荷載作用點(diǎn)x=0處冰層位移響應(yīng)，結(jié)果見圖3。由圖3看出，脈沖荷載沖擊作用下，冰層在t=0.52 s時(shí)位移響應(yīng)幅值達(dá)最大(該時(shí)間與冰厚、深度關(guān)系不大)，此后逐漸衰減，并在t=10 s后趨于停止。因此冰厚、深度變化均會對冰層位移響應(yīng)產(chǎn)生影響。冰厚h=0.5 m時(shí)深度變化引起的位移響應(yīng)見圖3中曲線1、2、3，分別對應(yīng)H=1、3、5 m，可見深度增加時(shí)冰層位移響應(yīng)幅值隨之增加，但增加趨勢變緩。由式(12)看出，深度H增大到一定程度時(shí)m(ξ)與深度基本無關(guān)，因此據(jù)式(19)計(jì)算的冰層位移響應(yīng)亦與深度基本無關(guān)。深度H=3 m時(shí)冰厚變化引起的位移響應(yīng)見圖3中曲線5、2、4，分別對應(yīng)冰厚 h=0.8、0.5、0.2 m，可見冰層依次變薄時(shí)其位移響應(yīng)幅值呈現(xiàn)非線性大幅增長，說明對脈沖荷載作用下冰層位移響應(yīng)而言，冰層厚度較深度影響更大。另外，由圖3中曲線4看出，理論計(jì)算的冰層位移響應(yīng)幅值已超過實(shí)際水深，實(shí)際情況不可能出現(xiàn)，此時(shí)冰層或已斷裂或已觸及水底導(dǎo)致冰層變形截止。

圖3 水深、冰層厚度對位移響應(yīng)影響Fig.3 Influence of depth and thickness of ice sheet on displacement response

3.2.2 緩坡岸壁影響

深度H=3 m、冰厚h=0.5 m時(shí)，在脈沖荷載沖擊作用下，考慮緩坡岸壁對冰層位移響應(yīng)影響，計(jì)算結(jié)果見圖4 中曲線 1、2、3，分別對應(yīng) α =0°、10°、15°，可見冰層在t=0.52～0.68 s范圍內(nèi)位移響應(yīng)幅值達(dá)最大，與均勻水深相比，緩坡岸壁條件下達(dá)位移響應(yīng)峰值所需時(shí)間有所增加。傾斜角度α增加時(shí)冰層位移響應(yīng)幅值隨之增加，振動頻率加快，振動持時(shí)延長。與均勻水深相比，緩坡岸壁的存在可導(dǎo)致冰－水系統(tǒng)振動能量累積，利于提高破冰效果。

圖4 緩坡岸壁對冰層位移響應(yīng)影響Fig.4 Influence of gentle bank on displacement response

3.2.3 陡坡岸壁影響

深度H=3 m、冰厚h=0.5 m時(shí)在脈沖荷載沖擊作用下，考慮陡坡岸壁對冰層位移響應(yīng)影響，計(jì)算結(jié)果見圖5 中曲線 1、2、3、4、5，分別對應(yīng) cos(2/β)= － 1、－0.5、0、0.5、1。陡坡岸壁傾斜角度 β 較小且 β≠0時(shí)，冰層在時(shí)間t=0.60～0.75 s范圍內(nèi)位移響應(yīng)幅值達(dá)最大，陡坡岸壁條件下冰層達(dá)位移響應(yīng)峰值所需時(shí)間較緩坡岸壁有所增加。冰層位移響應(yīng)幅值隨cos(2/β)值增加而增大，且陡坡岸壁存在時(shí)的位移響應(yīng)幅值、振動頻率及持時(shí)遠(yuǎn)大于緩坡岸壁情況。與緩坡岸壁情況相比，陡坡岸壁的存在更有利于冰－水系統(tǒng)振動能量累積，對破冰效果提高更有利。

圖5 陡坡岸壁對冰層位移響應(yīng)影響Fig.5 Influence of steep bank on displacement response

4 結(jié)論

建立脈沖荷載激勵(lì)淺水粘彈性浮冰層位移響應(yīng)理論模型，在將淺水岸壁簡化為緩坡、陡坡岸壁兩種情況下通過Fourier、Laplace及Hankel變換相結(jié)合方法對該理論模型進(jìn)行積分求解、數(shù)值計(jì)算。并以黃河冰層與實(shí)際水深為例，計(jì)算不同冰厚、深度、緩坡及陡坡角度等因素對浮冰層位移響應(yīng)影響，結(jié)論如下:

(1)水深增加、冰層厚度減小，均可使冰層位移響應(yīng)幅值增加;緩坡、陡坡岸壁的存在可引起冰－水系統(tǒng)振動能量累積，利于增加激勵(lì)冰層位移響應(yīng)幅值、提高振動頻率及延長振動持續(xù)時(shí)間。

(2)緩坡岸壁優(yōu)于均勻水深，陡坡岸壁優(yōu)于緩坡岸壁。陡坡、緩坡岸壁的存在使脈沖荷載能激勵(lì)更大冰層的變形響應(yīng)。對任意斜度淺水岸壁情況，由于邊界條件的復(fù)雜性，理論求解更困難。

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